1、2019 年天津市十二重點中學高考數學二模試卷（理科）一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，滿分 40 分1（5 分）已知集合 A1，1，A1B1，1（y2 5 分）設變量 x， 滿足約束條件A4B，則 AB（   ）C1，0，1    D1，0，1，2，則目標函數 z3x+2y 的最大值為（   ）C6  

2、           D83（5 分）執行如圖所示的程序框圖，若輸入 k 的值為 9，則輸出的結果 S 為（）A109B48R4（5 分）設 x ，則“x327”是“A充分不必要條件C19”的（   ）B必要不充分條件D6C充要條件D既不充分也不必要條件5（5 分）已知ABC 為直角三角形，ACBC2，點 D 為斜邊 

3、AB 的中點，點 P 是線段CD 上的動點，則的最小值為（   ）A2BC              D06（5 分）已知函數 f（x）e|x|，令b，c 的大小關系為（），則 a，第 1 頁（共 23 頁）AbacBcbaCbca      

4、60; Dabc7（5 分）已知拋物線 C1：y22px（p0）的焦點 F 為雙曲線 C2：的頂點，過N點 F 的直線與拋物線 C1 相交于 M、 兩點，點 A 在 x 軸上，且滿足|MN|8，若|AM|AN|，則AMN 的面積為（）ABCD88（5 分）已知函數且在當的圖象過點          ，上單調，把

5、0;f（x）的圖象向右平移  個單位之后與原來的圖象重合，且 x1x2 時，f（x1）f（x2），則 f（x1+x2）（  ）ABC1           D1二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.把答案填在答題卡中的相應橫線上.9（5 分）i 是虛數單位，復數    

6、60; 10（5 分）在的二項式展開式中，所有項的二項式系數之和為 256，則展開式中常數項等于11（5 分）已知圓錐的高為 3，底面半徑長為 4，若某球的表面積與此圓錐側面積相等，則該球的體積為12（5 分）在直角坐標系 xOy 中，曲線 C1 的參數方程為（ 為參數），以坐標原點為極點，以 x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 C2 的極坐標方程為 sin（+）2設點 P 在 C1

7、0;上，點 Q 在 C2 上，則|PQ|的最小值為13（5 分）若14（5 分）已知函數，則 a+b 的最小值是      ，函數 g（x）f（x）kx+1 有四個零點，則實數 k 的取值范圍是三、解答題：本大題 6 小題，共 80 分解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟15（13 分）在ABC 中，角 A、B、C 所對的邊分別為

8、 a、b、c，且（）求角 A 的值；第 2 頁（共 23 頁）（）若 a6，b2，求ABC 的面積16（13 分）為響應黨中央號召，學校以“我們都是追夢人”為主題舉行知識競賽現有10道題，其中 6 道甲類題，4 道乙類題，王同學從中任取 3 道題解答（）求王同學至少取到 2 道乙類題的概率；（）如果王同學答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立，已知王同學恰好選中 2 道甲

9、類題，1 道乙類題，用 X 表示王同學答對題的個數，求隨機變量 X 的分布列和數學期望17（13 分）如圖，在多面體 ABCDEF 中，四邊形 ABCD 為平行四邊形，平面 ADE平面CDEF，ADE60°，DECF，CDDE，AD2，DEDC3，CF4，點 G 是棱CF 上的動點（）當 CG3 時，求證 EG平面 ABF；（）求直線 BE 與平面 ABCD 所成角的

10、正弦值；（）若二面角 GAED 所成角的余弦值為，求線段 CG 的長18（13 分）設 Sn 是等差數列an的前 n 項和，滿足 a25，S535，Tn 是數列bn的前 n項和，滿足 Tn2bn1（nN *）（）求數列an，bn的通項公式；（）令，設數列cn的前 n 項和 Pn，求 P2n 的表達式19（14 分）已知橢圓 C 的方程為，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點

11、（）求橢圓 C 的方程；第 3 頁（共 23 頁）（）過動點 M（0，m）（0mb）的直線交 x 軸的負半軸于點 N，交 C 于點 A，B（A在第一象限），且 M 是線段 AN 的中點，過點 A 作 x 軸的垂線交 C 于另一點 D，延長線DM 交 C 于點 G（i）設直線 AM，DM 的斜率分別為

12、 k，k，證明：3k+k0；（ii）求直線 BG 的斜率的最小值x20（14 分）已知函數 f（x）（ax2+x+a）e（aR ）（）當 a0 時，求 f（x）在點（0，f（0）處的切線方程；（）若 a0，求函數 f（x）的單調區間；（）若對任意的 a0，f（x）bln（x+1）在 x0，+）上恒成立，求實數 b 的取值范圍第 4 頁（共 23 頁）2019 年天津市十二重點中學高考數學二模試卷（

13、理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，滿分 40 分1（5 分）已知集合 A1，1，A1B1，1，則 AB（   ）C1，0，1    D1，0，1，2【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 A1，1，Zx|2x1，x 1，0，AB1，0，1故選：C【點評】本題考查并集的求法，考查并集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題（y

14、2 5 分）設變量 x， 滿足約束條件A4B，則目標函數 z3x+2y 的最大值為（   ）C6             D8【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程斜截式，數形結合得到最優解，求出最優解的坐標，代入目標函數得答案【解答】解：由變量 x，y 滿足約束條件，作可行域如圖由 z3x+2y，結合圖形可知，當直線分別經過可行域內的

15、點 A，B 時，目標函數取得最值，由：，可得 A（0，3），分別為 zmax3×0+2×36，目標函數的最大值為 6故選：C第 5 頁（共 23 頁）【點評】本題考查了簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題3（5 分）執行如圖所示的程序框圖，若輸入 k 的值為 9，則輸出的結果 S 為（）A109B48C19D6【分析】由已知中的程序框圖及已知中輸入 k 的值，模擬程序的運行結果，即可得到輸

16、出的 S 值【解答】解：模擬程序的運行，可得k9，n1，S1不滿足判斷框內的條件 nk，執行循環體，n4，S6不滿足判斷框內的條件 nk，執行循環體，n7，S19不滿足判斷框內的條件 nk，執行循環體，n10，S48此時，滿足判斷框內的條件 nk，退出循環，輸出 S 的值為 48故選：B第 6 頁（共 23 頁）【點評】本題考查的知識點是程序框圖，在寫程序的運行結果時，我們常使用模擬循環的變法，但程序的循環體中變量比較多時，要用表格法對數據進行管理，屬于基礎題4（5

17、 分）設 xR ，則“x327”是“A充分不必要條件C充要條件”的（   ）B必要不充分條件D既不充分也不必要條件【分析】根據不等式的解法求出不等式的等價條件，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【解答】解：由 x327 得 x3，由得 0x3，則“x327”是“”的必要不充分條件，故選：B【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合充分條件和必要條件的定義是解決本題的關鍵5（5 分）已知ABC 為直角三角形，ACBC2，點 D 為斜邊 

18、;AB 的中點，點 P 是線段CD 上的動點，則A2的最小值為（   ）B               C              D0【分析】根據題意，建立坐標系，求出 A、B、D 的坐標，進而設 P（m，

19、m），求出向量、的坐標，由數量積的計算公式可得（m）（2m）+（2m）（m）2m24m，結合二次函數的性質分析可得答案【解答】解：根據題意，以 C 為坐標原點，CB 為 x 軸，CA 為 y 軸建立坐標系，如圖：則 B（2，0），A（0，2），D 為 AB 的中點，則 D（1，1），點 P 是線段 CD 上的動點，設 P（m，m），（0m1）；則則（m，2m），  （2m，m），（m）（2m）+（

20、2m）（m）2m24m2（m1）22，又由 0m1，則當 m1 時，故選：A取得最小值2；第 7 頁（共 23 頁）【點評】本題考查向量數量積的計算，涉及向量的坐標計算，屬于基礎題，6（5 分）已知函數 f（x）e|x|，令，則 a，b，c 的大小關系為（）AbacBcbaCbcaDabcf【分析】根據題意，由函數的解析式分析可得 （x）為偶函數且在0，+）上為增函數，據此分析可得答案【解答】解：根據題意，函數 f（x）e|x|，有 f（x）e|x|e|x

21、|f（x），即函數 f（x）為偶函數，則有 cf（）f（log23）f（log23），又由當 x0 時，f（x）ex，易得 f（x）為0，+）上為增函數，又由 log231sin    23，則有 f（log23）f（sin）f（23），則有 bac；故選：A【點評】本題考查函數的奇偶性與單調性的應用，涉及分段函數的應用，屬于基礎題7（5 分）已知拋物線 C1：y22px（p0）的焦點 F 為雙曲線 C2：的頂點，過N點

22、60;F 的直線與拋物線 C1 相交于 M、 兩點，點 A 在 x 軸上，且滿足|MN|8，若|AM|AN|，則AMN 的面積為（）ABCD8【分析】由題意求得拋物線的焦點坐標，得到拋物線方程，設出直線方程，利用拋物線焦點弦長公式求得 k，再求出 MN 的垂直平分線方程，得到 A 的坐標，由點到直線的距第 8 頁（共 23 頁）離公式求出 A 到 MN 的距離，代入三

23、角形面積公式求解【解答】解：由題意可知，拋物線 C1：y22px（p0）的焦點 F（1，0），則，p2拋物線方程為 y24x如圖，設 MN 所在直線方程為 yk（x1），聯立，得 k2x2（2k2+4）x+k20設 M（x1，y1），N（x2，y2）則，由|MN|x1+x2+28，得，解得 k±1x1+x26，則 MN 的中點坐標為（3，2），不妨取 k1，可得 MN 的垂直平分線方程為 y21×（x3），即 yx+

24、5取 y0，得 A（5，0）此時 A 到直線 xy10 的距離 dAMN 的面積 S故選：D【點評】本題考查圓錐曲線的綜合，考查直線與篇文章位置關系的應用，考查計算能力，是中檔題第 9 頁（共 23 頁）8（5 分）已知函數且在當的圖象過點          ，上單調，把 f（x）的圖象向右平移  個單位之后與原來的圖象重合，且

25、 x1x2 時，f（x1）f（x2），則 f（x1+x2）（  ）ABC1           D1得函數的解析式，再利用正弦函數的圖象的對稱性求得 x1+x2 的值，可得 （x1+x2）的值【分析】利用正弦函數的周期性和單調性，函數 yAsin（x+）的圖象變換規律，求f【解答】解：函數的圖象過點        &#

26、160; ，2sinf（x）在，  上單調，           ，03f把 （x）的圖象向右平移  個單位之后與原來的圖象重合，kk， Z，2，f（x）2sin（2x+）當則 x1+x225，f（x1+x2）2sin（10+且 x1x2 時，2x+  （  ，3），若 f（x1）f（x2），）2sin   

27、 ，故選：B【點評】本題主要考查正弦函數的周期性和單調性，函數 yAsin（x+）的圖象變換規律，正弦函數的圖象的對稱性，屬于中檔題二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.把答案填在答題卡中的相應橫線上.9（5 分）i 是虛數單位，復數【分析】直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案【解答】解：故答案為：【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，是基礎題10（5 分）在中常數項等于28的二項式展開式中，所有項的二項式系數之和為 256，則展開式第 

28、;10 頁（共 23 頁）【分析】由二項式展開式的通項公式得：2n256，解得：n8，又（ ）8 的二項式展開式的通項為 Tr+1（）8r（ ）r（1）rx，令0，則r2，即展開式中常數項等于（1）228，得解【解答】解：由在的二項式展開式中，所有項的二項式系數之和為 256，可得：2n256，解得：n8，又（ ）8 的二項式展開式的通項為 Tr+1，令0，則 r2，（   ）8r（ ）r（1）r  x即展開式中常數

29、項等于（1）228，故答案為：28【點評】本題考查了二項式展開式的通項公式，屬中檔題11（5 分）已知圓錐的高為 3，底面半徑長為 4，若某球的表面積與此圓錐側面積相等，則該球的體積為【分析】由已知中圓錐的底面半徑和高，求出圓錐的母線長，代入圓錐側面積公式，求出圓錐側面積，利用球的表面積與此圓錐側面積相等，可得球的半徑，利用球的體積公式即可計算得解【解答】解：圓錐的底面半徑 r4，高 h3，圓錐的母線 l5，圓錐側面積 Srl20，設球的半徑為 r，則 4r220，r，該球的體積為 V 

30、;（）3故答案為：【點評】本題考查的知識點是旋轉體，熟練掌握各種旋轉體的幾何特征，是解答的關鍵，屬于中檔題第 11 頁（共 23 頁）12（5 分）在直角坐標系 xOy 中，曲線 C 1 的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以 x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 C 2 的極坐標方程為 sin（+）2設點 P 在 C 1 上，點 Q 在 C

31、60;2 上，則|PQ |的最小值為【分析】先將直線與圓的方程化成直角坐標方程，然后將|PQ |的最小值等于圓心到直線的距離減去半徑可得【解答】解：由 C 1 的參數方程消去參數 得曲線 C 1 的普通方程為：（x+1 ）2+y22，由曲線 C 2 的極坐標方程以及互化公式可得 C 2 的普通方程為：x+y40，依題意可得|PQ |的最小值等于圓心到直線的距離減去半徑，|PQ min  

32、    故答案為：【點評】本題考查了簡單曲線的極坐標方程，屬中檔題13（5 分）若，則 a+b 的最小值是【分析】根據對數的運算法則和對數的換底公式進行化簡，結合基本不等式利用 1 的代換進行轉化求解即可4【解答】解：log （4ab），a+4b4ab，得，得即1，+ 1，則 a+b（a+b）（+ ）1+ +   +  +2       

33、 +1 ，當且僅當，即 a2b 時取等號，即 a+b 的最小值為 ，故答案為：【點評】本題主要考查不等式的應用，結合對數的運算法則得到等式條件，結合 1 的代換是解決本題的關鍵第 12 頁（共 23 頁）14（5 分）已知函數，函數 g（x）f（x）kx+1 有四個零點，則實數 k 的取值范圍是【分析】根據函數與方程的關系，利用參數分離法轉化為兩個函數的交點個數問題，利用數形結合進行求解即可【解答】解：由 

34、g（x）f（x）kx+10 得 kxf（x）+1，當 x0 時，0f（0）+10+1 不成立，即 x0，則 k，若 g（x）有四個零點，則等價為 k設 h（x），有四個不同的根，則當 x0 時，h（x）h（x） lnx+ 2，則當 x1 時，h（x）0，函數為增函數，當 0x1 時，h（x）0，函數為減函數，即此時當 x1 時，h（x）取得極小值，極小值為 h（1）1，當 x+

35、，f（x）+，當 x0 時，h（x）x+ + ，h（x）1     ，由 h（x）0 得 x1（舍）或 x1，此時函數為增函數，由 h（x）0 得1x0，此時 h（x）為減函數，即當 x1 時，h（x）取得極大值，極大值為 h（1）11+  ，作出函數 h（x）的圖象如圖：要使 k則滿足1k有四個根，第 13 頁（共 23 頁）

36、即實數 k 的取值范圍是（1，故答案為：（1，），【點評】本題主要考查函數與方程的應用，利用參數分離法，轉化為兩個函數交點個數，求函數 的導數，研究函數的圖象，利用數形結合是解決本題的關鍵三、解答題：本大題 6 小題，共 80 分解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟15（13 分）在ABC 中，角 A、B、C 所對的邊分別為 a、b、c，且（）求角 A 的值；（）若 a6，b2，求ABC 的面積【分析】（）由已知利用正弦定理可求

37、，結合范圍 A（0，），可求（）由已知利用余弦定理整理可得364c2+c22c2，解得公式即可計算得解【解答】（本小題滿分 13 分），根據三角形的面積解：（）由已知得，（2 分），（4 分）A（0，），（6 分）（）a6b2c，a2b2+c22bccosA，（8 分）第 14 頁（共 23 頁）整理可得 364c2+c22c2，解得，（10 分）（13 分）【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化

38、思想，屬于基礎題16（13 分）為響應黨中央號召，學校以“我們都是追夢人”為主題舉行知識競賽現有10道題，其中 6 道甲類題，4 道乙類題，王同學從中任取 3 道題解答（）求王同學至少取到 2 道乙類題的概率；（）如果王同學答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立，已知王同學恰好選中 2 道甲類題，1 道乙類題，用 X 表示王同學答對題的個數，求隨機變量 X 的分布列和數學期望【分析】（）設“王同學至少取到

39、60;2 道乙類題”為事件 A，利用古典概型概率的求法求解即可（）X 的所有可能取值為 0，1，2，3，求出概率得到分布列然后求解期望即可【解答】（本小題滿分 13 分）解：（）設“王同學至少取到 2 道乙類題”為事件 A（1 分）（5 分）（列式（2 分），結果 2 分）（）X 的所有可能取值為 0，1，2，3（6 分），XP（10 分）（每個結果一分）0     

40、         1              2              3（13 分）（列式（1 分），結果 2 分）【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，考查轉化思想

41、以及計算能第 15 頁（共 23 頁）力17（13 分）如圖，在多面體 ABCDEF 中，四邊形 ABCD 為平行四邊形，平面 ADE平面CDEF，ADE60°，DECF，CDDE，AD2，DEDC3，CF4，點 G 是棱CF 上的動點（）當 CG3 時，求證 EG平面 ABF；（）求直線 BE 與平面 ABCD 所成角的正弦值；（）若二面角 GAED 所成

42、角的余弦值為，求線段 CG 的長（【分析】 I）根據平行四邊形的性質可得 EGCDAB，故 EG平面 ABF；（II）建立空間坐標系，求出平面 ABCD 的法向量 ，計算 與的夾角得出直線 BE 與平面 ABCD 所成角；（III）設，用  表示出平面 AEG 和平面 ADE 的法向量，根據二面角大小列方程解出  即可得出 CG 的長【解答】（）證明：由已知

43、得 CGDE 且 CGDE，故四邊形 CDEG 為平行四邊形，CDEG，四邊形 ABCD 為平行四邊形，CDAB，ABEG，又 EG平面 ABF，AB平面 ABF，EG平面 ABF（）過點 A 作 AODE 交 DE 于點 O，過點 O 作 OKCD 交 CF 于點 K由（1）知平面 ADE平面 CDEF，平面 ADE

44、平面 CDEFDE，AO平面 ADE，AO平面 CDEF，CDDE，OKDE，以 O 為原點建立如圖的空間直角坐標系，第 16 頁（共 23 頁）則 D（0，1，0），E（0，2，0），C（3，1，0），F（3，3，0），（0，1，0），設平面 ABCD 的法向量為，則，即，令 z1，則，D直線 BE 與平面 ABCD 所成角的正弦值為，（），（01）G（3，41，0），設平面 AEG 的法向量為，則，即，

45、令 y3，則，x34，平 面AED的 法 向 量 為，解得，|CG|CF|4       ，|CG|4，第 17 頁（共 23 頁）【點評】本題考查了線面平行的判定，考查空間向量與空間角的計算，屬于中檔題18（13 分）設 Sn 是等差數列an的前 n 項和，滿足 a25，S535，Tn 是數列bn的前 n項和，滿足 Tn2bn1（nN&

46、#160;*）（）求數列an，bn的通項公式；（）令，設數列cn的前 n 項和 Pn，求 P2n 的表達式【分析】（）首先利用遞推關系式求出數列的通項公式（）利用分類討論思想和乘公比錯位相減法求出數列的和【解答】解：（）an是等差數列 S535，a37，a25，d2，ana2+（n2）22n+1當 n1 時T12b11，b11當 n2 時Tn12bn11又Tn2bn1，bn2bn2bn1bn2bn1bn是以 1 為首項，2 為公比的等比數列第 18

47、0;頁（共 23 頁）（）設 前2n得：，項 中 奇 數 項 的 和 為  An ， 偶 數 項 的 和 為 Bn，【點評】本題考查的知識要點：數列的通項公式的求法及應用，乘公比錯位相減法在數列求和中的應用，主要考察學生的運算能力和轉換能力，屬于基礎題型19（14 分）已知橢圓 C 的方程為，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點（）求橢圓 C 

48、的方程；（）過動點 M（0，m）（0mb）的直線交 x 軸的負半軸于點 N，交 C 于點 A，B（A在第一象限），且 M 是線段 AN 的中點，過點 A 作 x 軸的垂線交 C 于另一點 D，延長線DM 交 C 于點 G（i）設直線 AM，DM 的斜率分別為 k，k，證明：3k+k0；（ii）求直線 BG 的斜率的最小值【分析】

49、（）結合題意分別求出 b 的值，再利用離心率求出 a，c 的值，求出橢圓方程即可；第 19 頁（共 23 頁）（）（i）設 A（x0，y0）那么 D（x0，y0）可得，即可得 3k+k0（ii）設直線 AM 為 ykx+m，則直線 DM 為 ykx+m3kx+m利用韋達定理及 3k+k0，可求得 B，G 坐標，求出直線 BG 的斜率的解析式，根據不等式的性質計算即可 

50、k 的最小值，再求出 m 的值即可【解答】（）解：拋物線，a2b2+c2的焦點是（2 分），     （1 分）橢圓 C 的方程（3 分）（）（i）設 A（x0，y0）那么 D（x0，y0）M 是線段 AN 的中點A（x0，2m）D（x0，2m）（4 分），（5 分），3k+k0（6 分）（ii）根據題意得：直線 AM 的斜率一定存在且 k0設直線 

51、;AM 為 ykx+m，則直線 DM 為 ykx+m3kx+m由可得（1+2k2）x2+4kmx+2m260（7 分）利用韋達定理可知：，（8 分），3k+k0，同理可得（9 分），第 20 頁（共 23 頁）k0，當且僅當時即為時 等號成立（14 分）（不求出 k 值，不扣分）【點評】本題考查了橢圓的方程問題，考查直線的斜率以及橢圓的性質，考查函數求最值問題，考查了運算求解能力轉化與劃歸能力，屬于難題20（14 分）已知函數 f（x）（ax2+x+a）ex（aR ）（）當 a0 時，求 f（x）在點（0，f（0）處的切線方程；（）若 a0，求函數 f（x）的單調區間；（）若對任意的 a0，f（x）bln（x+1）在 x0，+）上恒成立，求實數 b 的取值范圍【分析】（）當