1、2019-2020 學年廣東省珠海市高二（上）期末數學試卷一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5 分）命題“x2，+），x24”的否定式是（）Ax2，+），x24Cx02，+），x024Bx（，2），x24Dx02，+），x0242（5 分）已知an為等比數列，a33，a1527，則 a9 的值為（）A9B9 或9C8D93（5 分）若 a、b、c 是任意實數，

2、則（）A若 ab，則 acbcB若，則 abC若 a3b3 且 ab0，則D若 a2b2 且 ab0，則4（5 分）關于 x 的不等式 x2x53x 的解集是（）Ax|x5 或 x1Bx|x5 或 x1  Cx|1x5Dx|1x55（5 分）已知 x，y 滿足約束條件，則 z2x+y 的最小值為（）A4B2C1D6（5 分）設 

3、xR，則“|x2|1”是“x2+x60”的（）A充分而不必要條件C充要條件7（5 分）若橢圓B必要而不充分條件D既不充分也不必要條件上一點到兩焦點的距離之和為 m3，則 m 的值為（   ）A1B7              C9             D7

4、 或 98（5 分）我國古代數學典籍九章算術第七章“盈不足”章中有一道“兩鼠穿墻”問題：有厚墻 5 尺，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大老鼠第一天進一尺，以后每天第1頁（共22頁）加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半，問兩鼠在第幾天相遇？（）A第 2 天B第 3 天C第 4 天D第 5 天9（5 分）已知 P 為拋物線 y24x 上的任意一點，F 為拋物線的焦點，點 B 坐標為

5、（3，2），則|PB|+|PF|的最小值為（）A4B3CD10（5 分）經過點 P（1，1）作直線 l 交橢圓點，則直線的斜率為（）ABC于 M，N 兩點，且 P 為 MN 的中D11（5 分）如圖，在ABC 中，B45°，AC8，D 是 BC 邊上一點，DC5，DA7，則 AB 的長為（）12 5 分）如圖，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，ABAD3，AA14，P&

6、#160;是側面 BCC1B1A4B4C8D4（內的動點，且 APBD1，記 AP 與平面 BCC1B1 所成的角為 ，則 tan 的最大值為（）ABC2D二、填空題（每題 5 分，滿分 40 分，將答案填在答題紙上）13（5 分）在ABC 中，如果（a+c）（ac）b（bc），則角 A 等于14（5 分）已知 x0，則的最大值是15（5 分）古希臘數學家阿波羅尼奧斯的著作圓錐曲線論中給出了圓的另

7、一種定義：平面內到兩個定點 A，B 距離之比是常數 （0，1）的點 P 的軌跡是圓若兩定點A，B 的距離為 3，動點 P 滿足|PA|2|PB|，則點 P 的軌跡圍成的區域的面積為第2頁（共22頁）16（5 分）如圖，在平行六面體 ABCDA1B1C1D1 中，AB1，AD2，AA13，BAD90°，BAA1DAA160°，則 AC118 5 分）已知數列an滿足：a11，an+1an+2若17（5

8、0;分）拋物線 x22py（p0）的焦點為 F，其準線與雙曲線兩點，若ABF 為等邊三角形，則 p（1 相交于 A，B，則 n 的最大值為19（5 分）如圖，A，B，C，D 為平面四邊形 ABCD 的四個內角，若 A+C180°，AB6，BC4，CD5，AD5，則四邊形 ABCD 面積是20（5 分）已知 F1，F2 分別為雙曲線1（a0，b0）的左、右焦點，過 F2 與雙曲線的一條漸近

9、線平行的直線交雙曲線于點 P，若|PF1|3|PF2|，則雙曲線的離心率為三、解答題：共 50 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.21（10 分）在ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別是 a，b，c，已知（2ca）cosBbcosA0（1）求角 B 的值；第3頁（共22頁）22 10 分）在各項均不相等的等差數列an中，a11，且成 a1，a2，a5 等比數列，數列bn（2）若 a4，求ABC 的面積（的前 n&#

10、160;項和 Sn2n+12（1）求數列an、bn的通項公式；（2）設，求數列cn的前 n 項和 Tn23（10 分）如圖，四棱錐 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形 PDAB2，E 為 PC 中點（1）求證：DE平面 PCB；（2）求二面角 EBDP 的余弦值24（10 分）已知 f（x）ax2+（1a）x1，g（x）a（1x）2，aR （1）解關于 x

11、60;的不等式 f（x）0；（2）若 f（x）g（x）對任意的 x1，1恒成立，求實數 a 的范圍25（10 分）給定橢圓是橢圓 C 的“伴隨圓”，若橢圓 C 的右焦點為，稱圓心在原點 O，半徑為       的圓，其短軸上一個端點到 F 的距離為（1）求橢圓 C 的方程；（2）過點作橢圓 C 的“伴隨圓”C'的動弦 MN，過點 

12、M（x1，y1），N（x2，y2）分別作“伴隨圓”C'的切線，設兩切線交于點 Q，證明：點 Q 的軌跡是直線，并求該直線的方程第4頁（共22頁）2019-2020 學年廣東省珠海市高二（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5 分）命題“x2，+），x24”的否定式是（）Ax2，+），x24Cx02，+），x024Bx（，2），x24Dx02，+），x024【分

13、析】根據含有量詞的命題的否定即可得到結論【解答】解：命題為全稱命題，則命題“x2，+），x24”的否定是：x02，+），x024，故選：C【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎2（5 分）已知an為等比數列，a33，a1527，則 a9 的值為（）A9B9 或9C8D9【分析】本題根據等比數列的特點可得 q129，則 q63再根據通項公式有 a9a3q6 即可得到 a9 的值，本題應避免使用等比中項去計算，否則會得到兩個值【解答】解：由題意，可知q129，則 q63a9a3

14、q6339故選：D【點評】本題主要考查等比數列通項公式的應用，本題屬基礎題3（5 分）若 a、b、c 是任意實數，則（）A若 ab，則 acbcB若，則 abC若 a3b3 且 ab0，則第5頁（共22頁）D若 a2b2 且 ab0，則【分析】根據不等式的基本性質，結合特殊值，可判斷選項正誤【解答】解：對 A，取 c0，這不等式 acbc 不成立，故 A 錯；對 B，若 a0，b0，c0，則

15、60;ab，故 B 錯；對 C，a3b3 且 ba0，ab，對 D，a2b2 且 ab0，取 a2，b1，則，      ，故 C 正確；，故 D 錯誤故選：C【點評】本題考查了不等式的基本性質，屬基礎題4（5 分）關于 x 的不等式 x2x53x 的解集是（）Ax|x5 或 x1Bx|x5 或 x1 

16、60;Cx|1x5Dx|1x5【分析】將不等式轉化為一元二次不等式，利用因式分解法，可求得結論【解答】解：不等式可化為：x24x50（x5）（x+1）0x5 或 x1不等式 x2x53x 的解集是x|x5 或 x1故選：B【點評】一元二次不等式的求解關鍵在于，求出對應方程的根，能用因式分解法的就用因式分解法，屬于基礎題5（5 分）已知 x，y 滿足約束條件，則 z2x+y 的最小值為（）A4B2C1D【分析】作出不等式組對應的平面區域，通過目標函數 z2x+y 的幾

17、何意義，利用數形結合即可的得到結論【解答】解：先根據 x，y 滿足線性約束條件畫出可行域，平移直線 02x+y，當直線 z2x+y 過點 B（0，1）時，z 取最小值為 1第6頁（共22頁）故選：C【點評】本題主要考查線性規劃的應用，利用 z 的幾何意義，通過數形結合是解決本題的關鍵6（5 分）設 xR ，則“|x2|1”是“x2+x60”的（）A充分而不必要條件C充要條件B必要而不充分條件D既不充分也不必要條件【分析】先化簡“|x2|1”和“x2+x60”，再利用

18、充分必要條件的定義分析判斷得解【解答】解：由|x2|1 得 1x3，由 x2+x60 得3x2，所以“|x2|1”不能推出“x2+x60”，所以“|x2|1”是“x2+x60”的非充分條件；因為“x2+x60”不能推出“|x2|1”，所以“|x2|1”是“x2+x60”的非必要條件所以“|x2|1”是“x2+x60”的既不充分也不必要條件故選：D【點評】本題主要考查絕對值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查充分必要條件的判斷，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平7（5 分）若橢圓A1上一點到兩焦點的距離之和為 m3，則

19、0;m 的值為（   ）B7              C9             D7 或 9【分析】根據題意，按橢圓的焦點位置分 2 種情況討論，結合橢圓的定義分析可得 m 的第7頁（共22頁）值【解答】解：根據題意，對于橢

20、圓，分 2 種情況討論：，橢圓的焦點在 x 軸上，有 4m，則 a2，若橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為 m3，則有 2am34，解可得 m7，又由 4m，m7 不合題意，舍去；，橢圓的焦點在 y 軸上，有 4m，則 a，若橢圓則有 2am32上一點到兩個焦點的距離之和為 m3，解可得：m9 或 m1（舍）故 m9，故選：C【點評】本題考查橢圓的幾何性質，涉及橢圓的離心率計算公式，關鍵是求出

21、60;m 的值，是中檔題8（5 分）我國古代數學典籍九章算術第七章“盈不足”章中有一道“兩鼠穿墻”問題：有厚墻 5 尺，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半，問兩鼠在第幾天相遇？（）A第 2 天B第 3 天C第 4 天D第 5 天【分析】利用已知條件，逐步求出結果即可【解答】解：第一天：大老鼠與小老鼠的打洞尺數：1+12；第二天：大老鼠與小老鼠的打洞尺數：2+0.52.5，兩天總和：2+2.54.5，第三天：

22、大老鼠與小老鼠的打洞尺數：4+0.254.25，厚墻 5 尺，第 3 天不足打洞尺數，所以兩鼠在第 3 天相遇故選：B【點評】本題考查數列的應用，數列的函數的特征，是基本知識的考查9（5 分）已知 P 為拋物線 y24x 上的任意一點，F 為拋物線的焦點，點 B 坐標為（3，2），第8頁（共22頁）則|PB|+|PF|的最小值為（）A4B3CD【分析】所求距離等于|PB|加上 P 到準線 x1 的距離，當 

23、P、B、F 三點共線時，距離之和最小，由點到直線的距離公式可得【解答】解：由拋物線的定義可知|PF|等于 P 到準線 x1 的距離，故|PB|+|PF|等于|PB|加上 P 到準線 x1 的距離，可知當 P、B、F 三點共線時，距離之和最小，最小距離為 3（1）4故選：A【點評】本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，屬于基礎題10（5 分）經過點 P（1，1）作直線 l 交橢圓于 M，N 兩點，且

24、60;P 為 MN 的中點，則直線的斜率為（）ABCD【分析】設出 M、N 的坐標，利用平方差法以及線段的中點坐標，轉化求解直線的斜率即可【解答】解：設 M（x1，y1），N（x2，y2），則，由可得，經過點 P（1，1）作直線 l 交橢圓yp2，則于 M，N 兩點，且 P 為 MN 的中點，xp2，第9頁（共22頁）故選：A【點評】本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，平方差法的應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題11（5 分）

25、如圖，在ABC 中，B45°，AC8，D 是 BC 邊上一點，DC5，DA7，則 AB 的長為（）A4B4C8D4【分析】先根據余弦定理求出C 度數，最后根據正弦定理可得答案【解答】解：在ADC 中，AD7，AC8，DC5，由余弦定理得 cosC           ，因為是三角形內角，C60°，在ABC 中，AC8，B45°，C60°，由正弦定理

26、     得：AB        4  12 5 分）如圖，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，ABAD3，AA14，P 是側面 BCC1B1故選：D【點評】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應用，在解決問題的過程中要靈活運用正弦定理和余弦定理屬基礎題（內的動點，且 APBD1，記 AP 與平面 BCC1B1 所成的角為 ，

27、則 tan 的最大值為（）ABC2D【分析】以 D 為原點，DA 為 x 軸，DC 為 y 軸，DD1 為 z 軸，建立空間直角坐標系，由此能求出 tan 的最大值第10頁（共22頁）【解答】解：以 D 為原點，DA 為 x 軸，DC 為 y 軸，DD1 為 z 軸，建立空間直角坐標系，設 P（a，3，c），（0a3，0c4），

28、則 A（3，0，0），B（3，3，0），D1（0，0，4），（a3，3，c），（3，3，4），平面 BCC1B1 的法向量 （0，1，0），APBD1，（a3，3，3（a3）9+4c0，解得 c），AP 與平面 BCC1B1 所成的角為 ，sin，當 a時，sin 取最大值為此時 cos，tan 的最大值為：故選：B【點評】本題考查線面角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題二、填空題（每題 5

29、0;分，滿分 40 分，將答案填在答題紙上）13（5 分）在ABC 中，如果（a+c）（ac）b（bc），則角 A 等于【分析】直接展開表達式，利用余弦定理直接求出 A 的余弦值，即可求出 A 的值【解答】解：因為在ABC 中，若（a+c）（ac）b（bc），所以 a2c2b2bc，即 a2c2+b2bc，符合余弦定理，cosA ，第11頁（共22頁）A 是三角形的內角，所以 A故答案為：【點評】本題考查余弦定理的應用，考查計算能力14

30、（5 分）已知 x0，則的最大值是3【分析】由 x0，知x0，然后由（x）+      利用基本不等式求出最大值【解答】解：x0，x0，（x）+23，當且僅當x，即 x 時取等號，的最大值為3故答案為：3【點評】本題考查了利用基本不等式求最值，考查了轉化思想和計算能力，屬基礎題15（5 分）古希臘數學家阿波羅尼奧斯的著作圓錐曲線論中給出了圓的另一種定義：平面內到兩個定點 A，B 距離之比是常數 （0，1）的點 P 的軌跡是圓若

31、兩定點A，B 的距離為 3，動點 P 滿足|PA|2|PB|，則點 P 的軌跡圍成的區域的面積為4【分析】本題考查函數轉換思想，利用距離公式可以化簡得到 P 點的軌跡方程，進而得到所求結果【解答】解：根據本題圓的定義知平面內到兩個定點 A，B 距離之比是常數 （0，1）的點 P 的軌跡是圓又動點 P 滿足|PA|2|PB|，A，B 的距離為 3，所以，P 點的軌跡為圓設 A（），B（），P（x，y）|PA|

32、，化簡得，r2，Sr24第12頁（共22頁）故答案為 4【點評】本題考查新概念題，屬于基礎題16（5 分）如圖，在平行六面體 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，AB 1，AD 2，AA 13，BAD90°，BAA 1DAA 160°，則 AC 1【分析】 推導出，從而      +2+2，由此能求出 AC 1【解答】解：在

33、平行六面體 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，AB 1，AD 2，AA 13，BAD 90°，BAA 1DAA 160°，+2+21+4+9+2 ×1×3× +2×23，AC 1第13頁（共22頁）【點評】本題考查線段長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系、向量法等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題17（5 分）拋物線 x22py（p0）的

34、焦點為 F，其準線與雙曲線1 相交于 A，B兩點，若ABF 為等邊三角形，則 p6【分析】求出拋物線的焦點坐標，準線方程，然后求出拋物線的準線與雙曲線的交點坐標，利用三角形是等邊三角形求出 p 即可【解答】解：拋物線的焦點坐標為（0， ），準線方程為：y ，準線方程與雙曲線聯立可得：，解得 x±，因為ABF 為等邊三角形，所以，即 p23x2，即，解得 p6故答案為：6【點評】本題考查拋物線的簡單性質，雙曲線方程的應用，考查分析問題解決問題的能力以及計算能

35、力18 5 分）已知數列an滿足：a11，an+1an+2若（，則 n 的最大值為1009【分析】首先利用數列的關系式求出通項，進一步利用裂項相消法求出數列的和，進一步求出 n 的最大值【解答】解：數列an滿足：a11，an+1an+2則：an+1an2（常數），故：數列an是以 1 為首項，2 為公差的等差數列則：an2n1，所以：則：，第14頁（共22頁），當 n1009 時，不等式成立故答案為：1009【點評】本題考查的知識要點：數列的通項公式的求法及應用，裂項相消法在數列求和中

36、的應用，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型19（5 分）如圖，A ，B ，C ，D 為平面四邊形 ABCD 的四個內角，若 A +C 180°，AB 6，BC 4，CD 5，AD 5，則四邊形 ABCD 面積是【分析】連結 BD ，根據余弦定理列出方程解出 cosA （或 cosC ），進而給出 sinA ，sinC ，代入面

37、積公式即可【解答】解：連結 BD ，在ABD 中，BD 2AB 2+AD 22AB AD cosA 6160cosA ，在BCD 中，BD 2BC 2+CD 22BC CD cosC 4140cosC 6160cosA 4140cosC ，A +C 180°，cosA cosC cosA  sinA sinC 

38、;四邊形 ABCD 的面積 SSABD  BCD  AB ×AD ×sinA +BC ×CD ×sinC6×5×故答案為：10+ ×4×5×    10第15頁（共22頁）【點評】本題考查了余弦定理在解三角形中的應用，屬于中檔題20（5 分）已知 F1，F2 分別為雙曲線1（a0，b0）的左、右焦點，過

39、60;F2 與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點 P，若|PF1|3|PF2|，則雙曲線的離心率為【分析】設過 F2 與雙曲線的一條漸近線 y x 平行的直線交雙曲線于點 P，運用雙曲線的定義和條件可得 |PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c，再由漸近線的斜率和余弦定理，結合離心率公式，計算即可得到所求值【解答】解：設過 F2 與雙曲線的一條漸近線 y x 平行的直線交雙曲線于點 P，由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|2a，由|P

40、F1|3|PF2|，可得|PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c，由 tanF1F2P 可得 cosF1F2P ，在三角形 PF1F2 中，由余弦定理可得：|PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|cosF1F2P，即有 9a2a2+4c22a2c ，化簡可得，c23a2，則雙曲線的離心率 e 故答案為：【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程和定義法，以及余弦定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題三、解答題：共 50 分.

41、解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.21（10 分）在ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別是 a，b，c，已知（2ca）cosBbcosA第16頁（共22頁）0（1）求角 B 的值；（2）若 a4，求ABC 的面積（【分析】 1）由正弦定理，三角函數恒等變換的應用，結合sinC0，可求，結22 10 分）在各項均不相等的等差數列an中，a11，且成 a1，a2，a5 等比數列，數列bn合范圍 B（0，），可求 B 的值（

42、2）由已知利用余弦定理可求 c24c120，解得 c 的值，根據三角形的面積公式即可求解【解答】解：（1）由正弦定理可得：（2sinCsinA）cosBsinBcosA0，2sinCcosB（sinAcosB+cosAsinB）0，2sinCcosBsinC0，sinC0，B（0，），（2）b2a2+c22accosB，2816+c24，即 c24c120，c0，c6，【點評】本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換的應用，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題（的前 n 項和 Sn2n+1

43、2（1）求數列an、bn的通項公式；（2）設，求數列cn的前 n 項和 Tn（【分析】 1）設數列an的公差為 d（d0），運用等差數列的通項公式和等比數列的中項性質，解方程可得首項和公差，進而得到所求通項公式 an；運用數列的遞推式，計算可得所求 bn；第17頁（共22頁）1（2）求得 cn2an+log2bn22n+n，運用數列的分組求和，結合等差數列和等比數列的求和公式，計算可得所求和【解答】解：（1）設數列an的公差為 d，則 a2a1+d，a5a1+4d，a1，a2，a5 成

44、等比例，即，整理得 d22a1d，解得 d0（舍去）或 d2a12，ana1+（n1）d2n1，當 n2 時，當 n1 時，b12 滿足上式，所以數列bn的通項公式為（2）由（1）得，【點評】本題考查等差數列和等比數列的通項公式和求和公式的運用，考查數列的求和方法：分組求和，以及方程思想和運算能力，屬于中檔題23（10 分）如圖，四棱錐 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形 PDAB2，E 為 PC&#

45、160;中點（1）求證：DE平面 PCB；（2）求二面角 EBDP 的余弦值（【分析】 1）只需證明 BCDE，DEPC 即可得證；（2）建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量，利用向量公式得解【解答】解（1）證明：PD平面 ABCD，第18頁（共22頁）PDBC，又正方形 ABCD 中，CDBC，PDCDD，BC平面 PCD，又DE平面 PCD，BCDE，PDCD，E 是 PC 的中點，DEPC，PCBCC，DE平面 PCB（2）以點 

46、;D 為坐標原點，分別以直線 DA，DC，DP 為 x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意知：，設平面 BDE 的法向量為，則，令 z1，得到 y1，x1，又，且 AC平面 PDB，平面 PDB 的一個法向量為，設二面角 EBDP 的平面角為 ，則，二面角 EBDP 的余弦值為【點評】本題考查線面垂直的判定及利用空間向量求解二面角的余弦值，考查運算能力第19頁（共22頁）及邏

47、輯推理能力，屬于中檔題24（10 分）已知 f（x）ax2+（1a）x1，g（x）a（1x）2，aR （1）解關于 x 的不等式 f（x）0；（2）若 f（x）g（x）對任意的 x1，1恒成立，求實數 a 的范圍（【分析】 1）結合已知不等式，對 a 要進行是否為 0 的討論，分別結合一次與二次不等式的求解即可，（2）由 f（x）g（x）得（x+1）a（x1）+10 對任意的 x1，1恒成立，故只需 a（x1）+10 對任意的 x1，1恒成立，結合恒成立與最值求解的相互轉化可求【解答】解（1）當 a0 時，原不等式可化為 x10，不等式的解集為x|x1（2）a0 時，方程 ax2+（1a）x10 的解為當 a