1、泛函分析知識總結與舉例、應用學習泛函分析主要學習了五大主要內容：一、度量空間和賦范線性空間；二、有界線性算子和連續線性泛函；三、內積空間和希爾伯特空間；四、巴拿赫空間中的基本定理；五、線性算子的譜。本文主要對前面兩大內容進行總結、舉例、應用。一、 度量空間和賦范線性空間（一）度量空間度量空間在泛函分析中是最基本的概念，它是維歐氏空間（有限維空間）的推廣，所以學好它有助于后面知識的學習和理解。1度量定義：設X是一個集合，若對于X中任意兩個元素x，y,都有唯一確定的實數d(x,y)與之對應，而且這一對應關系滿足下列條件：1°d(x,y)0 ，d(x,y)=0 （非負性）2°d(

2、x,y)= d(y,x) （對稱性）3°對z ，都有d(x,y)d(x,z)+d(z,y) （三點不等式）則稱d(x,y)是x、y之間的度量或距離（matric或distance），稱為(X,d)度量空間或距離空間(metric space)。（這個定義是證明度量空間常用的方法）注意: 定義在X中任意兩個元素x，y確定的實數d(x,y)，只要滿足1°、2°、3°都稱為度量。這里“度量”這個名稱已由現實生活中的意義引申到一般情況，它用來描述X中兩個事物接近的程度，而條件1°、2°、3°被認為是作為一個度量所必須滿足的最本質的性

3、質。 度量空間中由集合X和度量函數d所組成，在同一個集合X上若有兩個不同的度量函數和，則我們認為(X, )和(X, )是兩個不同的度量空間。 集合X不一定是數集，也不一定是代數結構。為直觀起見，今后稱度量空間(X,d)中的元素為“點” ，例如若，則稱為“X中的點” 。 在稱呼度量空間(X,d)時可以省略度量函數d，而稱“度量空間X” 。1.1舉例1.11離散的度量空間：設X是任意的非空集合，對X中任意兩點x,yX，令，則稱（X，d）為離散度量空間。1.12 序列空間S：S表示實數列（或復數列）的全體，d(x,y)；1.13 有界函數空間B(A)：A是給定的集合，B(A)表示A上有界實值（或復值

4、）函數全體，對B(A)中任意兩點x,y，定義d(x,y)1.14 可測函數空間M(X)：M(X)為X上實值（或復值）的L可測函數全體。1.15 Ca,b空間（重要的度量空間）：Ca,b表示閉區間a,b上實值（或復值）連續函數全體，對Ca,b中任意兩點x,y，定義d(x,y)1.16 ：無限維空間（重要的度量空間） 例1.15、1.16是考試中常考的度量空間。2度量空間中的極限，稠密集，可分空間2.1 的領域：設（X，d）為度量空間，d是距離，定義為的以為半徑的開球，亦稱為的領域。注：通過這個定義我們可以從點集這一章學到的知識來定義距離空間中一個點集的內點，外點，邊界點及聚點，導集，閉包，開集等

5、概念。2.2度量空間的收斂點列：設(X，d)是一個度量空間，是（X，d）中點列,如果存在，收斂于，使，即，稱點列是（X，d）中的收斂點列，x叫做點列的極限，且收斂點列的極限是唯一的。注：度量空間中點列收斂性質與數列的收斂性質有許多共同之處。2.3有界集：設M是度量空間（X，d）中的點集，定義為點集M的直徑。若，則稱M為（X，d）中的有界集。（類似于，我們可以證明一個度量空間中收斂點列是有界點集）2.4閉集：A是閉集A中任意收斂點列的極限都在A中，即若，n=1,2，.,則。（要會證明）2.5舉例2.5.1 n維歐氏空間中，點列依距離收斂依分量收斂。2.5.2 Ca,b空間中，點列依距離收斂依分量

6、一致收斂。2.5.3 序列空間S中，點列依坐標收斂。2.5.4 可測函數空間M(X)：函數列依測度收斂于f，即 。2.6稠密子集和可分度量空間有理數集在實數集中的稠密性，它屬于實數集中，現把稠密性推廣到一般的度量空間中。2.6.1定義：設 X是度量空間，E和M是X的兩個子集，令表示M的閉包，如果E，則稱集M在集E中稠密，當E=X時，稱M為X的一個稠密子集，如果X有一個可數的稠密子集，則稱X為可分空間。注：可分空間與稠密集的關系：由可分空間定義知，在可分空間X中一定有稠密的可數集。這時必有X中的有限個或可數個點在X中稠密。2.6.2舉例n維歐式空間是可分空間：坐標為有理數的全體是的可數稠密子集。

7、離散度量空間X可分X是可數集。（因為X中無稠密真子集，X中唯一的稠密只有X本身）是不可分空間。數學知識間都有聯系，現根據直線上函數連續性的定義，引進了度量空間中映射連續性的概念。3. 連續映射3.1定義：設X=（X，d） Y=（Y，）是兩個度量空間，T是X到Y中的映射X，如果對>0，>0 ，使對X中一切滿足d（x，）<的x，有，則稱T在連續。（度量空間之間的連續映射是數學分析中連續函數概念的推廣，特別，當映射是值域空間時，映射就是度量空間上的函數。）注：對于連續可以用定義證明，也可以用鄰域的方法證明。下面用鄰域描述：對T的-鄰域U，存在的某個鄰域V，使TVU，其中TV表示V在

8、映射T作用下的像。3.2 定理1：設T是度量空間（X，d）到度量空間（Y，）中映射，T在連續當時，必有。在映射中我們知道像與原像的概念，下面對原像給出定義。3.3 原像的定義：映射T在X的每一點都連續，則稱T是X上的連續映射，稱集合xxX，TxMY為集合M在映射T下的原像，簡記為。可見，對于度量空間中的連續映射可以用定理來證明，也可以用原像的定義來證明。3.4定理2：度量空間X到Y中的映射T是X上連續映射Y中任意開集M的原像是X中的開集（除此之外，利用（M的補集）=（）的補集，可將定理中開集改成閉集，定理也成立。）注：像開原像開，像閉原像閉，映射連續。在數學分析中有學過收斂點列，柯西點列，但研

9、究都在R中。現在我們可類似的給出度量空間中柯西點列的概念。4. 柯西（）點列和完備的度量空間。4.1柯西點列的定義 ：設X=（X，d）是度量空間，是X中的點列，對>0，正整數N=N（），使當，>N時，必有（，）<，則稱是X中的柯西（Cauchy）點列或基本點列。【會判斷：柯西點列是有界點列】我們知道實數集的完備性，同時在學習數列收斂時，數列收斂的充要條件是數列是Cauchy列，這由實數的完備性所致。在度量空間中，這一結果未必成立。但在度量空間中的確存在完備的度量空間。4.2完備的度量空間的定義：如果度量空間（X，d）中每一個柯西點列都在（X，d）中收斂，那么稱（X，d）是完備

10、的度量空間但要注意，在定義中要求X中存在一點，使該柯西點列收斂到這一點。4.3舉例（記住結論）4.3.1有理數全體按絕對值距離構成的空間不完備，但n維歐式空間是完備的度量空間。4.3.2 在一般度量空間中，柯西點列不一定收斂，但是度量空間中的每一個收斂點列都是柯西點列：C、Ca,b、也是完備的度量空間。4.4定理 完備度量空間X的子空間M，是完備空間M是X中的閉子空間。P，（表示閉區間，上實系數多項式全體，作為C，的子空間）是不完備的度量空間5. 度量空間的完備化。5.1等距映射：設（X，d），是兩個度量空間，T是從X到上的映射，即對x,y,(Tx,Ty)=d(x,y),則稱T是等距映射。5.

11、2定義：設（X，d），是兩個度量空間，如果存在一個從X到上的等距映射T，則稱（X，d）和等距同構，此時T稱為X到上的等距同構映射。（像的距離等于原像的距離）注：在泛函分析中往往把兩個等距同構的度量空間不加區別而視為同一的。5.2定理1（度量空間的完備化定理）：設X=（X，d）是度量空間，那么一定存在完備度量空間，使X與的某個稠密子空間W等距同構，并且在等距同構下是唯一的,即若（，）也是一個完備的度量空間，且X與的某個稠密子空間等距同構，則與（，）等距同構。(不需要掌握證明但是要記住結論)5.2.1定理1的改述：設是度量空間，那么存在唯一的完備度量空間，使為的稠密子空間。6. 壓縮映射原理及其應

12、用（重點內容，要求掌握并會證明）學習完備度量空間概念，就需要應用，而壓縮映像原理是求解代數方程、微分方程、積分方程，以及數值分析中迭代算法收斂性很好的工具，另外要學會如何求不動點。6.1壓縮映射定義：X是度量空間，T是X到X的映射，如果存在一個數，使對 x，y ，d（Tx，Ty）d（x，y） 則稱T為壓縮映射。6.2（壓縮映射定理）設X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，那么T有且僅有一個不動點（即方程Tx=x，有且只有一個解）。（x是T的不動點x是方程Tx=x的解）這個定理對代數方程、微分方程、積分方程、數值分析的解的存在性和唯一性的證明中起重要作用。6.3壓縮映射原理的應用：在眾多情況下

13、，求解各種方程的問題可以轉化為求其某一映射的不動點，現在以大家熟悉的一階常微分方程 （1）為例來說明這一點。求微分方程（1）滿足初始條件的解與求積分方程 （2）等價。我們做映射 則方程（2）的解就轉化為求，使之滿足。也就是求這樣的，它經映射作用后仍變為。因此，求解方程（1）就變為求映射的不動點，這種求解方程變為求解映射的不動點的做法在數學中是常用的。那么如何求解映射的不動點呢？在中求方程解的逐次逼近法給了我們啟示。這種迭代原理是解決映射不動點問題最基本的方法。在解決上述問題中，看到實數完備性的重要作用。代數方程、微分方程、積分方程及其他方程求解的逐次逼近法在泛函分析中成了一個一般原理，即壓縮映

14、射原理，壓縮映射原理就是某一類映射不動點存在性和惟一性問題，不動點可以通過迭代序列求出。注：（1）從定理的證明過程中發現，迭代序列的初始值可任意選取，最終都能收斂到惟一不動點。（2）該定理提供了近似計算不動點的誤差估計公式，即因為完備度量空間的任何子集在原有度量下仍然是完備的，所以定理中的壓縮映射不需要在整個空間上有定義，只要在某個閉集上有定義，且像也在該閉集內，定理的結論依然成立。在實際應用過程中，有時本身未必是壓縮映射，但的若干次復合是壓縮映射，這時仍然有惟一不動點，下面是壓縮映射原理的應用及相關證明。例1 線性代數方程均可寫成如下形式 （3）其中,。如果矩陣滿足條件則式（3）存在惟一解，

15、且此解可由迭代求得。證明：取，定義度量為構造映射為，那么方程（3）的解等價于映射的不動點。對于，由于 記，由條件，因此是壓縮映像，于是有惟一不動點，所以方程（3）有惟一解，且此解可由如下迭代序列近似計算求得。例2 考察如下常微分方程的初值問題 （4）如果在上連續，且關于第二元滿足條件，即這里是常數，則方程（4）在上有惟一解。證明：方程（4）的解等價于如下方程 （5）的解。取連續函數空間，定義其上的映射為則積分方程（5）的解等價于的不動點。對任意兩個連續函數，由于 令，則，故是壓縮映射，從而有惟一不動點，即積分方程（5）有唯一解，從而微分方程（4）在上有惟一解。例3 設是定義在上的二元連續函數，

16、則對于任何常數及任何給定的連續函數，如下型積分方程 (6)存在唯一解。證明：取連續函數空間，其上定義映射：為則方程（6）的解等價于的不動點。由于在上連續，于是在有最大值，記為，即對任何兩個連續函數，由于 一般地，對自然數，歸納可得因此 注意到，因此存在自然數，滿足這說明是壓縮映射，由壓縮映射原理可知，有惟一不動點，亦即型積分方程（6）有惟一解。例4（隱函數存在定理） 設函數在帶狀域,中處處連續，且處處有關于的偏導數。如果存在常數和，滿足,則方程在區間上必有惟一的連續函數作為解，即證明：在完備空間中作映射，使對于任意的函數，有按定理條件，是連續的，所以也是連續的，即，故是到的映射。現證是壓縮映射

17、，由微分中值定理存在使 又所以令，則,且按中距離的定義，有，所以是壓縮映像，存在使，即，即，所以可見，壓縮映射原理在處理迭代數列的收斂、微分方程定解等問題上有著重要的應用，其觀點與方法已經滲透到數學的各個分支如常微分方程、數值計算，加深了各分支間的相互聯系，應用壓縮映射原理解決問題也十分簡潔、靈活和方便。（二）賦范線性空間1.線性空間設是非空集合，是實數域或復數域，稱為上的線性空間，如果滿足以下條件：對兩個元素，中惟一個元素與之對應，稱為與的和，記為，且滿足：（1）交換律；（2）結合律；（3）在中存在一個元素，稱為零元，使；（4）對每個，存在，使，稱為的負元。對任意數及，存在中惟一元素與之對應

18、，記為，稱為與的數乘，且滿足：（1）結合律 ：（2）；（3）數乘對加法分配律；（4）加法對數乘分配律。如果，稱為實線性空間；如果（復數域），稱為復線性空間。對于線性空間：是線性空間（滿足加法和數乘運算），是的非空子集，任意及任意R ，都有及，那么按中加法和數乘運算也成為線性空間，稱為的子空間，和0是平凡子空間。若，則稱 是的真子空間。2.賦范線性空間和巴拿赫（Banach）空間（重點內容）2.1定義：設X為實（或復）的線性空間，如果對每一個向量，有一個確定的實數，記為x 與之對應，并且滿足： （1） x0 且x=0 x=0 （2） x=x 其中為任意實（復）數 （3） x+yx+y 則稱x為向

19、量x的范數，稱按范數x成為賦范線性空間擴展：是的連續函數。（要會證明）設 是X中的點列，如果，使0 （n）則稱依范數收斂于，記為（n）或如果令d（x，y）=x-y （），依范數收斂于按距離d（x，y）收斂于，稱d（x，y）為是由范數導出的距離。注意：線性賤范空間一定是度量空間，反過來不一定成立。 2.2 完備的線性賦范空間稱為巴拿赫（Banach）空間2.2.1巴拿赫空間的舉例 n維歐式空間R Ca，b La，b 2.2.2其他：霍爾德Horder(不等式)：dt；閔可夫斯基不等式： 。（記住結論并會應用）二、有界線性算子和連續線性泛函1.算子定義：賦范線性空間X到另一個賦范線性空間Y的映射，

20、被稱為算子，如果Y是數域，則被稱為泛函。2.線性算子和線性泛函 2.1定義：設X和Y是兩個同為實（或復）的線性空間，()是X的線性子空間，T為到Y中的映射，如果對任何x，y 及數，都有 T（x+y）=Tx+Ty （1） T（x）=Tx （2）則稱T為到Y中的線性算子，其中稱為T的定義域，記為（T），T稱為T的值域 記為(T)，當T取值于實（或復）數域時，稱T為實（或復）線性泛函。 2.2幾種常見的線性算子和線性泛函的例子： 相似算子Tx=x 當=1時為恒等算子；當=0時為零算子； P0，1是0，1上的多項式全體，定義微分算子：，若t00，1，對xP0，1，定義（x）=x´（t0）則是

21、P0，1上的線性泛函。積分算子：xCa，b Tx（t）=x 由積分線性性質知T為線性算子，若令=x則是Ca，b中的線性泛函乘法算子：xCa，b Tx（t）=tx（t）R中的線性變換是線性算子 3.有界線性算子 3.1 定義：設X和Y是兩個線性賦范空間，T是X的線性子空間（T）到Y中線性算子，如果存在常數c，使對所有x（T），有：Txcx，則稱T是（T）到Y中的線性有界算子，當（T）=X時，稱T為X到Y中的線性有界算子，簡稱為有界算子。否則，稱為無界算子。3.2定理1：設T是線必性賦范空間X到線性賦范空間Y中的線性算子，則T為有界的充要條件是T是X 上的連續算子。（重要定理要會證明）3.3定理2：設X是線性賦范空間，是X上線性泛函，是X上連續泛函的的零空間（）是