1、長方體與正方體（一）對于小學幾何而言，立體圖形的表面積和體積計算，既可以很好地考查學生的空間想象能力，又可以具體考查學生在公式應用中處理相關數據的能力，所以，很多重要考試都很重視對立體圖形的考查例題精講如右圖，長方體共有六個面(每個面都是長方形)，八個頂點，十二條棱HGEFDcCbAa             B在六個面中，兩個對面是全等的，即三組對面兩兩全等(疊放在一起能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形)長方體的表面積和體積的計算公式是：長方體的表面積： 

2、;S長方體= 2(ab + bc + ca) ；長方體的體積：V= abc 長方體正方體是各棱相等的長方體，它是長方體的特例，它的六個面都是正方形如果它的棱長為 a ，那么： S正方體= 6a2 ， V正方體= a3 板塊一長方體與正方體的表面積【例 1】 右圖中共有多少個面？多少條棱？后面上面左面前面右面下面【考點】長方體與正方體【難度】1 星【題型】解答【解析】如右圖所示，可以分前、后、左、右、上、下六

3、個方向看這個立體圖形前、后看4-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page 1of 33各有 1 個面，左面看有 1 個面，右面看有 2 個面，上面看有 2 個面，下面看有 1個面所以共有1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 = 8 (個)面前后方向的棱有 6 條，左右方向的棱有 6 條，上下方向的棱也

4、有 6 條，所以共有棱 6 + 6 + 6 = 18 (條)【答案】8 個面，18 條棱【鞏固】右圖中共有多少個面？多少條棱？【考點】長方體與正方體【難度】1 星【題型】解答【解析】9 個面，21 條棱【答案】9 個面，21 條棱【例 2】 如右圖，在一個棱長為 10 的立方體上截取一個長為 8，寬為 3，高為 2 的小長方體，那么新的幾何體的表面

5、積是多少？【考點】長方體與正方體【難度】2 星【題型】解答【解析】我們從三個方向(前后、左右、上下)考慮，新幾何體的表面積仍為原立方體的表面積：10 ´ 10 ´ 6 = 600【答案】600【鞏固】在一個棱長為 50 厘米的正方體木塊，在它的八個角上各挖去一個棱長為 5 厘米的小正方體，問剩下的立體圖形的表面積是多少？【考點】長方體與正方體【難度】2 星【題型】解答【解析】對于和長方體相關的立體圖形表面積，一般從上下、左右、前后 3 

6、個方向考慮變化前后的表面積不變：50 ´ 50 ´ 6 = 15000(平方厘米)【答案】15000【例 3】 如右圖，有一個邊長是 5 的立方體，如果它的左上方截去一個邊分別是 5，3，2的長方體，那么它的表面積減少了多少?【考點】長方體與正方體【難度】2 星【題型】解答4-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page 2of 33【解析】原來正方體的表面積為 5 ´ 5 &#

7、180; 6 = 150現在立體圖形的表面積減少了前后兩個面中的部分面，它們的面積為(3 ´ 2) ´ 2 = 12，所以減少的面積就是 12【答案】12【例 4】 如圖，有一個邊長是 5 的立方體，如果它的左上方截去一個邊分別是 5，3，2 的長方體，那么它的表面積減少了百分之幾?【考點】長方體與正方體【難度】2 星【題型】解答【關鍵詞】奧林匹克，初賽，10 題【解析】原來正方體的表面積為

8、60;5 ×5×6=150，現在立體圖形的表面積截了兩個面向我們的側面，它們的面積為(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8即表面積減少了百分之八【答案】百分之八【例 5】 右圖是一個邊長為 4 厘米的正方體，分別在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個邊長 l 厘米的正方體，做成一種玩具它的表面積是多少平方厘米?（圖中只畫出了前面、右面、上面挖去的正方體）【考點】長方體與正方體【難度】2 星【題型】解答【解析】原正方體的表面積是 4 &

9、#180; 4 ´ 6 = 96(平方厘米)每一個面被挖去一個邊長是 1 厘米的正方形，同時又增加了 5 個邊長是 1 厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分總的來看，每一個面都增加了 4 個邊長是 1 厘米的正方形從而，它的表面積是：96 + 4 ´ 6 = 120 平方厘米【答案】120【例 6】 如圖，有一個邊長為 20&

10、#160;厘米的大正方體，分別在它的角上、棱上、面上各挖掉一個大小相同的小立方體后，表面積變為 2454 平方厘米，那么挖掉的小立方體的邊長是多少厘米？4-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page 3of 3311【考點】長方體與正方體【難度】2 星【題型】解答【解析】大立方體的表面積是 20 ´ 20 ´ 6 = 2400 平方厘米在角上挖掉一個小正方體后，外面少了 3 個面，但里面又多出 3 

11、;個面；在棱上挖掉一個小正方體后，外面少了 2個面，但里面多出 4 個面；在面上挖掉一個小正方體后，外面少了1 個面，但里面多出 5 個面所以，最后的情況是挖掉了三個小正方體，反而多出了6 個面，可以計算出每個面的面積：(2454 - 2400) ¸ 6 = 9 平方厘米，說明小正方體的棱長是 3厘米【答案】3【例 7】 下圖是一個棱長為 2 厘米的正方體，在正方體上表面的正中，向下挖一個棱長為1

12、 厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中向下挖一個棱長為厘米的正方形2小洞，第三個正方形小洞的挖法和前兩個相同為 厘米，那么最后得到的立體圖4形的表面積是多少平方厘米？´   ´ 4 = 1(平方厘米)，  ´  ´ 4 =  (平方厘米)，這個立體圖形的表面積為：8 + 16 + 4 + 1 +  =

13、60;29   (平方厘米).【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】解答【解析】我們仍然從 3 個方向考慮平行于上下表面的各面面積之和：2 ´ 2 ´ 2 = 8(平方厘米)；左右方向、前后方向： 2 ´ 2 ´ 4 = 16(平方厘米 )，1 ´ 1 ´ 4 = 4(平方

14、厘米 )，11111224441144【答案】 2914【例 8】 從一個棱長為 10 厘米的正方形木塊中挖去一個長 10 厘米、寬 2 厘米、高 2 厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少？(寫出符合要求的全部答案)【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】解答【關鍵詞】小學生數學報【解析】按圖 1 所示沿一條棱挖，為 592 平方厘米；按圖 2 所示在某一面上挖，為 632 平方厘

15、米；按圖 3 所示在某面上斜著挖，為 648 平方厘米；按圖 4 所示挖通兩個對面，為 672 平方厘米4-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page 4of 33圖 1圖 24【答案】按圖 1 所示沿一條棱挖，為 592 平方厘米；按圖 2 所示在某一面上挖，為 632 平方厘米；按圖 3 所示在某面上斜著挖，為 648 平方厘米；按圖 

16、;4 所示挖通兩個對面，為 672 平方厘米圖 3                  圖圖 1圖 2圖 3圖4【例 9】 一個正方體木塊，棱長是 15從它的八個頂點處各截去棱長分別是 1、2、3、4、5、6、7、8 的小正方體這個木塊剩下部分的表面積最少是多少？【考點】長方體與正方體【難度】4

17、60;星【題型】解答【關鍵詞】迎春杯【解析】截去一個小正方體，表面積不變，只有在截去的小正方體的面相重合時，表面積才會減少，所以要使木塊剩下部分的表面積盡可能小，應該在同一條棱的兩端各截去棱長 7 與 8 的小正方體(如圖所示)，這時剩下部分的表面積比原正方體的表面積減少最多剩下部分的表面積最小是： 15 ´ 15 ´ 6 - 7 ´ 7 ´ 2 = 1252想想為什么不是4-5-1.長

18、方體與正方體（一） 題庫page 5of 3315 ´ 15 ´ 6 - 7 ´ 7 - 8 ´ 8 ？【答案】1252【例 10】 從一個長 8 厘米、寬 7 厘米、高 6 厘米的長方體中截下一個最大的正方體(如下圖)，剩下部分的表面積之和是平方厘米86667【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】填空

19、【解析】可以將這個圖形看作一個八棱柱，表面積和為：´´=（8 ´ 7 - 6 ´ 6） 2 + 6 （1 + 6 + 6 + 6 + 1 + 7 + 8 + 7） 292 (平方厘米)也可以這樣想：由于截去后原來的長方體的表面少了 3 個 6 ´&#

20、160;6 的正方形，而新圖形凹進去的部分恰好是 3 個 6 ´ 6 的正方形，所以新圖形的表面積與原圖形的表面積相等，為(8 ´ 7 + 8 ´ 6 + 7 ´ 6)´ 2 = 292 (平方厘米)【答案】292【鞏固】一個長、寬、高分別為21 厘米、15 厘米、12 厘米的長方形，現從它的上面盡可能大的切

21、下一個正方體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大的切下一個正方體，剩下的體積是多少平方厘米？【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】解答【解析】本題的關鍵是確定三次切下的正方體的棱長.由于 21:15:12 = 7:5: 4 ，為了方便起見.我們先考慮長、寬、高分別為7 厘米、5 厘米、 4 厘米的長方體.因為 7 > 5 > 4 ,容易知道第一次切下的正方體棱長應該是 

22、;4 厘米（如圖），第二次切時，切下棱長為 3 厘米的正方體符合要求.第三次切時，切下棱長為 2 厘米的正方體符合要求.      剩下的體積應是 21´15 ´12 - (123 + 93 + 63 )= 1107 （平方厘米）.【答案】1107【例 11】 一個正方體木塊，棱長是 1 米，沿著水平方向將它鋸成

23、60;2 片，每片又鋸成 3 長條，每條又鋸成 4 小塊，共得到大大小小的長方體 24 塊，那么這 24 塊長方體的表面積之和是多少？【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】解答【解析】鋸一次增加兩個面，鋸的總次數轉化為增加的面數的公式為：鋸的總次數 ´ 2 = 增加的面數原正方體表面積：1 ´ 1 ´ 6 = 6(平方米)，一共鋸了(2 - 

24、1) + (3 - 1) + (4 - 1) = 6 次，6 + 1 ´ 1 ´ 2 ´ 6 = 18(平方米)4-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page 6of 33【答案】18【鞏固】如右圖，一個正方體形狀的木塊，棱長 l 米，沿水平方向將它鋸成 3 片，每片又鋸成 4&

25、#160;長條，每條又鋸成 5 小塊，共得到大大小小的長方體 60 塊那么，這 60塊長方體表面積的和是多少平方米?【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】解答【解析】我們知道每切一刀，多出的表面積恰好是原正方體的 2 個面的面積現在一共切了(3 - 1) + (4 - 1) + (5 - 1) = 9 刀，而原正方體一個面的面積 1 ´ l&

26、#160;= 1(平方米)，所以表面積增加了 9 ´ 2 ´ 1 = 18(平方米)原來正方體的表面積為 6 ´ 1 = 6(平方米)，所以現在的這些小長方體的表積之和為 6 + 18=24(平方米)【答案】24【鞏固】一個表面積為 56cm2 的長方體如圖切成 27 個小長方體，這 27 個小長方體表面積的和是cm2 【考點】長方體與正

27、方體【難度】3 星【題型】填空【關鍵詞】走美杯，六年級，初賽【解析】每一刀增加兩個切面，增加的表面積等于與切面平行的兩個表面積，所以每個方向切兩刀后，表面積增加到原來的 3 倍，即表面積的和為 56 ´ 3 = 168(cm2) 【答案】168【例 12】 右圖是一個表面被涂上紅色的棱長為 10 厘米的正方體木塊，如果把它沿虛線切成 8 個正方體，這些小正方體中沒有被涂上紅色的所有表面的面積和是多少平方厘米？【考點】長方體與正方體【難度

28、】3 星【題型】解答【解析】10 ´ 10 ´ 6 = 600(平方厘米)【答案】600【例 13】 有 n 個同樣大小的正方體，將它們堆成一個長方體，這個長方體的底面就是原正4-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page 7of 33方體的底面如果這個長方體的表面積是 3096 平方厘米，當從這個長方體的頂部拿去一個正方體后，新的長方體的表面積比原長方體的表面積減少 144 平方厘米，那么

29、60;n 為多少？【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】解答【解析】由于堆成的長方體的底面就是原來正方體的底面，說明這個長方體是由這些正方體一字排開組成的，從這個長方體的頂部拿去一個正方體，減少的面積相當于側面的四個正方形的面積，所以正方體每個面的面積是144 ¸ 4 = 36 (平方厘米)所堆成的長方體的表面積，包含底面的 2 個正方形和側面的 4n 個正方形，所以n = (3096 - 36 ´ 

30、2) ¸ 144 = 21 【答案】21【例 14】 邊長分別是 3、5、8 的三個正方體拼在一起，在各種拼法中，表面積最小多少？【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】解答【解析】三個正方體兩兩拼接時，最多重合 3 個正方形面，其中邊長為 3 的正方體與其它兩個正方體重合的面積不超過邊長為 3 的正方形，邊長為 5 和邊長為 8 的正方體的重合面面積不超過邊長為 5

31、60;的正方形，三個正方形表面積和為6 ´ 3 ´ 3 + 6 ´ 5 ´ 5 + 6 ´ 8 ´ 8 - 2 ´ 2 ´ 3 ´ 3 - 2 ´ 5 ´ 5 = 502

32、.【答案】502【例 15】 如圖，25 塊邊長為 1 的正方體積木拼成一個幾何體，表面積最小是多少？25塊積木【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】解答【解析】當小積木互相重合的面最多時表面積最小.設想 27 塊邊長為 1 的正方形積木，當拼成一個3´ 3´ 3 的正方體時，表面積最小，現在要去掉 2 塊小積木，只有在兩個角上各去掉一塊小積木，或在同一個角去掉兩塊相鄰的積木時，表面積不會增加，該幾何體表面積為 

33、;54.【答案】54【例 16】 由六個棱長為 1 的小正方體拼成如圖所示立體，它的表面積是【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】填空【關鍵詞】走美杯，4 年級，決賽，第 3 題，8 分【解析】三視圖法：表面積為： (4 + 5 + 4)´ 2 = 26【答案】26【例 17】 將 15 個棱長為1 的正方體堆放在桌子上，噴上紅色后再將它們分開。涂上紅色的部分，

34、面積是（）平方厘米4-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page 8of 33【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】填空【關鍵詞】走美杯，3 年級，初賽，第 12 題【解析】注意底面放在桌子上，不能被染到。從上向下看有 10 個：從左向右看有 6 個；從前向后看有 7 個。因此被染色的面有10 + (6 + 7 )´ 2 = 36 個面【答案】36【例 

35、;18】 用 6 塊右圖所示(單位：cm)的長方體木塊拼成一個大長方體，有許多種拼法，其中表面積最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？123【考點】長方體與正方體【難度】4 星【題型】解答5【解析】要使表面積最小，需重疊的面積最大，如圖的拼接方式新的長方體長為 ，寬為4 ，高為 3 ，所以表面積為 (3 ´ 4 + 3 ´ 3 + 3 ´ 4) ´

36、60;2 = 66(cm 2 ) ；要使表面積最大需重疊的面積最小，如圖所示，長為 18 ，寬為 2，高為 1 ，所以最大的表面積為(18´ 1+ 18´ 2+ 1´ 2)´ 2= 112(cm )(1)(2)【答案】112【鞏固】用 10 塊長 5 厘米，寬 3 厘米，高 7 厘米的長方體積木堆成

37、一個長方體，這個長方體的表面積最小是多少?【考點】長方體與正方體【難度】4 星【題型】解答【解析】教師可以先提問：這個長方體的表面積最大是多少?為使表面積最大，要盡量保證10 ´ 2 個 7 ´ 5 的面成為表面，想要做到這點很容易，只需將 7 ´ 5 面做底面，而后將 10 個長方體連排，銜接的面選用 3 ´ 5 的面(銜接的面將不能成為表面積)，這樣得到的長方體表面積最大同

38、樣要想最小，可把 7 ´ 5 面做銜接的面，可得到 10 個長方體的連排，但此時我們還可以再4-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page 9of 33制造出銜接面，如圖：此時增加了 2 個 5 ´ 7 的面，減少了 10 個 3 ´ 7 的面，總體來講表面積減少了表面積是：2 ´ (7 ´ 15&

39、#160;+ 15 ´ 10 + 10 ´ 7) = 650(平方厘米)，所以這就是最小的表面積【答案】650【例 19】 要把 12 件同樣的長 a、寬 b、高 h 的長方體物品拼裝成一件大的長方體，使打包后表面積最小，該如何打包？當 b = 2h 時，如何打包？當 b < 2h 時，如何打包？當 b 

40、;> 2h 時，如何打包？【考點】長方體與正方體【難度】5 星【題型】解答【解析】圖 2 和圖 3 正面的面積相同，側面面積 = 正面周長 ´ 長方體長，所以正面的周長愈大表面積越大，圖 2 的正面周長是 8h + 6b，圖 3 的周長是 12h + 4b.兩者的周長之差為 2（b - 2h）.當 b = 2h&

41、#160;時，圖 2 和圖 3 周長相等，可隨意打包；當 b < 2h 時，按圖 2 打包；當 b > 2h 時，按圖 3 打包.ahb圖1圖2圖3【答案】當 b = 2h 時，圖 2 和圖 3 周長相等，可隨意打包；當 b < 2h 時，按圖 2 打包；當 b 

42、;> 2h 時，按圖 3 打包.4-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page10 of 33ahb圖1圖2圖3【鞏固】要把 6 件同樣的長 17、寬 7、高 3 的長方體物品拼裝成一件大的長方體，表面積最小是多少？【考點】長方體與正方體【難度】4 星【題型】解答【解析】考慮所有的包裝方法，因為 6 = 1 ´ 2 ´ 3，所以一共有兩種拼接方式：第一種按長寬高

43、 1 ´ 1 ´ 6 拼接，重疊面有三種選擇，共 3 種包裝方法.第二種按長寬高 1 ´ 2 ´ 3 拼接，有 3 個長方體并列方向的重疊面有三種選擇，有 2 個長方體并列方向的重疊面剩下 2 種選擇，一共有 6 種包裝方法.其中表面積最小的包裝方法如圖所示，表面積為 1034.【答案】1034【例 20】 

44、如圖，把正方體用兩個與它的底面平行的平面切開，分成三個長方體，這三個長方體的表面積比是 3：4：5 時，用最簡單的整數比表示這三個長方體的體積比：。【考點】長方體與正方體【難度】4 星【題型】填空【關鍵詞】走美杯，初賽，六年級，第 11 題【解析】體積比為 3:8:13【答案】 3:8:13【例 21】 如圖，在一個棱長為 5 分米的正方體上放一個棱長為 4 分米的小正方體，求這個立體圖形的表面積4-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page11 

45、;of 33【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】解答【解析】我們把上面的小正方體想象成是可以向下“壓縮”的，“壓縮”后我們發現：小正方體的上面與大正方體上面中的陰影部分合在一起，正好是大正方體的上面.這樣這個立體圖形的表面積就可以分成這樣兩部分：上下方向：大正方體的兩個底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方體的四個側面，大正方體的四個側面上下方向：5 ´ 5 ´ 2 = 50 (平方分米)；側面：5 ´ 5 ´ 4&

46、#160;= 100 (平方分米)，4 ´ 4 ´ 4 = 64 (平方分米)這個立體圖形的表面積為： 50 + 100 + 64 = 214 (平方分米)【答案】214【鞏固】如右圖所示，由三個正方體木塊粘合而成的模型，它們的棱長分別為 1 米、2 米、4 米，要在表面涂刷油漆，如果大正方體的下面不涂油漆，則模型涂刷油漆的面積是多少平方米？【考點】長方體與正方體【難

47、度】3 星【題型】解答1【解析】該圖形從前、后、左、右四面觀察到的面積都是 2 + 22 + 42 = 21 平方米，從上面觀察到的面積是 42 = 16 平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面積是21´ 4 + 16 = 100 平方米【答案】100【例 22】 如圖，棱長分別為1 厘米、 2 厘米、 3 厘米、 

48、;5 厘米的四個正方體緊貼在一起，則所得到的多面體的表面積是_平方厘米【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，五年級，復賽，第 7 題，5 分【解析】 (法 1)四個正方體的表面積之和為： (12 + 22 + 32 + 52 ) ´ 6 = 39 ´ 6 = 234 (平方厘米)，重疊部分的面積為： 

49、12 ´ 3 + (22 ´ 2 + 12 ) + (32 + 22 + 12 ) + (32 + 22 + 12 ) = 3 + 9 + 14 + 14 = 40 (平4-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page12 

50、;of 33方厘米)，所以，所得到的多面體的表面積為： 234 - 40 = 194 (平方厘米)(法 2)三視圖法從前后面觀察到的面積為 52 + 32 + 22 = 38 平方厘米,從左右兩個面觀察到的面積為 52 + 32 = 34 平方厘米，從上下能觀察到的面積為 52 = 25 平方厘米表面積為 (38 +&

51、#160;34 + 25)´ 2 = 194 (平方厘米)【答案】194【例 23】 如圖，用若干個體積相同的小正方體堆積成一個大正方體，要使大正方體的對角線（正方體八個頂點中距離最遠的兩個頂點的連線）穿過的小正方體都是黑色的，其余小正方體都是白色的，并保證大正方體每條邊上有偶數個小正方體。當堆積完成后，白色正方體的體積占總體積的 93.75%，那么一共用了多少個黑色的小正方體？15【考點】長方體與正方體【難度】4 星【題型】解答【關鍵詞】希望杯，五年級，復賽，第 18

52、60;題，10 分【解析】白色正方體的體積占總體積的 93.75%，即占整個的，白色正方體與黑色正方體16之比為：1：15，觀察可知，每一層黑色正方體有4 個，則白色正方體有 60 個，所以每一層共有 64 個正方體，則正方體的邊長為 1，則共有 8 層，所以一共用了 4×8=32 個小的黑色的正方體。【答案】32【例 24】 邊長為 1 厘米的正方體，如圖這樣層層重疊放置，那么當重疊到第 5 層時，這個立

53、體圖形的表面積是多少平方厘米？N (N + 1)【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】解答【解析】這個圖形的表面積是俯視面、左視面、正視面得到的圖形面積的 2 倍. 該立體圖形的上下、左右、前后方向的表面面積都是 15 平方厘米，該圖形的總表面積為 90立方厘米【答案】90【鞏固】按照上題的堆法一直堆到 N 層( N > 3 )，要想使總表面積恰好是一個完全平方數，則 N 的最小值是多少？【考點】長方體與

54、正方體【難度】4 星【題型】解答，【解析】每增加一層，每一個“大面”就增加到個小面，總表面積是 6 個“大面”24-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page13 of 33所以就增加到 3N ( N + 1) 個小面，幾何題變成數論題，問題轉化為“3N ( N + 1) 是一個完全平方數，N 的最小值是幾 ( N > 3) ？”因為 N 和

55、 N + 1 互質，所以 N 和 N + 1 必須有一個是完全平方數，一個是平方數的 3 倍，但 N + 1 不能是平方數的 3 倍，因為如果 N + 1 是平方數的 3 倍，設 N + 1 = 3n2, N = 3n2 - 1 此時 N&

56、#160;被 3 除余 2，不可能是完全平方數，所以 N 是平方數的 3 倍， N + 1 是完全平方數，開始試驗：當 N = 3 ´12 = 3 ，不符合題意；當 N = 3 ´ 22 = 12 ， N + 1 = 13 ，不是完全平方數；當 N&

57、#160;= 3 ´ 32 = 27 ， N + 1 = 28 ，不是完全平方數；當 N = 3 ´ 42 = 48 ， N + 1 = 49 ，是完全平方數，所以 N 的最小值是 48，即堆到第 48 層時，總表面積是完全平方數，為 3 ´

58、; 48 ´ 49 = 842 .【答案】48【例 25】 把 19 個棱長為 1 厘米的正方體重疊在一起，按右圖中的方式拼成一個立體圖形.，求這個立體圖形的表面積【考點】長方體與正方體【難度】4 星【題型】解答【解析】從上下、左右、前后觀察到的的平面圖形如下面三圖表示因此，這個立體圖形的表面積為：2 個上面 +2 個左面 +2 個前面上表面的面積為：9 平方厘米，左表面的面積為：8 平

59、方厘米，前表面的面積為：10 平方厘米因此，這個立體圖形的總表面積為： (9 + 8 + 10) ´ 2 = 54 (平方厘米)上下面左右面前后面【答案】54【鞏固】用棱長是 1 厘米的立方塊拼成如右圖所示的立體圖形，問該圖形的表面積是多少平方厘米?【考點】長方體與正方體【難度】4 星【題型】解答4-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page14 of 33【關鍵詞】華杯賽，初賽，第 12 題【解

60、析】該圖形的上、左、前三個方向的表面分別由 9、7、7 塊正方形組成該圖形的表面積等于 (9 + 7 + 7) ´ 2 = 46 個小正方形的面積，所以該圖形表面積為 46 平方厘米【答案】46【例 26】 現有一個棱長為 1 厘米的正方體，一個長寬為 1 厘米高為 2 厘米的長方體，三個長寬為 1 厘米高為 3 厘米的長方體下

61、列圖形是把這五個圖形合并成某一立體圖形時，從上面、前面、側面所看到的圖形試利用下面三個圖形把合并成的立體圖形(如例)的樣子畫出來，并求出其表面積例：上側前上面所看到的圖形前面所看到的圖形側面所看到的圖形【考點】長方體與正方體【難度】4 星【題型】解答【解析】從前面看到的和從側面看到的圖形都只有 3 層，說明疊成的圖形只有 3 層從上面看到的圖形中可以確定 2 個高為 3 厘米的長方體的位置，一個水平方向，一個豎直方向，再從前面和側面的圖形可以看出這兩個長方體都在第1 層；從而可以確定另一個高為&

62、#160;3厘米的長方體及其它兩個圖形的位置，可得立體圖形的形狀如下圖所示從上面和下面看到的形狀面積都為 9 平方厘米，共 18 平方厘米；從兩個側面看到的形狀面積都為 7 平方厘米，共 14 平方厘米；從前面和后面看到的形狀面積都為 6 平方厘米，共 12 平方厘米；隱藏著的面積有 2 平方厘米一共有18 + 14 + 12 + 2 = 46 (平方厘米)【答案】4

63、6【例 27】 將一個表面積涂有紅色的長方體分割成若干個棱長為 1 厘米的小正方體，其中一面都沒有紅色的小正方形只有 3 個，求原來長方體的表面積是多少平方厘米？【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】解答【關鍵詞】清華附中，培訓題【解析】長：3 + 1 + 1 = 5 厘米；寬：1 + 1 + 1 = 3 厘米；高：1 + 1 + 1

64、0;= 3 厘米；所以原長方體的表面積是：（3 ´ 5 + 3 ´ 5 + 3 ´ 3）3 ´ 2 = 78 平方厘米【答案】784-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page15 of 33【例 28】 有 30 個邊長為 1 米的正方體，在地面上擺成右上圖的形式，然后把露出的表面涂成紅色求被涂成

65、紅色的表面積【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】解答【解析】 4 ´ 4 + (1+ 2 + 3 + 4) ´ 4 = 56 (平方米)【答案】56【例 29】 有一塔形幾何體由若干個正方體構成，構成方式如下圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點已知最底層正方體的棱長為 2，且該塔形的表面積(含最底層正方體的底面面積)超過 39，則該塔形中正方體

66、的個數至少是_最底層的正方體的單個側面面積為 2 ´ 2 = 4 ，往上依次為 2，1，  11前五層正方體的單個側面面積和為 4 + 2 + 1 + + = 7.75 ，【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】填空【解析】此幾何體不論有多少層，其上、下表面積是固定不變的，為2 ´ 2 + 2 ´ 2&#

67、160;= 8 ，它的每個側面的面積應該超過 (39 - 8) ¸ 4 = 7.75 ，241124所以要想超過 7.75 ，至少應該是 6 個【答案】6【例 30】 如圖，這是一個用若干塊體積相同的小正方體粘成的模型把這個模型的表面(包括底面)都涂成紅色，那么，把這個模型拆開以后，有三面涂上紅色的小正方體比有兩面涂上紅色的小正方體多_塊【考點】長方體與正方體【難度】4 星【題型】填空【解析】三面涂上紅色的小正方體有

68、： 4 ´ 2 + 5 ´ 4 = 28 個，兩面涂上紅色的小正方體有：4-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page16 of 333 ´ 4 + 1´ 4 = 16 個，所以三面涂紅色的比兩面涂紅色的多 28 - 16 = 12 塊【答案】12【例 31】 小明用若

69、干個大小相同的正方體木塊堆成一個幾何體，這個幾何體從正面看如圖1 所示，從上面看如圖 2，那么這個幾何體至少用了塊木塊圖1圖2【考點】長方體與正方體【難度】4 星【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，中年級，復賽，9 題【解析】這道題很多同學認為答案是 26 塊這是受思維定勢的影響,認為圖 2 中每一格都要至少放一塊其實,有些格不放,看起來也是這樣的如下圖，帶陰影的 3 塊不放時，小正方體塊數最少，為 23【答案】23 塊【例 32】 小明用若干個大小相同的正方體

70、木塊堆成一個幾何體，這個幾何體從正面看如圖2 所示，從上面看如圖 3 所示，那么這個幾何體至少用了塊木塊圖2圖3【考點】長方體與正方體【難度】4 星【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，高年級，初賽，7 題【解析】這道題很多同學認為答案是 31 塊這是受思維定勢的影響，認為圖 2 中每一格都要至少放一塊其實，有些格不放，看起來也是這樣的如圖5，帶陰影的 5 塊不放時，小正方體塊數最少，為 26 塊【答案】26 塊圖5【例 33】 右圖是

71、0;4 ´ 5 ´ 6 正方體，如果將其表面涂成紅色，那么其中一面、二面、三面被涂成紅色的小正方體各有多少塊？4-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page17 of 33【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】解答【解析】三面涂紅色的只有 8 個頂點處的 8 個立方體；兩面涂紅色的在棱長處，共 (4 - 2) ´ 4 + (5 - 2)

72、60;´ 4 + (6 - 2) ´ 4 = 36 塊；一面涂紅的表面中間部分： (4 - 2) ´ (5 - 2) ´ 2 + (4 - 2) ´ (6 - 2) ´ 2 + (5 - 2) 

73、80; (6 - 2) ´ 2 = 52 塊【答案】52【例 34】 一個長方體，六個面均涂有紅色，沿著長邊等距離切 5 刀，沿著寬邊等距離切 4刀，沿著高邊等距離切n 次后，要使各面上均沒有紅色的小方塊為 24 塊，則n 的取值是_【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】填空【解析】沿著長邊等距離切 5 刀，可切為 5 + 1 = 

74、6 塊；沿著寬邊等距離切 4 刀，可切為 4 + 1 = 5塊；沿著高邊等距離切 n 刀，可切為 n + 1 塊由題意可知，長方體每一個面的外層是涂有 1 面(或 2 面、或 3 面)的小方塊，所以，各面均沒有紅色的小方塊共(6 - 2) ´ (5 - 2) ´ (n + 1&#

75、160;- 2) = 12(n - 1) 個，因各面均沒有紅色的小方塊為 24 塊，所以，12(n - 1) = 24 ，解得 n = 3 【答案】3【例 35】 棱長是 m 厘米（ m 為整數）的正方體的若干面涂上紅色，然后將其切割成棱長是1 厘米的小正方體至少有一面紅色的小正方體個數和表面沒有紅色的小正方體個數的比為13:12 ，此時 

76、;m 的最小值是多少?【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】解答【解析】切割成棱長是 1 厘米的小正方體共有 m3 個，由于其中至少有一面是紅色的小正方體與沒有紅色面的個數之比為 13:12 ，而 13 + 12 = 25 ，所以小正方體的總數是 25的倍數，即 m3 是 25 的倍數，那么 m 是 5 的倍數當 m = 5

77、0;時，要使得至少有一面的小正方體有 65 個，可以將原正方體的正面、上面和下面涂色，此時至少一面涂紅色的小正方體有5 ´ 5 + 5 ´ 4 ´ 2 = 65 個，表面沒有紅色的小正方體有125 - 65 = 60 個，個數比恰好是13:12 ，符合題意.因此， m 的最小值是 5【答案】5【例 36】 有 64&#

78、160;個邊長為 1 厘米的同樣大小的小正方體，其中 34 個為白色的，30 個為黑色的現將它們拼成一個 4 ´ 4 ´ 4 的大正方體，在大正方體的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】解答【解析】要使大正方體的表面上白色部分最多，相當于要使大正方體表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方體盡量不露出來在整個大正方體中，沒有露在表面的小正方體有(4 - 2)3 = 8&

79、#160;(個)，用黑色的；在面上但不在邊上的小正方體有 (4 - 2)2 ´ 6 = 24 (個)，其中 30 - 8 = 22 個用黑色這樣，在表面的 4 ´ 4 ´ 6 = 96 個1´1 的正方形中，有 22 個是黑色， 96 - 22 = 74

80、60;(個)是白色，所以在大正方體的表面上白色部分最多可以是 74 平方厘米【答案】74【例 37】 一個長方體的長是 12 厘米，寬 10 厘米，高也是整厘米數，在它的表面涂滿顏色后，截成棱長是 1 厘米的小正方體，其中一面有色的小正方體有 448 個求原來4-5-1.長方體與正方體（一） 題庫page18 of 33長方體的體積與表面積【考點】長方體與正方體【難度】3 星【題型】解答【解析】先求出長方體的高，再求其體積和表面積設長方

81、體的高為h 厘米，則按題意截成的一面有色的小正方體有0(1 - )2 (´ )2( - 1 ) (h ´ )(2+-2h)h ( 2- )  1´  2 個，因 為 ´22+        -一面有色的小正方體有 448 個，所以， 88&

82、#160;+ 36h = 448 ，解得 h = 10 所 以 ， 長 方 體 的 體 積 為 12 ´10 ´10 = 1200 立 方 厘 米 ， 表 面 積 為(12 ´10 + 12 ´10 

83、+ 10 ´10)´ 2 = 680 平方厘米【答案】體積 1200，表面積是 680【例 38】 將一個棱長為整數分米的長方體 6 個面都涂上紅色，然后把它全部切成棱長為 1分米的小正方體在這些小正方體中，6 個面都沒有涂紅色的有 12 塊，僅有兩個面涂紅色的有 28 塊，僅有一個面涂紅色的有塊，原來長方體的體積是立方分米【考點】長方體與正方體【難度】4 星【題型】填空（【解析】先考慮

84、 6 個面都沒有涂紅色的正方體，它們最初是位于原長方體的“芯” 就是去2掉長方體各面最外面一層后剩下的小長方體）內的正方體，共有 12 塊，所以 12就是這個“芯”的長、寬、高（各比原來長方形的長、寬、高小 ）的乘積而 12分拆成 3 個整數的乘積只有 4 種情況：1´1´121´ 2 ´ 61´ 3 ´ 42 ´ 2 

85、;´ 3 ；再看兩面涂紅的小正方體兩面涂紅的小正方體就是最初位于長方體的棱上除了頂角處的那些小正方體，它們的個數和恰好是“芯”的長、寬、高之和的4 倍由于這樣的小正方體共有 28 塊，所以“芯”的長、寬、高之和為 28 ¸ 4 = 7 ；符合條件的只有 2 + 2 + 3 = 7 ，所以“芯”為 2 ´ 2 ´ 3&#

86、160;的長方體，原來的長方體是 4 ´ 4 ´ 5 的長方體一面涂紅的長方體就是最初位于長方體各個面中間部分的長方體，它們的數量為：，(2 ´ 2 + 2 ´ 3 + 2 ´ 3)´ 2 = 32 （個）原來長方體的體積為： 4 ´ 4 ´ 5 = 80 （立方分米）【答案】一面涂色的有 32