1、第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 1第六章第六章 常微分方程常微分方程 第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第二節第二節 一階微分方程一階微分方程第三節第三節 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程第四節第四節 二階線性微分方程解的結構二階線性微分方程解的結構 第五節第五節 二階常系數線性齊次微分方程二階常系數線性齊次微分方程第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 2第二節第二節 一階微分方程一階微分方程本節主要內容本節主要內容: :一、可分離變量的一階微分方程一、可分離變量的一階微分方程 二、齊次方程

2、二、齊次方程三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 3 一、一、 可分離變量的一階微分方程可分離變量的一階微分方程 下面介紹幾種常用的一階微分方程的基本類型及其解下面介紹幾種常用的一階微分方程的基本類型及其解法法 一階微分方程的一般形式為一階微分方程的一般形式為( , )yF x y (1) ( )d( )dg yyf xx 的形式，稱的形式，稱(1)式為式為可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程其中其中f(x)只只是是x的函數的函數,g(y)只是只是y的函數的函數. (2)如果一階微分方程如果一階微分方程 (1)式可

3、以化為形如式可以化為形如或或( , ,)0F x y y 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 45422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 這類方程的這類方程的特點特點是：是：經過適當整理，可使方程的一邊只含有一個變量和其微經過適當整理，可使方程的一邊只含有一個變量和其微分分.第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 5第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 6dsin dyeyx x dsin dyeyx x cosyx eC ln(cos)yxC 這個通解是以隱函數形式給出的，

4、也可以顯化為這個通解是以隱函數形式給出的，也可以顯化為得方程的通解得方程的通解兩邊積分兩邊積分解解 將方程分離變量，得將方程分離變量，得例例1 求微分方程求微分方程 y- ey sinx = 0 的通解的通解 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 7例例2 求微分方程求微分方程xyy 的通解的通解解解 將方程分離變量，有將方程分離變量，有y yx x dd兩邊積分得兩邊積分得 Cyx 2211222xyC 22故通解為故通解為第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 8例例3 求微分方程求微分方程解解 將方程分離變量，有將方程

5、分離變量，有2ddddxy yxyxy y21dd11yyxyx 兩邊積分得兩邊積分得 211ln1ln12yxC 12221 (1)Cyxe 12221(1)Cyex 的通解的通解第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 9221(1)yC x (3) 12Ce 因為因為 是不為零的任意常數，把它記作是不為零的任意常數，把它記作C，便得到，便得到方程的通解方程的通解 1y 可以驗證可以驗證C = 0時時 ， , 它們也是原方程的解，它們也是原方程的解，因此（因此（3）式中的）式中的C可設為任意常數可設為任意常數 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節

6、一階微分方程一階微分方程 10 解方程中，如果積分后出現對數，理應都需作類似解方程中，如果積分后出現對數，理應都需作類似上述的討論為方便起見，例上述的討論為方便起見，例2可作如下簡化處理：可作如下簡化處理：兩邊積分得兩邊積分得 分離變量后得分離變量后得 2dd11y yxyx 22ln(1)ln(1)lnyxC故通解為故通解為 221(1)yC x其中其中C為任意常數為任意常數 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 11兩邊積分得方程通解兩邊積分得方程通解 解解 方程變形后分離變量得方程變形后分離變量得 ，得，得 1C 由初始條件由初始條件 01xy 1si

7、n xCy 故所求特解為故所求特解為 2cosdyyxdx 求微分方程求微分方程例例4滿足滿足11sinyx 2cosdyxdxy 初始條件初始條件的特解的特解0|1xy 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 121.定義定義)(xyfdxdy 形形如如的微分方程稱為的微分方程稱為齊次方程齊次方程.2.解法解法作變量代換作變量代換,令令,xuy 即即,dxduxudxdy 代入原式代入原式),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分離變量的方程可分離變量的方程 二、二、 齊次方程齊次方程 分離變量，得分離變量，得 d1d( )uxf uux ,y

8、ux 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 13解解 將方程變形為齊次方程的形式將方程變形為齊次方程的形式 例例5 求微分方程求微分方程 的通解的通解(1lnln)xyyyx d(1ln)dyyyxxx 令令 yux , 則方程化為則方程化為 d(1ln),duuxuux 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 14分離變量后，得分離變量后，得 兩邊積分，得兩邊積分，得 d1dlnuxuux lnlnlnlnuxC 即即 lnuCx Cxue 以以yux 代回，得通解代回，得通解Cxyxe 第六章第六章 常微分方程常微分方程

9、第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 15例例 6 求解微分方程求解微分方程解解2dyyydxxx,xyu 令令,udxxdudy 則則2 duuxuudx 22.dyxxyydx第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 162duxudx 1ln.xCu微分方程的通解為微分方程的通解為.lnxyxC 即即2.dudxux 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 17例例7 求解微分方程求解微分方程解解，xyu 令令，udxxdudy 則則, 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsi

10、nCxu 微分方程的通解為微分方程的通解為.lnsinCxxy , 0coscos)cos(2 uduxudxxudxuuxx, 0cos2 uduxxdx0yy( xycos)dxxcosdy.xx 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 18解解xyxydxdy 11令令xyu 則則dxduxudxdy 代入化簡代入化簡并分離變量并分離變量dxxduuu1112 兩邊積分兩邊積分cxuulnln)1ln(21arctan2 換回原變量換回原變量cxxyxylnln)1ln(21arctan22 或或22arctanyxcexy 例例8dyxydxxy 第六

11、章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 19利用變量代換求微分方程的解利用變量代換求微分方程的解9例例解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdy ,arctanCxu 解解得得,)arctan(Cxyx 原方程的通解為原方程的通解為.)tan(xCxy ,uxy代代回回得得2dy( xy ).dx 求求的的通通解解第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 20三、三、 一階線性微分方程一階線性微分方程 (5)d( )( )dyP x yQ xx 的方程（其中的方程（其中稱為稱為一階線性微分方程，一階線性

12、微分方程，( ),( )P xQ x是是x的已知函數），的已知函數），稱為自由項稱為自由項Q(x)1.Q(x) 0，方程，方程(5)變為變為(6)d( )0dyP x yx 形如形如方程方程(6)稱為稱為一階線性齊次微分方程；一階線性齊次微分方程；第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 212.Q(x) 0，方程，方程(5)變為變為d( )( )dyP x yQ xx (7)方程方程(7)稱為稱為一階線性非齊次微分方程；一階線性非齊次微分方程；例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx 線性的線性的;, 32 xyyy, 1cos yy非線性的非線性的

13、.第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 221.1.一階線性齊次微分方程的解法一階線性齊次微分方程的解法,)( dxxPydy齊次方程的通解為齊次方程的通解為是可分離變量的方程，是可分離變量的方程，一階線性齊次微分方程：一階線性齊次微分方程：d( )dyP xxy d( )0dyP x yx 分離變量得分離變量得兩邊積分得兩邊積分得 ln( )dlnyP xxC ()dP xxyCe (8)第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 23為了書寫方便，約定以后不定積分符號只表示被積函為了書寫方便，約定以后不定積分符號只表示被積函

14、數的一個原函數，如符號數的一個原函數，如符號 是是P(x)的的一個一個原函原函數數.( )dP xx 說明：說明：第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 24常數變易法常數變易法把齊次方程通解中的常數變易為待定函數的方法把齊次方程通解中的常數變易為待定函數的方法實質實質: 未知函數的變量代換未知函數的變量代換.),()(xyxC原原未未知知函函數數新新未未知知函函數數作變換作變換( )( )P x dxyC x e 2.2.一階線性非齊次微分方程的解法一階線性非齊次微分方程的解法()dP xxyCe ( )( )( )( )( ),P x dxP x dxyC

15、 x eC xP x e 的形式，其中的形式，其中C(x)是待定的函數是待定的函數第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 25代入原方程得代入原方程得和和將將yy ),()()(xQexCdxxP 積分得積分得,)()()(CdxexQxCdxxP 一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為:)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxxPdxxPdxxPCedxexQe)()()()(對應齊次方對應齊次方程通解程通解非齊次方非齊次方程特解程特解()d()d()d( )( ) ( )( ) ( )( )P xxP xxP xxCx eP

16、 x C x eP x C x eQ x 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 26非齊次線性方程的通解非齊次線性方程的通解相應齊方程的通解相應齊方程的通解= =非齊次方程的一個特解非齊次方程的一個特解即即 非齊通解非齊通解= =齊通解齊通解+ +非齊特解非齊特解線性微分方程解的結構，是很優良的性質。線性微分方程解的結構，是很優良的性質。+ +第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 27 原方程即原方程即解解兩邊積分，得兩邊積分，得 (tan )secyx yx解法一解法一 用常數變易法：用常數變易法： 的通解分離變量得的通

17、解分離變量得先求先求 (tan )0yx y dtan dyx xy 1lnlncoslnyxC故故 1cosyCx 例例10(cos ) (sin )1x yx y 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 28變換常數變換常數C1，令，令 ，則，則 整理得整理得 把把y , y代入原方程，得代入原方程，得 于是于是 ( )cosyC xx ( )cos( )sinyCxxC xx ( )cos( )sin( )costansecCxxC xxC xxxx 2( )secCxx ( )tanC xxC第六章第六章 常微分

18、方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 29代入代入得到該非齊次方程的通解得到該非齊次方程的通解.把把( )tanC xxC( )cosyC xx (tan)cosyxCx解法二解法二 利用通解公式求解，這時必須把方程化成利用通解公式求解，這時必須把方程化成(5)的形式有的形式有 ( )tan , ( )secP xx Q xx第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 30故故 ()d()d( )dP xxP xxyeQ x exC tan dtan dsecdx xx xexexC lncoslncossecdxxexexC 2cossecdxx

19、 xC (tan)cosxCx 第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 31例例11解解( )cot ,p xx ( )2 sin ,Q xxx cotcot 2 sinxdxxdxyexxedxC 2sin xx dxC lnsinlnsin 2 sinxxexxedxC 求解微分方程求解微分方程 cot2 sindyyxxxdx第六章第六章 常微分方程常微分方程第二節第二節 一階微分方程一階微分方程 32例例12 求微分方程求微分方程 滿足初始條件滿足初始條件的特解的特解.42xyyx 116xy 將原方程變形為將原方程變形為 解解32yyxx 32( ),( )P xQ