1、高等數學公式(tgx) = sec2 x(ctgx) = -csc2 x (secx)： =secx tgx (cscx) - -cscx ctgx (a)=ax Ina(logax)=1xlna,、1(arcsin x) ： 21 - x/、1(arccos x)= -.1 - x2(arctgx) =1 x1(arcctgx) = 21 xJtgxdx = -ln cosx +CJctgxdx = ln sin x + CJsecxdx =ln secx+tgx +Cdx.2-cos xdx.2 sin x2= sec xdx = tgx C2= csc xdx = -ctgx CJcsc

2、xdx =ln cscx - ctgx +Csecx tgxdx = secx Cdx1+ x_F一2 二 arctg C a xaadx1.lx -a0二一2 = -lnCx -a2a | x adx 11axeE 9n n Ccscx ctgxdx = - cscx Cxx, a a dx = Cln ashxdx = chx Cchxdx = shx Cdxa2 7x2=arcsin- Ca=ln( x " ：Jx2 a2) Cnnxdx=O2萬I n = sin n xdx = cosnoon222 . x 22 a22 ._, x a dx = x a ln(x - x a

3、 ) C22 2iVx2 -a2dx = lx2 -a2 -aIn xx2 -a2 +C22222 . x 122 a . x 八a -x dx = a -x arcsin - C22 a基本積分表:三角函數的有理式積分:22u1 -u, xsin x =八 cosx =y, u=tg 一 ,1 u21 u22, 2dudx 21 u兩個重要極限:一些初等函數:x_x雙曲正弦：shx = e±2sin x lim x J0 x二1x_x雙曲余弦：chx=e上2lim (1 1)x = e = 2.718281828459045 x_；.：xx-x雙曲正切:thx_ shx e -e

4、chx ex e'arshx =ln(xx2 1)archx = ln(x x2 -1)1 1 x arthx In 2 1 -x三角函數公式:誘導公式：-a-sin (c cos a-tg a-ctg90 ° acos asin actg atg a90 °也cos a-sin (ctg （- - tg a180sin a-cos (- - tg a-ctg180 0 6-sin (x-cos (t tg actg a270 0 B-cos (x -sin (c ctg atg a270 0 比-cos (x sin a-ctg ，- - tg a360 0 B-

5、sin (c cos a-tg a-ctg360 0 比sin acos atg actg asin（ < 二 I'1） cos（ < 二）tg（、：二 I；）,ctg（二）和差角公式：二sin 二 cos 匚,二 cos 二 sin := cos: cos : "sin : sin :tg 二 tg ：1 - tg ： tg ：_ ctg 二 ctg ： 一1ctg 二 ctg 二R a + P a -Psin 工 " sin - = 2sincos22R a + P a - Psin - - sin - =2 cossin22佳 a + P a -

6、Pcos工 rcos - = 2coscos22n ot+P a - Pcose- - cos - = 2 sinsin22,和差化積公式:倍角公式:sin2： = 2sin 二 cos：3sin3： =3sin二 一4sin，3cos3二4cos 二 一3cos：222 2cos2： =2cos -1 =1 -2sin =二cos 二-sin 二一一 2ctg 二133tg： - tg 二tg3： =-1 -3tg2：ctg2：二-2ctg：2tg ;tg2 1 -tg ;半角公式:1 -cos ：s1n 2 -2,11 -cos：1 -cos： sin：tg - = = =2,1 cos

7、sin 上 1 cos.31 cos：cos二2 21 cosu1 cos： sin ：ctg 一=.=2 . 1 cos-isin 二二1 - cos.i正弦定理：-a- =-b- = =2R sin A sin B sin C222余弦止理：c = a b - 2abcosCjiarctgx =- -arcctgx2反三角函數性質：arcsin x =- - arccosx 2高階導數公式萊布尼茲（Leibniz ）公式:n(n)八 k (n -k) (k)(UV) =CnUVk=0(n)(n 4.) - n(n -1) (nN) . . n(n -1) (n - k 1) (n&

8、) (k)(n)=u v nu v -u v - u v uv2!k!中值定理與導數應用：拉格朗日中值定理：f (b) - f (a) -f ( )(b - a)柯西中值定理：f(b) - f(a)=L() F(b) -F(a) F ()當F(x)=x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率: 弧微分公式：ds =1 + y1dx,其中y，= tgo(平均曲率：K=|竽卜口 ：從M點到M 1點，切線斜率的傾角變 化量；As： MM -弧長。M點的曲率：K =lim 絲=叫=111yl.2 As | ds | 虱1 + y 幺)3直線：K =0;半徑為a的圓：K =-.ab矩形法：f (x)a

9、b梯形法：f (x)ab定積分的近似計算:b - a /(y° yiynj)nb - a 1：；2(y0 yn) y1yn/拋物線法：f (x)ab - a .(y° yn) 2(y2 V4 yn/) 4(yiy3 yn)3n定積分應用相關公式: 功：W =F s水壓力：F = p A引力：F=k嗎”,k為引力系數 r函數的平均值：y =ff(x)dx b -a a均方根:7-ab,f2(t)dta空間解析幾何和向量代數:空間2點的距離:d =|M1M2 =f(x2 -x1)2 +(y2 -y1)2 +(z2 -z1)2 向量在軸上的投影：Pr juAB =|ab| cos

10、Q中是aB與u軸的夾角。Prju(a1 a2)二Pr ja Pr ja2axbxaybyazbz兩向量之間的夾角:cos1=a b = a b cos6 =axbx +ayby +azbz，是一個數量222,2,2,2ax ay az , bx by bzc = ab = axaybxbykaz, c =|a b sine.例：線速度:azbz =aMb，ccos«戶為銳角時,Czbzax ay向量的混合積：abc = (amb) c = bx byCx cy代表平行六面體的體積平面的方程：1、點法式:A(x-x0) B(y-y0) C(z-4)= 0,其中 n = A,B,C, M

11、。d,y。4)2、一般方程：Ax By Cz D =03、截距世方程："丫?=ia b c平面外任意一點到該平 面的距離：d -Axo+Byo+Czo+D 、A2 B2 C2x = x° mt空間直線的方程：x0 =-一y0 =z0 =t,其中s =m,n, p;參數方程：y = y0+nt m n p、z= zo + pt二次曲面：2221、橢球面：今 J = 1a b c222、拋物面： 匕=z,(p,q同號)2p 2q3、雙曲面：222單葉雙曲面：- J =1a b c222雙葉雙曲面：x-+z- =1(馬鞍面)a2 b2 c2多元函數微分法及應用全微分：dz = d

12、x dy.:x.yu uu .du =dx dy dz；x；y；z全微分的近似計算：z :dz = fx(x, y) . x fy(x,y) . y多元復合函數的求導法：z = fu(t),v(t)z = fu(x,y),v(x,y)dz；z ；:u；z ；v-rr + *dt:u .:t:v 寸z:z 二 u；z 二 v.x.:u ； x Fv ； x當口 = u(x,y), v = v(x, y)時,du = dx dyjxFy隱函數的求導公式:v v .dv = dx dy ；x隱函數F(x,y) =0,dy _ FdxFy.2/(一年十于一弁啜隱函數 F(x,y,z) =0,.:z,x

13、Fz：z _ Fy-y - Fz隱函數方程組：*x,y,U,v) "0G(x,y,u,v) =0：(F,G),u,v)干.：u一 G.：u干.:v；:G.:vFuGvGu:u1 ：:(F,G)=-:xJ ：:(x,v)包二；：(F，G)2yJ ：(y,v):v 1 ：:(F,G) :x J ：:(u,x)斗二,F，G):y J ：:(u,y)微分法在幾何上的應用:x = (t)空間曲線<y=W(t)在點M(x0,y0,z0)處的切線方程：上區=匕比=三幺:中化)6代)Z = ©(t)在點 M處的法平面方程：邛(t0)(x x0)+中'(t0)(y y0) +8

14、'(t0)(z z0) =0若空間曲線方程為：F(x,y,z)=0則切向量丁.=- Fz,FzFx,Fx FyG(x,y,z)=0lGy Gz Gz Gx Gx Gy曲面 F (x, y,z) =0上一點 M (x0, y0,z0),則：1、過此點的法向量:n =Fx(x0, y0,z0), Fy(x0,y0,。), Fz(x0, y。/。)2、過此點的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(y y0) + Fz(x0,y0,z0)(z 。)=03、過此點的法線方程:x -x0_ y - y°_z-z0Fx(x0,y0,z0) Fy(x0,y

15、0,z0) Fz(x0,y0,z°)方向導數與梯度: 函數z = f (x, y)在一點p(x, y)沿任一方向l的方向導數為：更=且cos中+巨sin中；:l ；x Fy其中中為x軸到方向l的轉角。f 開函數z= f (x, y)在一點 p(x,y)的梯度：gradf(x,y) = i +j；x Z、r 、 ， 一一 rf.=、，,，匕與方向導致的關系是：一=grad f (x,y) e,其中e = co/i +sin中j,為l方向上的 Fl單位向量。,二f 是gradf (x,y)在l上的投影。.:l多元函數的極值及其求法:設 %(*0,丫0)- fy (x0, y0)= 0,令

16、：fxx(x0, y0 ) = A, fxy(x0, y0)= B,fyy(x0 , y0) = CAC -B2 A0時,則：AC -B2 <0時,A<0,(x0, y0)為極大值A>0,(x0,y0 )為極小值無極值AC -B2 =0日t,不確定重積分及其應用:11 f (x, y)dxdy = f (r cos,r sin )rdrdDD '曲面z = f (x, y)的面積 A = ff -1 + z+ z)D x ， yx：(x,y)d 二平面薄片的重心：x =MS =_DMii”(x,y)d。Ddxdyy：(x,y)d 二DII ' :(x, y)d

17、二D平面薄片的轉動慣量：對于x軸I x = JJy2 P(x, y)d。， 對于y軸I y = Jfx2P(x, y)dcrDD_：(x,y)xd。Fx - f . .3D / 222 .2(x y a )2F _ fP(x,y)yd仃Fy - f !3D . 222 2(x y ' a )2Fz-aD(x,y)xd1D (x2 y2 a2)2平面薄片(位于xoy平面)對z軸上質點M (0,0,a),(a >0)的引力：F =Fx,Fy,Fz,其中:|x = r cos 柱面坐標：y = r sin1,z = z柱面坐標和球面坐標:in f (x, y,z)dxdydz = F(

18、r, Lz)rdrd Mz, qri其中：F(r,-,z) = f (r cos-, r sin -, z)|x = r sin cos 二球面坐標：(y =r sin 中sin, dv = rd 中 rsin中 d日 dr = r2sin 中drd中d8 z = r cos :2 二 二 r( ：，T111 f (x, y,z)dxdydz = F(r, , i)r2sin drd d 二-d d : F (r, ,u)r2 sin drC;二；000一、_1_1_1_，_重心： x x; dv, yy; dv, zz： dv,其中 M = x=: dvM M M / /轉動慣量：I x =

19、(y2z2)：dv,I y =(x2z2)：dv,I z = (x2y2)：dvQQQ曲線積分: 第一類曲線積分(對弧 長的曲線積分)：設f (x,y)在L上連續，L的參數方程為：“，(口3"),則： 2 (t)P)=中代)f(x,y)ds =開中(t),中(t)d'2(t)十中'2(t)dt J <P)特殊情況:L)第二類曲線積分(對坐 標的曲線積分)：設L的參數方程為/=中，則：7小PP(x,y)dx Q(x,y)dy = P:(t) (t) Q(t)J (t)'- dtL、工兩類曲線積分之間的關 系：JPdx+Qdy = J(Pcosa+QcosP

20、)ds其中a和P分別為 LLL上積分起止點處切向量 的方向角。Q ，PQ ，P格林公式：(一 -一)dxdy = ： Pdx Qd冊林公式：(一 -)dxdy= Pdx QdyD 二x 1yLD 二x ：yL,一二 Q 二 P1當P=_y,Q=x,即：一二2時，得到 D的面積：A= Jfdxdy = qxdyydx：x ZD 2 L平面上曲線積分與路徑無關的條件：1、G是一個單連通區域；2、P(x,y), Q(x,y)在G內具有一階連續偏導數,且義=亙。注意奇點，如(0,0),應 二 x二 y減去對此奇點的積分，注意方向相反！二元函數的全微分求積：二 Q二 P在=一時，Pdx + Qdy才是一

21、兀函數u(x,y)的全微分，其中：；x jy(x.y)u(x,y) = P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常設 x0 = yO = d(比血曲面積分：對面積的曲面積分：f (x, y, z)ds： I l fx, y,z(x, y). 1 z2(x, y) z2(x, y)dxdy. _Dxy對坐標的曲面積分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：ZH R( x, y, z) dxdy = ± J J Rx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上側時取正 號； DxyJP(x, y, z)dydz = ±JPx

22、(y,z), y,zdydz,取曲面的前側時取正 號； DyzJQ(x,y,z)dzdx = ±HQx,y(z,x),zdzd為 取曲面的右側時取正 號。7Dzx兩類曲面積分之間的關 系：JPdydz+Qdzdx+Rdxdy= H(Pc0st +QcosP +Rcos；')ds ZZ高斯公式:11 i()dv =，Pdydz Qdzdx Rdxdy : ii(Pcos 二，Qcos : Rcos )ds；：xZ：zq"高斯公式的物理意義通量與散度：散度：diV J = 2 +經+空，即：單位體積內所產生的流體質量，若 diVJM0,則為消失；x：:y ；z通量：JJ

23、A nds= HAnds=仃(Pcosot +QcosP +Rcos?)ds,z z z因此，高斯公式又可寫成：HdivAdv = qAndsQZ斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關系:/ ：R: QP: RQ:P11(-)dydz (-)dzdx (-)dxdy 二：Pdx Qdy Rdz r ；y；z；z；x；xN空間曲線積分與路徑無dydzdzdxdxdyCOSacosPcos?-&ycz_ JJZdx小zz.PQRPQR上式左端又可寫成:關的條件：, 二 y 二 z:z ；xQ:x2 yi j k旋度：rotA=£色- 反 勾 & P Q R向量場A沿有向閉

24、曲線的環流量：gPdx +Qdy + Rdz=A tds fr常數項級數: 等比數列：1 , q , q2，,，q" =1 1-q等差數列：23”-3n =(n 1)n2調和級數：i J T 1是發散的 2 3 n級數審斂法:1、正項級數的審斂法 根植審斂法（柯西判 別法）：:二1時,級數收斂設:P =lim n,Un,n "則, P>1時，級數發散P=1時，不確定2、比值審斂法:設：口=1M叱 n >:Un'P<1 時, ,則P>1時,級數收斂級數發散3、定義法:S =u1 +u2 +un;lim sn存在,則收斂；否則發 散 n j二二交

25、錯級數U1 -u2 +u3 -u4 +（或-U1 +u2-u3 +，un A 0）的審斂法萊布尼茲定理： .一 Fn 之 Un 書 一一，“，一.，如果交錯級數滿足n,那么級數收斂且其和SWU1,其余項rn的絕又t值rn WUn書 lim un =u'n：絕對收斂與條件收斂:U1 +u2 +un +，其中un為任意實數；（2）Ui +U2|+U3|1 +|Un +如果（2）收斂，則（1）肯定收斂，且稱為絕對 收斂級數;如果（2）發散，而（1）收斂，則稱（1）為條件收斂級數。調和級數：v 1發散，而“. H攵斂; nn級數：'收斂; n,.p _ 1時發散.p.1時收斂幕級數:/

26、23n1 x x x，x/x <1時，收斂于1 -x_1時，發散對于級數(3)a0 +a1x +a2x2+一 +anxn +，如果它不是僅在原點 收斂，也不是在全x :二R時收斂數軸上都收斂，則必存 在R,使1x >R時發散，其中R稱為收斂半徑。x = R時不定求收斂半徑的方法：設lim an土 = P,其中 an, fanan書是(3)的系數，則41：;0時,R= P。=0時，R= 二P = " 時，R=0函數展開成幕級數：函數展開成泰勒級數： f (x)= f (x0)(x-x0) f (x0)(x -x0)2 - -一(0-) (x- x0)n ,2!n!(n 1)

27、,余項：Rn =山(x-x0)n* f (x)可以展開成泰勒級數的充要條件是：lim Rn =0(n 1)!n 二x0 =0時即為麥克勞林公式：f (x) =f(0) f (0)x 上x2*+ f一xn2!n!一些函數展開成幕級數：mm(m -1) 2m(m -1)(m-n 1) n(1 x)m=1 mx -x2-xn(-1： x ： 1)2!n!352n 4sinx =x - 土 土一(-1尸- (-二：x ； 二)35!(2n -1)!ix-ixe ecosx :歐拉公式:_ ix _ _ _ 一 一 e =cosx isinx2Iix 取一 e -esin x :三角級數:一 一 ：一a

28、 二f (t) = A0 八 An sin(n t n) =- % (an cosnx - bn sin nx) n 12n .1其中， a。=aAo，an=AnSin中n， bn = An cos 平 n， cot=x。正交性：1,sin x, cosx,sin 2x,cos2xsin nx,cosnx”任意兩個不同項的乘積 在_n上的積分=0 傅立葉級數:f (x)=aooO，.二(an cosnx bn sin nx), 周 期 =2二n 11 二an =- f (x)cosnxdx 元1 二= f (x)sinnxdx(n =0,1,2 )bn冗-冗111 - - -351117222

29、462(n =1,2,3 )+8兀242 JI_ 2=(相加)6-2= (相減)12正弦級數:an=0,余弦級數:bn=0,2 二bn = f (x)sin nxdx二 02 二an = f (x)cosnxdx二 0n =1,2,3n =0,1,2f(x)=v bnsinnx是奇函數f(x)=a0，.二 an cosn娓偶函數 2周期為2l的周期函數的傅立葉級數:a。n：；,x n '： x、f(x)=- % (an cos bn sin) 周期 =2l2 n 3ll其中1 lan =- f (x) cosl i1 1 bn = - f (x)sinl in 二xln 二 xldxd

30、x(n =0,1,2 )(n =1,2,3 )微分方程的相關概念:一階微分方程：y'=f(x, y) 或 P(x,y)dx + Q(x, y)dy = 0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化 為g(y)dy = f(x)dx的形式，解法： g(y)dy =f (x)dx 得：G(y) = F(x) +C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方 程可以寫成電=f(x,y)=5(x,y),即寫成丫的函數，解法：dxx設口=乂，則dy=u+xdu, u+du= (u),.dx= du 分離變量,積分后將 義代替u, x dx dx dxx (u) - ux即得齊次方程通解。一階線性微分方程:1

31、、一階線性微分方程：dy P(x)y =Q(x) dx/當Q(x) =01,為齊次方程，y“小刈".當Q(x)吏0寸，為非齊次方程，y =( Q(x)e P(X)dxdx - C)e-P(X)dX2 貝努力方程：dy + P(x)y =Q(x)yn,(n#0,1)dx全微分方程: 如果P(x, y)dx+Q(x,y)dy =0中左端是某函數的全微 分方程，即：du(x, y) =P(x, y)dx Q(x, y)dy =0,其中：=P(x, y), =Q(x, y) 二 x二 y,u(x, y) =C應該是該全微分方程的通解。二階微分方程：7 + P(吸+Q(x)y = f(x&qu

32、ot;f (x)三0寸為齊次f (x) : 0時為非齊次二階常系數齊次線性微分方程及其解法:(*) y"+py'+qy =0,其中 p, q為常數；求解步驟：1、寫出特征方程：S)r2+ pr+q=0,其中r 2, r的系數及常數項恰好是(*)式中y”, y, y的系數;2、求出()式的兩個根r1,r23、根據r1,r2的不同情況，按下表寫 出(*)式的通解：r1, r2的形式(*)式的通解兩個不相等實根(p2 -4q >0)nx .r2xy = c1e+c2e兩個相等實根(p2 -4q =0)y = (ci +c2x)er1x一對共腕復根(p2 -4q <0)r

33、1 =cil +iP, r2 =u -iP口=_匕 p = -q - p222y = e°x (c1 cos Px + c2 sin Bx)二階常系數非齊次線性微分方程y py qy = f (x), p,q為常數f (x) =e4Pm(x)型,土為常數；f (x) =e" P (x)cos0x + Pn(x) sinx型一、原函數與不定積分概念微積分學主要包含兩大內容：微分學與積分學，主要工具是極限思想方法。單元二和單元三就是微分學及其應用。本單元是積分學中的不定積分，是求導數的逆過程。例如，如果已知運動的速度規律：v = v ( t ),要求運動的位移規律 s = s

34、( t )；又如，已知函數的變化率為y = f ( x ),要求原來的函數 y = F ( x ),這都是求不定積分問題 定義1設函數y = f ( x )在某個區間上有定義，如果存在函數 y = F ( x ),對于該 區間上任一點x ,使得F' (x) = f (x)或d F (x) = f (x) dx成立， 則稱F ( x )是f ( x )在該區間上的一個原函數(primitive function )。例如(1)f(x) = 37-5/+1 南TOx + 1 在(-%+3)上的一個原函數(2)尸3/-5/ + * + 15地是/1(丹訝-101 + 1在(.+ <0)

35、上的一個原函數(3)5須。+屋+1 提位)=9戶-10smxg$x + /在e+s)上的一個原函數(4)月=3”£ 41尚-24曲4X8$4而-嗎+B)上的一個原函數(5) £。)= 3。/4彳+ 12</。)= -24瞄4雙。川在(-%+5)上的一個原函數一般地說，由于常數的導數為0 ,如果F ( x )是f ( x )的一個原函數，那么F ( x ) + C也都是f ( x )的原函數(其中 C是任意常數)。因此，如果 f ( x )有一個原 函數F ( x ),它就有原函數族：F ( x ) +C ,這個原函數族就稱為f ( x )的不 定積分。即定義2如果F ( x )是f ( x )的一個原函數，則稱原