1、 多目標決策 第十六章制作人制作人 趙小君趙小君 2002年年3月月22日日第一節 引言 在生產、經濟、科學和工程活動中經常需要對多個目標（指標）的方案、計劃、設計進行好壞的判斷，例如設計一個導彈，既要其射程遠，又要耗燃料少，還要命中率高等；又如選擇新廠址，除了要考慮運費、造價燃料供應費等經濟指標外，還要考慮對環境的污染等社會因素。只有對各種因素的指標進行綜合衡量后，才能作出合理的決策。 例 由n種成分 組成一個橡膠配方，可用 表示。對于每一個配方要同時考察幾個指標，如強度 ，硬度 ，伸長率 ，變形度 等。假定有m個指標。它們都與配方方案 有關，它們與 的關系為 , , , 。 當m 很多時，

2、要比較兩方案的優劣時，就往往很難下決斷了。于是有人把這問題用數學規劃來處理。先以某指標作為主要指標，如以強度 為主要指標，并且越大越好。而其它指標只要落在一定規格內就可以。這就把這問題nxxx,21Tnxxxx,211f2f3f4fxx xf1 xf2 xfm這里A表示對 本身的一個限制， 表示第 i 個指標的上、下限。化為求 xfRx1max AxmifxfxfxRiii, 2,|x,iiff第二節 基本概念 在考慮單目標最優化問題時，只要比較任意兩個解對應的目標函數值后，就能確定誰優誰劣（目標值相等時除外）。在多目標的情況下就不能這樣比較了。例如，有兩個目標都有要求實現最大化，這樣的決策問

3、題，若能列出十個方案，各方案能實現 的不同的目標值如圖所示。 由圖可見，對于第一個目標來說方案1優于2；而對于第二個目標方案則方案2優于1。因此無法確定誰優誰劣；但是它們都比方案3，5劣。方案3，5之間又無法比較。在圖中10個方案，除方案3、4、5外，其它方案都比它們中的某一個劣。因而稱1、2、6、7、8、9、10為劣解，而3、4、5之間又無法比較誰優誰劣；但又不存在一個比它們中任一個還好的方案，故稱此三個方案為非劣解（或稱為有效解）。假定m個目標 ， ， ， 。 同時要考察，并要求都越大越好。在不考慮其它目標時，記第I個目標的最優值為 xf1 xf2 xfm xffiRximax)0(相應的

4、最優解記為 ， ；其中R是解的約束集合。 ixmi, 2 , 1 0|xgxR Tlxgxgxg,1當這此 都相同時，就以這共同解作為多目標的共同最優解。一般不會全相同，例如 時，這兩個解就難比優劣，但是它們一定都是非劣解。為了與單目標最優化的記號有所區別，今后用 ix 21xx xFVRxmax xFVxgmax0)(或表示在約束集合R內求多目標問題的最優（亦稱求向量最優）；其中若各目標都要求越小越好，就用表示。為了簡易起見，本節一般只考慮n維歐氏空間 ，即實際上當 是最優解時，即表示 有當 是非劣解時，即不存在 有 TmxfxfxF,1 xFVRxminnE .,21mnTnExFERRx

5、xxx0 x,Rx *0 xFxF0 x,Rx 0 xFxF以后用“ ”表示 ，但 ，即至少有一個分量，有“” 才成立，即嚴格大于。相應的 在目標函數空間中稱為非劣點或有效點。有的還進一步引入弱非劣解，即當 是弱非劣解，基不存在 有 0 xFxF 0 xFxF 0 xF0 x,Rx 0 xFxF為直觀起見，舉幾個數值例子。1例 21 3210 ,2221xxxxxfxxxf設 xFVRRxmax,2 , 0求 解解 先對單個目標分別求出其最優解，顯然第一個目標的最優解 。這時 11x xfxffRx11)0(1max1第二個目標的最優解是 ，這時 12x xfxffRx22)0(2max1因為

6、 121 xx故取 作為這多目標 問1*x題的最優解。下面用變量空間和目標函數空間分別來描述各種情況，見圖16-2。圖中 兩個和 解彼此無法比較，但都劣于 。1*x圖16-2 f f *xf1f2f例例2 求設,2 , 0, 2,2221Rxfxxxf xFVRxmax 解解 容易求得 這時多目標問題沒有共同最優解。從圖16-3可見， 兩個解無法比較，但是容易找到 ， 仍無法比較優劣，但還可找到 。 解 卻不存在 可以比它優，這時 為非劣解。本例中 時都是非劣解。 , 2, 121xx和 優比 與 優比 2 , 1x2f2f1f1f f f f圖16-3例例3 ,2 , 0,15361281,

7、2 2221Rxxxfxxxf設求 xFVRxmax解解 易求得 ，這時多目標問題無最優解，而 都是非劣解，見圖16-4。 , 5 .1, 121xx5 . 1 , 1x圖16-42f2f1f1f例例4 ,2,23212211xxxfxxxf設0 0 010201832:212121xxxxxxR求 xFVRxmax解 易求得 因而多目標問題最優解即 圖16-5所示的 之間無法比較，但都劣于A。 ,6 , 0,6 , 021xx和 圖16-51x2x2f1fABC在單目標時任何兩個解都可以比較其優劣，因此是完全有序的。可是在多目標時任何兩個解不一定都可以比出其優劣的，因此只能是半有序的。假定所

8、有x是屬于全空間中某一個約束集合R，即 ,在 上對任一個解x 可以定義一個半序：，（a b 表示a優于b），可把 分成三個子集： 1） 所有比x優的解集合； 2） 所有比x劣或相等的解集合； 3） 所有與x無法比較的解集合。顯然 按照這些子集的劃分，Zadeh給出“非劣”和“最優”的定義。 Rx x x 定義定義1 解 叫作在R內“非劣”，如果 。 定義定義2 解 叫作在R內最優，如果 。 推論：推論： 若 是最優解，則必為非劣解。反之不然。Rx0Rx0)(0 xR0 x第三節 化多為少的方法 要求若干目標同時都實現最優往往是很難的。經常是有所失才能有所得，那么問題的失得在何時最好。各種不同的

9、思路可能引出各種合理處理得失的方法。以下介紹化多為少的方法。3.1 主要目標法主要目標法解決主要問題，并適當兼顧其它要求。1. 優選法。 在實際問題中通過分析討論，抓住其中一兩個主要目標，讓它們盡可能地好，而其它指標只要滿足一定要求即可。通過若干次實驗以達到最佳。2. 數學規劃法3. 設有m個目標 ， ， ， 要考察，其中一兩個方案變量 （約束集合），若以某目標為主要目標，如 要求實現最優（最大），而對其它目標只滯一定規格要求即可，如 xf1 xf2 xfm,Rx xf1 mifxffiii, 2 iiff或其中當就變成單邊限制，這樣問題就可化成下述非線性規劃問題： RRmifxffxRxfi

10、ii, 2,|max 1Rx3.2 線性加權和法線性加權和法若有m個目標 ，分別給以權系數 （i=1,2, ,m), 然后作新的目標函數（也稱效用函數） xfii 這種方法的難點是如何找到合理的權系數，使多個目標用同一尺度統一起來。同時的找到的最優解又是向量極值的好的非劣解。在多目標最優化問題中不論用何方法，至少應找到一個非劣解（或近似非劣解）。其次，因非劣解可能有很多，如何從中挑出較好的解，這個解有時就要用到另一個目標。下面介紹幾種選擇特權系數的方法。 miiixfxU1（1） -法 先以兩個目標為例，假設一個目標是要求勞動量消耗 為最小，另一個目標是收益 為最高。它們都是線性函數，都以元為

11、單位。R也為線性約束，即 xf1 xf2bAxxR|A為矩陣，b 為列向量。作為新目標函數 由下述方程組來確定和其中211122 xfxfxU 0201*2*1*101120201*2*1*202111121*12220212*2111011022*111*22011 :,0 ,max ,min - - ffffffcffffffcccxffxfxffxffxfxffcffcffRxRx這方程組可解得可為任意的常數kffffffffffffffffffffffff01*1*2022101*1*20201*1201*1*202*202101*1*2020201*2*1121 c , 1易見從而有

12、即可得到若規定 212, 11122Rx01*1*2021*202201*1112221k ,)()(maxmax , U,一簇平行線其斜率為取不同數時相當則若作目標值空間可表示為當要求實現最大時作出的新目標函數為由這樣定義的xUffxfxfxUffffxfffxfffxfxfxRx請注意點 與 的聯線的斜率為 與新目標函數 的平行經簇的斜率是一致的，見圖16-7。U取最大值時，正好是此平行線簇中與c點相交。01*1202011 ,ffMffM01*1*202ffff xU1M2MUUmax01f2f01f*1f02f*2f圖16-7對于有m個目標 ， ， 的情況，不妨設其中 ， ， 要最小化

13、，而 ， ， 要求最大化，這時可構成下述新目標函數。 xf1 xfm xf1 xfk xfk 1 xfm mkixfxfMaxffkixfxfMinffmicffxfxfMaxxUiiiRxiiiiiiRxiiikjmkjijjijjjmkjjjkjjjRx, 1, , 1, , 1 , Max 0011111Rx其中滿足下方程組其中 mjixffijij, 2 , 1, , 例例1 設有 ,4 211Minxxxf ,23 212Maxxxxf, 0, 3, 42|2212121xxxxxxxxR試用 -法求解。解解 先分別對 求得其最優解，它們是 xf1 xf2 72 , 100 , 00

14、22222011111fxfMaxfxffxfMinfxfRxRx 6 0 :21*112*2xffxff然后求出 13153 , 0 510131136137613 137677 21212211201*1*202*2021UxUMaxxxxfxfxfxfxUffffffRx易求得由此可得(2)當m個目標都要求實現最大時，可用下述加權和效用函數，即 法 xfMaxffxfxUiRxiiiimiii001 ,1 取其中3.3 平均和加權法平均和加權法 設 有 m 個 規 定 值 要 求 m 個 函數 分別與規定的值相差盡量小，若對其中不同值的相差又可不完全一樣，即有的要求重一些，有的輕一些，這

15、時可采用下述評判函數： ., 12*給出可按要求相差程度分別其中要求iRxmiiiixUMinfxfxU,*1mff ,1xfxfm3.4 理想點法理想點法 有有m個目標個目標 每個目標分別有其每個目標分別有其最優值最優值 ,1xfxfm mixfxfMaxfiiiRxi, 2 , 1,0若所有 都相同，設為 。則令 時，對每個目標都能達到其各自的最優點。可惜一般做不到，因此對向量函數 mixi, 2 , 10 x0 xx ., ,),( 00101即一般達不到它只是一個理想點向量來說TmTmffFxfxfxF 理想點法，其中心思想是定義了一定的模，在這個模意義下找一個點盡量接近理想點，即讓模

16、對于不同的模，可以找到不同意義下的最優點，這個模也可看作評判函數，一般定義的p-模是： 00FxFMinFxF xLxffFxFppmipii1100P的一般取值在 。當取p=2,這時模即為歐氏空間中向量 與向量 的距離，見圖16-8。要求模最小，也即要找到一解，它對應的目標 值與理想點的目標值距離最近，可表示為), 1 xF0F ., 1,3 , 4,6 , 8, ,1 2101101時其距離的取值見下表當兩點之間如時時當pxxxffMaxxLpxffxLpxLMiniimimiiipRx2f1f02f01f),(0201ff圖16-8 p 1 2 3 4 16 64 3 9 27 7 5

17、4.498 4pxx2111pxx2212 xLp43 當p=2時，其幾何意義是兩點之間的最短距離為直線；而當p2時，其距離就小于這兩點之間的直線距離；并且p越大，距離值就越趨向于較大的分量（屬性、目標）。因此可取不同的p值代表人們對較大分量（屬性、目標）的偏愛程度，它就不是幾何概念了。 上述3.3、3.4的方法也是目標規劃法的一類，即事先規定一些指標值，然后另設目標，看其接近這些值的程度。新設的目標有時也稱超目標，易證明理想點法求出的解一定是非劣解，自然它在目標值空間中就是有效點。例例9 都要求實現設21221134,23xxxfxxxf., 0,102 ,1832| .2212121理想點

18、法求解試用約束集為最大ExxxxxxxxR解解 先對單目標求出最優解 對應的.4 , 3 6 , 021xx .24,12, 244 , 3 126 , 0 0201002222011)1(1ffFffxfffxf故理想點為目標值為取p=2，這時要求這時可求得最優解為 ，對應的目標值分別為 見圖16-9。 21202220112minfxffxfxLRx65. 5 ,53. 0*x,06.19,72. 9*2*1ff2f1f 2xF *xF 1xF1x2x 1x 2x圖16-93.5 乘除法乘除法 當在m個目標 中，不妨設其中k個 要求實現最小，其余 要求實現最大，并假設 這時可采用評判函數

19、,1xfxfm ,1xfxfk ,1xfxfmk 0,1xfxfmk min121xfxfxfxfxfxUmkk3.6 功效系數法功效系數法幾何平均法幾何平均法 設m個目標 其中 個目標要求實現最大， 個目標要求實現最小，其余的目標是過大不行，過小也不行。對于這些目標 分別給以一定的功效系數（即評分） ， 是在0,1 之間的某一數。當目標最滿意達到時，取 ；當最差時 取 。描述 與 的關系，稱為功效函數，表示為 。對于不同類型目標 應先用不同類型的功效函數。 I型：當 越大， 也越大； 越小， 也越小。 II型： 越小， 越大； 越大， 越小。 III型：當 取適當值時， 最大；而 取作偏值（

20、即過大或過小）時， 變小。 ,1xfxfm1k2k xfiidid1id0idid xfi iiifFd ifididididididififififif 具體功效函數構造法可以很多，有直線法，折線法，見圖16-10和圖16-11，指數法見面禮6-12。小f大f小f小f大f大f1合f2合f圖16-10fff0.10.37(a)(b)(c)圖16-120f1f0f1ffffff小f小f小f大f大f大f圖16-11ffffff1合f2合f用指數法構造I型功效函數，可設其表達式為fbbeed10其中 可這樣確定： 當 達到某一剛合格值 時，取 當 達到某一不合格值 時，取將上述要求代入上式即有ff1

21、f0f3679. 011ed6598. 00eed11011fbbeeed0100fbbeeeed1011011 , 1 , 1 0 1011010010110ffffeffffeedIIedffbfffbfbbfbb可取為型功效函數同樣對即解這得由這兩式可得這時可給出值相對應使其與某一個適當的可取一個定為了確達到比較適當的值即時當為剛好可接受的值時或當這樣其中取型功效函數對于, ., 1, 0,2;, 1,2 , 1dfnfdYfffedYfffffffffYedIIInYYdnln1lnln.12162, 6309. 031ln21ln ,31,32, 21 6309. 0見圖即則相對應使

22、其與這時取例如fffffYednedYffffY有了功效函數后，對每個目標都可對應為相應的功效函數。目標值可轉化成功效系數。這們第確定一方案x后，就有m個目標函數值 ；然后用其對應的功效函數轉換為相應的功效系數 。并可用它們的幾何平均值為評價函數，顯然D越大越好。D=1是最滿意的，D=0是最差的。這樣定義的評價函數有一個好處，一個方案中只要有一個目標值太差，如 ，就會使D=0，而不會采用這個方案。 xfxfm , ,10idmidd,mmdddD21第四節 分層序列法 由于同時處理m個目標是比較麻煩，故可采用分層法。分層法的思想是把目標按其重要性給出一個序列，分為最重要目標，次要目標等等。設給

23、出的重要性序列為下面介紹逐個地求最優化的序列最優化。 首先對第一個目標求最優，并找出所有最優解的集合記為 。然后在 內求第二個目標的最優解，記這時的最優解集合為 ，如此等等一直到求出第m個目標的最優解 ,其模型如下： xfxfm , ,10R0R1R0 x xfMaxxfxfMaxxfxfMaxxfmRRxmRRxRRxmm210100202101 這方法有解的前提是 非空，同時 都不能只有一個元素，否則就很難進行下去。 當R是緊集，函數 都是上半連續，則按下式定義的集求解。110,mRRR210,mRRR xfxfm , ,1 *2*1;sup|*2kkRukkRxufxfxRk., 2 ,

24、 1*1*1的最優解故有最優解而且是共同是非空特別都非空其中mRRRmk第五節 直接求非劣解 上述種種方法的基本點是將多目標最優化問題轉化成一個或一系列單目標最優化問題。把對后者求得的解作為多目標問題的解，這種解往往是非劣解。對經轉換后的問題所求出的最優解往往只是原問題的一個（或部分）非劣解，至于其它非劣解的情況卻不得而知。于是出現第三類直接求所有非劣解的方法，當這些非劣解都找到后，就可供決策者做最后的選擇，選出的好解就稱為選好解。顯然決策者這時的選好，必須取決于他心中的另一個目標。這可能是定性的或無法奉告的。運籌學工作者主要是根據已知的目標，盡可能地列出非劣解，以供決策者選擇。非劣解求法很多

25、，這里僅介紹線性加權和改變權系數的方法。 在第三節中已提到了線性加權的方法，但那里是按一定想法確定權系數，然后組成線性加權和的函數，并從中求出最優解。可以證明當對目標函數做一定假設，例如目標函數都是嚴格凹函數，則用線性加權和法求得的最優解是多目標最優化問題的一個非劣解。若再假設約束集合R為凸集，只要不斷改變權系數 ，對其相應的加權和目標函數0ii miiixfxU1求出的最優解可以跑遍所有多目標問題的非劣解集，但這方法只是從原則上（而且要有一定的假設）可以求出所非劣解，而在實際處理上卻有一定困難。如何依次變動權系數，而使其得出最優解，正好得到所有非劣解，下面舉例說明。 xfMaxVRx TRx

26、xfxfxfxfMaxV21, , 10其中求例 2 , 0,2221Rxxfxxxf解解 易看出這個多目標問題的非劣解2 , 1*x而利用線性加權和方法，需要作新目標函數 1 , 0,122xxxxU 0122 ,xxUxUR并令其為零求導中找其最優解在可得21x ., 2,310;1,2,131. 1,1; 2,31,*的事系數仍然不是那么清楚變動權依次所以如何的并不是簡單地一一對應和轉換后問題的解此例說明了原問題的解非劣解即這時得不到新的的最優解都是時變到從而解即這時得不到全部非劣時到變從當時時當顯然xxUxx第六節 多目標線性規劃的解法 當所有目標函數是線性函數，約束條件也都是線性時，

27、可有些特殊的解法。特別是澤勒內（Zeleny）等將解線性規劃的單純形法給于適當的修正后，用來解多目標線性規劃問題，或把多目標線性規劃問題化成單目標的線性規劃問題后求解，以下介紹兩種方法。6.1 逐步法（逐步法（STEM） 逐步示是一種迭代法。在求解過程中，每進行一步，分析者把計算結果告訴決策者，決策者對計算結果做出評價。若認為已滿意了，則迭代停止；否則分析者再根據決策者的意見進行修改和再計算，如此直到求得決策者認為滿意的解為止，故稱此法為逐步進行法或對話式方法。 設有K個目標的線性規劃問題。CxMaxVRx 顯然及相應的得到最優解的解個單目標線性規劃問題分別求第一步求解的步驟為也可表示為矩陣為

28、矩陣為其中., 2 , 1,., 2 , 1 ,Max .: , ,cC ,0,|x21112111jjjjRknkknkxckjxkjxckcccccccnkCnmAxbAxxR jjjjRxjjjijijijRxjjMxcxcMaxzxczzZxcMaxxc, 其中并作表1z2zizkz11z12z1iz1kziz1iz2iizikzkz111zkz222zkiziizkkz 1x ix kxjMkkz表16-1第二步：求權系數從表16-1中得到為了找出目標值的相對偏差以及消除不同目標值的量綱不同的問題，進行如下處理。kjzmMjikijj, 2 , 1,min1及 nijijjjjjni

29、jijjjijcMMmMcMmMM12121, 0 1, 0當經歸一化后，得權系數kjjjkjjjj, 2 , 1, 1, 10 ,1第三步：構造以下線性規劃問題，并求解。 . 0;., 2 , 1,1RxkixcMMinLpiii假定求得的解為 ，相應的k個目標值為 , 1x 11xc RxjixcxccxcxcRRcjxxcxcxckxxcxcjijjjjkk : , ,.,.,1111112111112改為集并將約束減少或境加一個即讓點步寬容一下個目標如考慮對則考慮適當修正若認為相差太遠算為滿意了就可以停止計的目標值進行比較后認這時決策者將個目標值為應的為決策者的理想解其相若并令j個目標

30、的權系數 ，這表示降低這個目標的要求。再求解以下線性規劃問題。0j 2x . 0;ji , 2 , 1,:2RxkixcMMinLpiii若求得的解為 ，再與決策者對話，如此重復，直到決策者滿意為止。例例11 試求解多目標線性規劃問題。. 4 , 3 , 2 , 1, 04823120233030: 237080901004231432142243211ixxxxxxxxxRxxMinzxxxxMaxzi解 為了使問題的目標函數統一為求最大的規劃問題，將 化為第1步：求理想解 分別求解兩個目標線性規劃問題1z21RxRxMaxzMax和 和求權系數表作第二步即相應的目標值即相應的目標值得到最優

31、解zzzxzzxTT:30,30,5300 0 ,30,10,20 48,48,5960 0 ,39,16,14 22222121212111 5960 5300 -48 -30 5960 -301z2 1x 2xjM99613. 0 00387. 0 1664. 0 000645. 0 , 2121于是求得權系數可計算得到的數據用表中z第3步：求解以下線性規劃問題 為整數近似值由此求得解)(. 0;302399613. 0708090100596000387. 01424321RxxxxxxxMinLp 33,5370 0 ,31,11,19 12111zxT相應的目標函數值第4步：對話再計

32、算分析者把計算的結果告訴決策者，決策者將結果與理想值 進行比較，認為求得的 已接近理想值 ，而 ，低于理想值5960太多。決策者要求提高 值，為此他提出將 提高到36，以便使 增大。這時分析者根據決策者的要求，將原來約束條件修改為30,5960,2211zz3312z3022z537011z1z2z1z1RRxxCxCR537036121因將第二個目標值的要求放寬了，故權系數 ，于是有線性規劃問題：02 143217080901005960:2RxxxxxMinLp求解Lp(2)得到 Tx0 ,33,12,182相應的目標值 36,55202221ZZ若這時決策者對此結果表示滿意，即停止計算。

33、6.2 妥協約束法妥協約束法設有兩個目標的情況，即k=2.CxMaxVRx其中nxnmAxbAxxR,0,|矩陣為22111121,nnmccccccCb這方法的中心是引進一個新的超目標函數, 212211為權系數xcxcz此外構造一個妥協約束; 2 , 1, 0, 121iiRxzxczxcR 0:222211111步驟為求解的具體當的最大值分別為 .,212211Rxxcxczz第1步：解線性規劃問題xcMaxRx1得到最優解 及相應的目標函數值 。 1x11z第2步：解線性規劃問題xcMaxRx2得到最優解 及相應的目標函數值 。 2x22z在具體求解時可以先用 試一試，看是否是 的最優

34、解。若是，則這問題已找到完全最優解，停止求解；若不是，則求 及相應的 。第3步：解下面三個線性規劃問題之一。 1xxcMaxRx2 2x22zxcMaxRx2xcMaxRx1zMaxRx得到的解為妥協解。例例12 試求解多目標線性規劃問題。0 ,5 5 7: 23212121212211xxxxxxRxxzxxzMax解解 分別求解線性規劃問題1zMaxRx2zMaxRx得到最優解 ,12,5 , 2,17,2 , 52211zxzx見圖16-13圖16-13122z171zR01225 . 0735 . 0:5 . 12 25 . 035 . 0, 5 . 02121121212121xxx

35、xRxxxxxxz妥協約束目標函數則有超若取.,3 , 4 5 . 25 . 0 2121這時可有不同的解決定的取值可由決策者于是可以求得妥協解即xRxxx 解多目標線性規劃問題的方法，還有目標線性規劃法（詳見本書的第四章）和其它方法，讀者可參考有關文獻資料。第七節 層次分析法 層次分析法（Analytic Hierarchy Process,簡稱AHP法）是美國運籌學家沙旦（T.L.Saaty)于70年代提出的，是一種定性與定量分析相結合的多目標決策分析方法。特別是將決策者的經驗判斷給于量化，對目標（因素）結構復雜且缺乏必要的數據情況下更實用，所以近幾年來此法在我國應用中發展較快。7.1 A

36、HP 法原理法原理 例如某工廠在擴大企業自主權后，有一筆企業留成的利潤，這時廠領導決策的方案有（1）作為獎金發給職工；（2）擴建職工食堂、托兒所；（3）開辦職工業余技術學校和培訓班；（4）建立圖書館；（5）引進新技術擴大生產規模等等。領導在決策時，改善職工物質生活狀況等方面。對這些方案的優劣性進行評價，排隊后，才能作出決策。 面對這些復雜的決策問題，處理的方法是，先對問題所涉及的因素進行分類，然后構造一個各因素之間相互聯結的層次結構模型。因素分類： 一為目標類，如合理使用今年企業留利 萬元，以促進企業發展；二為準則類，這是衡量目標能否實現的標準，如調動職工勞動積極性，提高企業的生產技術水平；三

37、為措施類，是指實現目標的方案、方法、手段等，如發獎金，擴建集體福利設施，引進新技術等等。按目標到措施的自上而下地將各類因素之間的直接影響關系排列于不同層次，并構成一層交結構圖，如圖16-14所示。 構造好各類問題的層次圖是一項細致的分析工作，要有一定經驗。根據層次結構圖確定每一層的各因素的相對重要性的權數，直至計算出措施層各方案的相對權數。這就給出了各方案的優劣次序，以便供領導決策。合理使用今年企業留利 萬元調動職工勞動積極性提高企業技術水平改善職工物質生活狀況發獎金擴建集體福利設施辦技校建圖書館購買新設備圖16-14這個方法的原理是這樣的。nn2n1nn22212n121112121 .,;

38、,AAnnAAAnn矩陣量其比值構成若將它們兩兩地比較重它們的重量分別為件物品設有A矩陣有如下性質：若用重量向量TnW,21右乘A矩陣，得到nWnAWnn 2121nn2n1nn22212n12111即 (A-nI)W=0 由矩陣理論可知，W為特征向量，n為特征值。若W為未知時，則可根據決策者對物體之間兩兩相比的關系，主觀作出比值的判斷，或用Delphi法來確定這些比值，使A矩陣為已知，故判斷矩陣記作 。A 根據正矩陣的理論，可以證明：若A矩陣有以下特點（設 ）：jiji), 2 , 1,( )3), 2 , 1,( 1 )21 ) 1njinjijkikijjiijii則該矩陣具有唯一非零的

39、最大特征值 ，且 =n。maxmin若給出的判斷矩陣 具有上述特性，則該矩陣具有完全一致性。然而人們對復雜事物的各因素，采用兩兩比較時，不可能做到判斷的完全一致性，而存在估計誤差，這必然后導致特征值及特征向量也有偏差。這時問題由AW=nW變成 ，這里 是矩陣 的最大特征值， 便是帶有偏差的相對權重向量。這就是由判斷不相容而引起的誤差。為了避免誤差太大，所以要衡量 矩陣的一致性。當A矩陣完全一致時，因 ，AAmaxWWAmaxWA1iinii1nniii1，存在唯一的非零 。而當nmaxA矩陣存在判別不一致時，一般是 。這時nmax11. maxmaxmaxmax1maxmaxnnnICnniiiiniiiii斷矩陣一致性指標以其平均值作為檢驗判由于是當 ，C.I=0 ，為完全一致；C.I值越大，判斷矩陣的完全一致性越差。一般只要C .I ,認為判斷矩陣的一致性可以接受，否則重新進行兩兩比較判斷。nmax0 判斷矩陣的維數n越大，判斷的致性將越差，故應放寬對高維判斷矩陣一致性的要求。于是引入修正值 ，見表16-2，并取更為合理的