1、第53講：圓錐曲線常見題型解法【考綱要求】1圓錐曲線 了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用 掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質 了解圓錐曲線的簡單應用 理解數形結合的思想2曲線與方程了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系 【方法點評】求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數法，先定位，后定量。【變式演練1】 雙曲線的中心在坐標原點o,焦點在x軸上，過雙曲線右焦點且斜率為的直線交于雙曲線p，q兩點，假設，求雙曲線方程。題型二圓錐曲線的幾何性質解題方法利用圓錐曲線的幾何性質解答。例2 橢圓，a

2、是橢圓長軸的一個端點，b是橢圓短軸的一個端點，f為橢圓的一個焦點假設abbf，那么該橢圓的離心率為()a. b. c. d.解： 因為abbf，所以kab·kbf1，即·1，即b2ac，所以a2c2ac，兩邊同除以a2，得e2e10，所以e(舍負)，應選b.【方法點評】求值一般利用方程的思想解答，所以此題的關鍵就是找到關于的方程。【變式演練2】橢圓與雙曲線有公共的焦點，的一條漸近線與以的長軸為直徑的圓相交于a，b兩點假設恰好將線段ab三等分，那么()a b13 c d2題型三圓錐曲線的最值問題解題方法一般利用數形結合和函數的方法解答。例3 +4(y-1)2=4，求：(1)+

3、y2的最大值與最小值;(2)x+y的最大值與最小值2分析：顯然采用(1)中方法行不通如果令u=x+y，那么將此代入+4(y-1)2=4中得關于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值令x+y=u， 那么有x=u-y,代入+4(y-1)2=4得：5-(2u+8)y+=0又0y2，(由(1)可知) -(2u+8)2-4×5×0求橢圓c的方程；設直線l與橢圓c交于a、b兩點，坐標原點o到直線l的距離為，求aob面積的最大值。題型四圓錐曲線的范圍問題解題方法一般利用函數、根本不等式、數形結合等解答。例4 橢圓的長、短軸端點分別為a、b，從此橢圓上一點m向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左

4、焦點，向量與是共線向量。1求橢圓的離心率e；2設q是橢圓上任意一點， 、分別是左、右焦點，求 的取值范圍；【方法點評】由于共線向量與解析幾何中平行線、三點共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點共線等相關的問題均可在向量共線的新情景下設計問題。求解此類問題的關鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點共線等的關系，把有關向量的問題轉化為解析幾何問題.【變式演練4】設、分別是橢圓的左、右焦點。假設是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值；設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角其中為坐標原點，求直線的斜率的取值范圍。題型五直線與圓錐曲線的關系問題解題方法一般利

5、用判別式、韋達定理、弦長公式、點差法等解答。例5雙曲線，經過點能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點是線段的中點。假設存在這樣的直線，求出它的方程，假設不存在，說明理由。故直線由消去，得這說明直線與雙曲線不相交，故被點平分的弦不存在，即不存在這樣的直線。在一點e(,0)，使得是等邊三角形，假設存在，求出；假設不存在，請說明理由。題型六圓錐曲線與圓錐曲線的關系問題解題方法一般利用判別式和數形結合解答。例6 曲線及有公共點,求實數a的取值范圍可得：=2(1-a)y+-4=0 =4(1-a)2-4(a2-4)0， .如圖247，可知：橢圓中心,半軸長,拋物線頂點為,所以當圓錐曲線在下方相切或相交時,

6、.綜上所述,當時, 曲線與相交.【變式演練6】設橢圓，拋物線。（1） 假設經過的兩個焦點，求的離心率；（2） 設a0，b，,又m、n為與不在y軸上的兩個交點，假設amn的垂心為，且qmn的重心在上，求橢圓和拋物線的方程。題型七圓錐曲線的定點和定值問題解題方法過定點的問題，一般先求曲線的方程，再證明曲線過定點；定值的問題，就是求值問題，直接求解就可以了。例7 在直角坐標系中，點m到點的距離之和是4，點m的軌跡是c與x軸的負半軸交于點a，不過點a的直線與軌跡c交于不同的兩點p和q. i求軌跡c的方程； ii當時，求k與b的關系，并證明直線過定點.解：1的距離之和是4，的軌跡c是長軸為4，焦點在x軸

7、上焦中為的橢圓，其方程為3分 2將，代入曲線c的方程，整理得 5分因為直線與曲線c交于不同的兩點p和q，所以設，那么 7分即經檢驗，都符合條件當b=2k時，直線的方程為顯然，此時直線經過定點-2，0點.即直線經過點a，與題意不符.當時，直線的方程為顯然，此時直線經過定點點，且不過點a.綜上，k與b的關系是：且直線經過定點點【方法點評】證明曲線過定點，一般先求曲線的方程，再證明它過定點。【變式演練7】在拋物線x24y上有兩點a(x1，y1)和b(x2，y2)且滿足|ab|=y1+y2+2，求證：(1)a、b和這拋物線的焦點三點共線；(2)為定值.又點在拋物線上，那么整理得為所求軌跡方程【方法點評

8、】點p之所以在動，就是因為點b在動，所以點p是被動點，點b是主動點，這種情景，應該利用代入法求軌跡方程。【變式演練8】abc的頂點，頂點在拋物線上運動，求的重心的軌跡方程題型九存在性問題解題方法一般先假設存在，再探求，最后檢驗。例9 中心在原點，焦點在軸上的橢圓c的離心率為，且經過點，過點p2，1的直線與橢圓c在第一象限相切于點m . 1求橢圓c的方程； 2求直線的方程以及點m的坐標； 3是否存過點p的直線與橢圓c相交于不同的兩點a、b，滿足？假設存在，求出直線l1的方程；假設不存在，請說明理由.解：設橢圓c的方程為，由題意得解得，故橢圓c的方程為.4分 因為過點p2，1的直線l與橢圓在第一象

9、限相切，所以l的斜率存在，故可調直線l的議程為由得. 因為直線與橢圓相切，所以 整理，得解得 所以直線l方程為將代入式，可以解得m點橫坐標為1，故切點m坐標為9分 假設存在直線l1滿足條件，的方程為，代入橢圓c的方程得因為直線l1與橢圓c相交于不同的兩點a，b，設a，b兩點的坐標分別為所以所以，解得 因為a，b為不同的兩點，所以.于是存在直線1滿足條件，其方程為1.【高考真題浙江理8】如圖，f1,f2分別是雙曲線c：a,b0的左、右焦點，b是虛軸的端點，直線f1b與c的兩條漸近線分別交于p,q兩點，線段pq的垂直平分線與x軸交與點m，假設|mf2|=|f1f2|,那么c的離心率是a. b。 c

10、. d. ，所以pq的垂直平分線方程為：，令，得，所以，所以，即，所以。應選b2.【高考真題新課標理8】等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，；那么的實軸長為 3.【高考真題新課標理4】設是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，那么的離心率為 【解析】因為是底角為的等腰三角形，那么有,，因為，所以,，所以，即，所以，即，所以橢圓的離心率為，選c.4.【高考真題福建理8】雙曲線的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，那么該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于a. b. 【解析】由拋物線方程易知其焦點坐標為，又根據雙曲線的幾何性質可知，所以，從而可得漸進線方程為，

11、即，所以，應選5.【高考真題全國卷理8】f1、f2為雙曲線c：x²-y²=2的左、右焦點，點p在c上，|pf1|=|2pf2|，那么cosf1pf2=(a) b (c) (d)【解析】雙曲線的方程為，所以，因為|pf1|=|2pf2|，所以點p在雙曲線的右支上，那么有|pf1|-|pf2|=2a=,所以解得|pf2|=，|pf1|=，所以根據余弦定理得,選c.6.【高考真題重慶理14】過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，假設那么= .7.【高考真題遼寧理20】(本小題總分值12分) 如圖，橢圓：，a，b為常數)，動圓，。點分別為的左，右頂點，與相交于a，b，c，d四點。 (

12、)求直線與直線交點m的軌跡方程; ()設動圓與相交于四點，其中，。假設矩形與矩形的面積相等，證明：為定值。2證明：設，由矩形與矩形的面積相等，得，因為點均在橢圓上，所以由，知，所以。從而，因而為定值8.【高考真題上海理22】4+6+6=16分在平面直角坐標系中，雙曲線：1過的左頂點引的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸進線及軸圍成的三角形的面積；2設斜率為1的直線交于、兩點，假設與圓相切，求證：；3設橢圓：，假設、分別是、上的動點，且，求證：到直線的距離是定值. 由，得. 設p(x1, y1)、q(x2, y2)，那么.lb ylfx 又2，所以 ， 設o到直線mn的距離為d，因為， 所以

13、，即d=. 綜上，o到直線mn的距離是定值. 16分9、高考真題山東理21本小題總分值13分在平面直角坐標系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內的任意一點，過三點的圓的圓心為，點到拋物線的準線的距離為求拋物線的方程；是否存在點，使得直線與拋物線相切于點假設存在，求出點的坐標；假設不存在，說明理由；假設點的橫坐標為，直線與拋物線有兩個不同的交點，與圓有兩個不同的交點，求當時，的最小值又取中點，由垂徑定理知，所以，所以存在，.依題，圓心，圓的半徑， 圓心到直線的距離為，所以，.又聯立，設，那么有，. 所以，.于是， 記，所以在，上單增，所以當，取得最小值，所以當時，取得最小值.【反應訓練】

14、1、求以下拋物線的方程1頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上點3，a到焦點的距離是5；2頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線截直線所得的弦長為。3、過橢圓的焦點的直線交橢圓a,b兩點 ，求面積的最大值 。4、橢圓的焦點為ff，點p為其上的動點，當fp f為鈍角時，點p橫坐標的取值范圍是_。5、橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同的兩點關于該直線對稱。6、如圖，橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、求橢圓和雙曲線的標準方程；設直線、的斜率分別為、，證明；是否存在常數，使得恒成立？假設存在，求的值；假設不存在，請說明理由.7、常數m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b

15、= (m, 0)，經過點a(m, 0)，以為方向向量的直線與經過點b(- m, 0)，以b-為方向向量的直線交于點p，其中r(1) 求點p的軌跡e；(2) 假設，f(4, 0)，問是否存在實數k使得以q(k, 0)為圓心，|qf|為半徑的圓與軌跡e交于m、n兩點，并且|mf| + |nf| =假設存在求出k的值；假設不存在，試說明理由8、橢圓c的中心在原點，一個焦點為f(0，)，且長軸長與短軸長的比是1.(1)求橢圓c的方程；(2)假設橢圓c上在第一象限的一點p的橫坐標為1，過點p作傾斜角互補的兩條不同的直線pa，pb分別交橢圓c于另外兩點a，b，求證：直線ab的斜率為定值；(3)在(2)的條

16、件下，求pab面積的最大值9 雙曲線=1(m0,n0)的頂點為a1、a2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點p、q (1)求直線a1p與a2q交點m的軌跡方程；(2)當mn時，求所得圓錐曲線的焦點坐標、準線方程和離心率 【變式演練詳細解析】【變式演練1詳細解析】設所求的雙曲線方程為,右焦點為f(c,0)由題設過f點的直線l方程為： 整理消去y 化為：()現分析的取值假設=0，那么有這顯然與直線l 的斜率相等而直線l 平行于雙曲線的漸近線，那么直線l 與雙曲線只能交于一點與題設矛盾， 因此假設方程兩個根為 那么有：那么：其中：【變式演練3詳細解析】解：設橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為。設，。

17、1當軸時，。2當與軸不垂直時，設直線的方程為。由，得。把代入橢圓方程，整理得，。當且僅當，即時等號成立。當時，綜上所述。當最大時，面積取最大值。以下同解法一顯然直線不滿足題設條件，可設直線，聯立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或即 由韋達定理，得：。那么線段ab的中點為。線段的垂直平分線方程為：令y=0,得，那么為正三角形，到直線ab的距離d為。解得滿足式此時。【變式演練6詳細解析】故，得重心坐標. 由重心在拋物線上得：，又因為m、n在橢圓上得：，橢圓方程為，拋物線方程為。【變式演練7詳細解析】(1)拋物線的焦點為f(0，1)，準線方程為y=-1 a、b到準線的距離分別d1y1+1，

18、d2=y2+1(如圖246所示)【變式演練8詳細解析】設，由重心公式，得又在拋物線上，將，代入，得，即所求曲線方程是【變式演練9詳細解析】將直線依題意，直線l與雙曲線c的右支交于不同兩點，故設a、b兩點的坐標分別為、，那么由式得解得可知使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點.2、【解析】由橢圓方程 ，得， 設 是關于l對稱點 ， 可求出 坐標為(-9,6) ， 過的直線方程:x+2y-3=0與x-y+9=0聯立，得交點m(-5,4)， 即過m的橢圓長軸最短。由 ,得，, 所求橢圓方程為 .3、【解析】解 ： 橢圓焦點 ，設過焦點(0,1) ，直線方程為y=kx+1 與聯立 ，消去y, 得 ， 其中兩根為a,b橫坐標 。 將三角形aob看作與組合而成 ，|of| 是公共邊 ，它們在公共邊上的高長為即當直線為 y=1時 , 得到的面積最大值為 。4、【解析】由橢圓的知焦點為f1,0f2,0.設橢圓上的點可設為p3cos,2sin.為鈍角 =9cos254sin2=5 cos21<0 解得： 點p橫坐標的取值范圍是.5、【解析】解：設，為橢圓上關于直線的對稱兩點，為弦的中點，那么，兩式相減得，即，這就是弦中點軌跡方程。它與