1、【考綱下載考綱下載】能利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和能利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式進行簡單的恒等變換正切公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶但對這三組公式不要求記憶)第第6講講 二倍角的三角函數與三角函數二倍角的三角函數與三角函數 的簡單應用的簡單應用1用用cos 表示表示sin2 ，cos2 ，tan2 sin2 ;cos2 ;tan2 ;提示：提示：該組公式從左到右起到一個擴角降冪的作用，從右到左起到一個縮該組公式從左到右起到一個擴角

2、降冪的作用，從右到左起到一個縮角升冪的作用角升冪的作用3用用sin ，cos 表示表示tan2用用cos 表示表示sin ，cos ，tan1已知已知2，則，則cos 等于等于解析：解析：2， ，cos 0，又又cos 2cos2 1，cos 答案：答案：C2已知已知sin ，為第二象限角，且為第二象限角，且tan()1，則，則tan 的值是的值是() A7 B7 C D. 解析：解析：由由sin ，為第二象限角，得為第二象限角，得cos 則則tan tan tan()7. 答案：答案：B3已知函數已知函數f(x)cos2則則f等于等于()解析：解析：f(x)cos2 sin 2x答案：答案：

3、B4若若sin 則則cos 2_.解析：解析：sin cos cos 22cos212 21答案：答案：化簡三角函數式的難點在于眾多公式的靈活運用和解題突破口的選擇認真化簡三角函數式的難點在于眾多公式的靈活運用和解題突破口的選擇認真分析所給式子的整體結構，尋找各個三角函數及角的相互關系是靈活選用公分析所給式子的整體結構，尋找各個三角函數及角的相互關系是靈活選用公式的基礎，是恰當尋找解題思維起點的關鍵所在，因此考生要熟悉角的拆拼、式的基礎，是恰當尋找解題思維起點的關鍵所在，因此考生要熟悉角的拆拼、變換的技巧，倍角與半角的相對性此外，考生還要掌握幾種常見的化簡三變換的技巧，倍角與半角的相對性此外，

4、考生還要掌握幾種常見的化簡三角函數式的入手方式：變換角度，變換函數名，變換解析式結構角函數式的入手方式：變換角度，變換函數名，變換解析式結構【例例1】 化簡化簡 . .思維點撥：思維點撥：式中含有切函數和弦函數，故首先應考慮切化弦，又觀察式中含有切函數和弦函數，故首先應考慮切化弦，又觀察到到 因此化弦后可通過誘導公式把角進行統一因此化弦后可通過誘導公式把角進行統一解：解：原原式式 化簡化簡 .解：解：原式原式 |sin 5cos 5|sin 5cos 5|sin 5cos 5cos 5sin 52cos 5.變式變式1：三角函數的給角求值問題，給出的三角函數式子中有一個或多個非特殊角，解三角函

5、數的給角求值問題，給出的三角函數式子中有一個或多個非特殊角，解決這類問題的基本思路有：決這類問題的基本思路有：化為特殊角的三角函數值，此法關鍵在于找出所化為特殊角的三角函數值，此法關鍵在于找出所給非特殊角與特殊角的關系；給非特殊角與特殊角的關系；化為正負相消的項，消去非特殊角求值；化為正負相消的項，消去非特殊角求值；化化分子、分母，使之出現公約數進行約分進而求值；分子、分母，使之出現公約數進行約分進而求值；若求值的式子涉及弦、切、若求值的式子涉及弦、切、割，則大多考慮割，則大多考慮“切割化弦切割化弦”；若求值的式子涉及高次，則需用倍角公式或若求值的式子涉及高次，則需用倍角公式或其他變形公式將其

6、統一次數；其他變形公式將其統一次數；若三角函數值前面的系數不為若三角函數值前面的系數不為1，還需考慮使，還需考慮使用輔助角公式用輔助角公式 求值：求值： .思維點撥：思維點撥：分子是切函數，分母是弦函數很顯然要將切函數化成弦函分子是切函數，分母是弦函數很顯然要將切函數化成弦函 數分母有二次項顯然要對該項降冪數分母有二次項顯然要對該項降冪解：解：原式原式 4 .【例例2】給值求值問題是給出某個角給值求值問題是給出某個角(或兩個角或兩個角)的三角函數的三角函數(式式)的值，要求其他角的三角函的值，要求其他角的三角函數值解決此類問題的關鍵是利用角的變換，把待求角用已知角表示出來，利用數值解決此類問題

7、的關鍵是利用角的變換，把待求角用已知角表示出來，利用兩角和、差或倍角公式把待求角的三角函數值求出，如果條件所給的式子比較復兩角和、差或倍角公式把待求角的三角函數值求出，如果條件所給的式子比較復雜，則需先將其化簡，在三角函數求值過程中，同角三角函數關系式和兩角和與雜，則需先將其化簡，在三角函數求值過程中，同角三角函數關系式和兩角和與差的三角函數公式是求值問題的常用工具差的三角函數公式是求值問題的常用工具 已已知知 求求 的值的值思維點撥：思維點撥：(1)把已知條件把已知條件 轉化成關于轉化成關于tan 的一元二的一元二次方程求次方程求tan ；(2)利用倍角公式的逆用把分式化成關于利用倍角公式的

8、逆用把分式化成關于sin 、cos 的的齊次式，再化為齊次式，再化為tan 即可求出即可求出【例例3】解：解：由由tan 得得3tan210tan 30，即即tan 3或或tan 又又 ，所以所以tan 若本例條件不變，求若本例條件不變，求 的值的值解：解：3tan210tan 30.拓展拓展3：【例例4】 求證：求證： sin 2. 證明：證法一：證明：證法一：左邊左邊原式成立原式成立證法二：證法二：左邊左邊 sin cos sin 2右邊右邊原式成立原式成立【方法規律方法規律】1化簡與求值就是對給定的三角函數式，通過適當的三角恒等變形，使之取化簡與求值就是對給定的三角函數式，通過適當的三角

9、恒等變形，使之取 較簡形式或求出值來三角恒等變形的實質是對角、函數名稱及運算結構的轉較簡形式或求出值來三角恒等變形的實質是對角、函數名稱及運算結構的轉化，而轉化的依據就是一系列的三角公式和代數上的恒等變形法則，因此，對化，而轉化的依據就是一系列的三角公式和代數上的恒等變形法則，因此，對以下三角公式在實現這種轉化過程中的應用應有足夠的了解：以下三角公式在實現這種轉化過程中的應用應有足夠的了解：(1)同角三角函數關系同角三角函數關系可實現函數名稱的轉化可實現函數名稱的轉化(2)誘導公式及和、差、倍角的三角函數誘導公式及和、差、倍角的三角函數可實現角的形式的轉化可實現角的形式的轉化(3)倍角公式及其

10、變形公式倍角公式及其變形公式可實現三角函數式的升冪或降冪的轉化，同時也可實現三角函數式的升冪或降冪的轉化，同時也可以完成角的形式的轉化可以完成角的形式的轉化2三角函數式的求值問題大致可分為三類，即三角函數式的求值問題大致可分為三類，即“給角求值給角求值”、“給值求值給值求值”、“給值求角給值求角”，具體求解時，要仔細分析所給函數式的結構特征及角與角之，具體求解時，要仔細分析所給函數式的結構特征及角與角之間的關系，在恒等變形中，注意變角優先，要留心三角函數式中的角的特點，間的關系，在恒等變形中，注意變角優先，要留心三角函數式中的角的特點，有無互余、互補角，角之間有無和、差、倍角關系等，通常是化為特殊角或有無互余、互補角，角之間有無和、差、倍角關系等，通常是化為特殊角或向特殊角進行轉化，將某些非特殊角的三角函數相互抵消、約分，從而求得向特殊角進行轉化，將某些非特殊角的三角函數相互抵消、約分，從而求得函數式的值函數式的值.化簡化簡 (0(0，).【閱卷實錄閱卷實錄】【教師點評教師點評】【規范解答規范解答】【狀元筆記狀元筆記】對含根號的三角函數式的化簡，一般要根據二倍角、同角三