1、凸函數的性質及其應用研究摘 要凸函數是一類重要的函數，它的概念最早見于Jensen 1905著述中。它在純粹數學和應用數學的眾多領域中具有廣泛的應用，現已成為數學規劃、對策論、數理經濟學、變分學和最優控制學等學科的理論基礎和有力工具。凸函數的許多重要性質在數學的許多領域中都有著廣泛的應用，但是它的局限性也很明顯，所以研究凸函數的一些定義和性質就顯得十分必要了。考慮到凸函數的連續性，可導性及凸函數在不等式證明方面的應用和意義，本文結合現有文獻給出了凸函數12種定義，總結了凸函數常用的性質;由于凸函數的定義是由不等式給出的，基于此，凸函數廣泛應用于對某些特殊不等式的證明，本文探討了它在證明Jens

2、en不等式、一般不等式 、Cauchy不等式、Holder不等式中的重要應用，并討論了Jensen不等式，Cauchy不等式，Holder不等式在證明其他不等式的應用。關鍵詞：凸函數，定義，性質，應用，不等式Properties and Applications of Convex FunctionAbstract Convex function is a kind of important function. The concept of the earliest can be found in Jensens 1905 writing. Convex function has applie

3、d in pure mathematics and many applied mathematics extensive fields. Now it become the foundation and powerful tool to study mathematical programming, theory of strategy, mathematical economics, calculus of variations and such disciplines as the optimal control theory. Many important properties of c

4、onvex function have been widely used in many fields of mathematics application, but its limitations are also obviously. So the study of some definitions and properties of convex function is necessary. Considering the application and significance to prove inequality and the continuity and conductivit

5、y of convex function, this paper presents 13 kind definitions and summarizes the properties of convex function which are commonly used. Convex function are widely used in some special inequality proof, because of convex function is defined by the inequality. This paper discusses the important applic

6、ations of convex function in proving Jensen inequality, general inequality, Cauchy inequality, Holder Inequality. The important applications of Cauchy inequality, Holder inequality and Jensen inequality to prove other inequalities are also discussed. Key Words: Convex function, definition, propertie

7、s, applications, inequality目 錄 中文摘要I英文摘要1 引言12 凸函數的定義1凸函數的12種定義13 凸函數的性質 4凸函數的常用性質44 凸函數的應用114.1凸函數在微分學中的應用114.2凸函數在積分學中的應用134.3利用凸函數和Jensen不等式證明不等式154.4利用凸函數證明Cauchy不等式174.5利用凸函數證明Holder不等式184.6利用凸函數證明一般不等式19參考文獻24致謝251 引言凸函數是一類重要的函數，它的概念最早見于Jensen 1905著述中。它在純粹數學和應用數學的眾多領域中具有廣泛的應用。尤其是凸函數的許多重要性質在數學的

8、許多領域如：數學規劃、控制論、黎曼幾何、復分析等領域中都有著廣泛的應用，凸函數的性質在證明不等式、產品的外形設計，優化產品設計等方面都起著非常重要的作用，但是凸函數也有一定的局限性，所以研究凸函數的一些定義和性質就顯得十分必要了。目前凸函數還在不斷研究中，它的性質及應用在不斷完善。現行的高等數學教材中, 也都對函數的凸性作了介紹,由于各版本根據自己的需要,對凸函數這一概念作了不同形式的定義,本文結合現有的文獻研究給出凸函數現有的幾種定義及其有關性質的證明,并給出簡單的應用，主要是應用凸函數的概念與性質來證明幾個重要且常用的不等式并討論凸函數在證明一般不等式中的應用。2 凸函數的定義.凸函數的1

9、2種定義定義1 若函數定義在上，對上任意的兩點，有 那么稱是上的凸(下凸)函數1。定義 2 若是定義在內的單調增加函數，那么存在，對任意有，則稱 為內的凸函數2。定義3 若函數在區間上有定義，對于上任意三點，下列不等式中任何兩個不等式成立，則稱是區間上的凸函數。定義4 利用二階導數判斷曲線的凸向來定義函數的凸性：設函數在區間內存在二階導數,則在內有 在內嚴格凸數。證法一 (Taylor公式法)對設,把在點處展開成具有Lagrange型余項的Taylor公式，有 其中在與之間，在 與之間，注意到,就有于是,若有，在上式中有,即是嚴格凸函數。證法二 (利用Lagrange中值定理)若則有嚴格單調增

10、。不妨設,并設分別在區間和上應用Lagrange中值定理,有由，又由，那么 ，即:，則為嚴格凸函數。定義5若對任意的在區間為凸函數，則稱在區間內為凸函數2。定義6 在區間上有定義，當且僅當的切線恒保持在曲線以下，則稱為區間上的凸函數1。定義7 設函數在區間內有定義，若對任意，有，則稱在區間內的凸函數1,2。定義8 設函數在區間內有定義，若對任意，對任意 有 ，則稱在區間內的凸函數1。定義9 (詹森Jensen不等式1) 設函數在區間內有定義，若對任意，且有，則稱在區間內的凸函數。定義10 設函數在區間內有定義，在區間內連續。若對任意有 ，則稱在區間內的凸函數1。定義11 若在內可導，對任意的有

11、則稱為內的凸函數2。定義12若有 則為內的凸函數。3凸函數的性質3.1凸函數的常用性質性質1 若為區間上的凸函數，為非負實數，則也為區間上的凸函數。性質2 若均為區間上的凸函數，則也為區間上的凸函數。證明：因為在區間及任意的，有和 ， 不等式兩邊分別相加得：按定義為凸函數。推論 若均為區間上的凸函數，為非負實數，則也為區間上的凸函數。性質3若是單調增加的凸函數，且為凸函數，則復合函數也是凸函數3 。證明：因為是凸函數，對任意的有（由凸函數的定義）,又因為是單調增加的凸函數，所以對任意的有（）所以復合函數也是凸函數。性質4 若均為區間上的凸函數，則也是區間上的凸函數。性質5 設為區間上的嚴格凸函

12、數,若有是的極小值點，則是在上唯一的極小值點1,4,5,6。證明: 假設有異于的另一極小值點，不妨設 ，由于是區間上嚴格凸函數,故對于任意的,都有，于是對任意,只要充分接近1，總有但是,.這與是的極小值點矛盾，從而是在上唯一的極小值點。性質6 設是上的凸函數2,3,則在上處處存在左、右導數,且 證明：，記，對任意的且 則有即在上單調遞增;再在右方任取一定點,由定義3得，所以在上單調遞增且有上界,故由單調原理極限存在,即存在;同理可證,極限存在,即存在,任意由定義3有在上式中令,則有。性質7 設為上的可微函數,則以下三者互相等價5,7:為區間上的凸函數; 為區間上的遞增函數; 對區間上任意兩點,

13、有。證明: 在區間上任取兩點及充分小的正數,根據的凸性及定義3有 由的可微性,當時,有，所以為區間上的遞增函數。 在以,為端點的區間上,應用拉格朗日中值定理,存在介于與之間的點,使得，由于在區間上單調遞增,設有,因而就有和，最后合并上兩式即得 ， 設,為上任意兩點,，令，則。由(3)有，分別用和分別乘以上面兩式并相加得到 ，從而,為區間上的凸函數。推論 設為區間上的二階可導函數，則為凸函數 性質8 函數在區間上為凸函數對任意的有，其中。證明：充分性：若任意的有，則時有。令 ，有，由定義知函數在上為凸函數。必要性：(數學歸納法)若在為凸函數，則對任意的有， ， 所以對任意的 令 ，則，

14、從而 ，即時不等式成立,假設時有，當時有 ，即時不等式成立，所以結論成立。 性質9 在區間上為凸函數，當時有 ，證明：必要性：對任意的在區間上可導，由定義可得， ， （）設， 那么不等式（3.1）可以改寫為， ， （3.2） 設將不等式（3.2）不等號兩邊乘上有 （3.3）或可以改寫為行列式的形式 充分性：設，并且，由于，將(3.3)改寫為，或，所以函數是凸函數。性質10 設為區間I上的凹函數，則為區間上的凸函數。 證明：要證為區間上的凸函數，即證任意有因為為凹函數，故有. 所以有，因此只需證明：，通分化簡得由于，則下式成立故成立，那么成立，結論得證。性質11 若在上為凸函數，則在上連續.證

15、明：任取,取充分小，使，當時有，當時，有故 則，所以 在上連續。性質12 若在上為凸函數10,11 ，則在上可積，且 。 證明：由性質11，在上最多除外連續，故在上可積，將等分為個小區間，取 ，有 ， ，又，故有成立。4 凸函數的應用4.1凸函數在微分學中的應用 在前面介紹了凸函數的定義及其性質，其中有界性質，左右函數極限性質具有廣泛的應用。下面討論凸函數在微分學中的應用。 定理1 設函數在區間上為凸函數，則在I上的任一閉子區間上有界1,9,10,11 。 證明: 設為任一閉子區間:（證明在上有上界）任取取.因為凸函數,所以有其中,故在上有上界；（證明在上有下界）記為的中點，則任取，有關于的對

16、稱點，因為凸函數，所以，從而，即為在上的下界。定理2 設為區間內的凸函數，則在上的任一內閉區間上滿足條件1,2,12,13。證明：要證明在區間上滿足條件，即要證明：使得有 (4.1)因為，故可取充分小，使得，對 若取，由凸函數的凸性可得（其中分別表示在上的上下界）,從而 (4.2) 若可取由的凸性，有，從而 ，由此可得(4.2)式成立。若，則（4.2）（4.2）式對一切（4.2）式中當與互換位置也成立，故有，令則（4.1）式得證.注：若在內為凸函數，則在內連續，但在端點處的情況不一樣，即令在上為凸函數，不能保證在a、b處連續，因為在斷點處，改為更大的數不改變它的凸性。 定理3 設為區間內的凸函

17、數,并且有界,那么極限 與存在1,14,15,16。證明：設時為內任意三點，根據的凸性,當遞增時也遞增，又因為,根據單調有界原理,有極限,從而亦存在，類似可證存在。將凸函數的凸性與函數的連續性、單調性等聯系起來,應用到積分學中可以得到許多好的結論,我們舉例如下: 例1 (Hadamard定理1,11,14,16,17)設為區間上連續的凸函數.試證:，有 (4.3)證明: 令 則, (4.4)同理，令，亦有，從而有, (4.5)又有與關于中點對稱，由于是凸函數,故由（4.5）式得，另外,由（4.4）式,應用的凸性 .例2 設是上的凸函數,求證：為上的凸函數。 證明：由為上的凸函數,因此它在內連續

18、,在有界由此知積分有意義。對任意的 ,令 時， 對任意的恒有， = 所以是上的凸函數。 例3 設函數在上的連續遞增函數,試證：對任意的函數為凸函數。 證明：因為遞增函數,積分有意義，且對任意的，有故由定義知為凸函數。 例4 設為上的凸函數,證明對任意的有 (4.6) 證明: 因為為凸函數, 由凸函數的性質(4.6)可知 ，存在且遞增（當,故積分(4.6)有意義,對任作一分劃 有那么，我們有 ， 于是性質8可知 ，將分劃無限分細,令取極限有 同理有 故有，。Jensen不等式證明不等式由于凸函數的定義是由不等式給出的，而凸函數又具有很好的性質，因此，利用凸函數的性質可證明某些特殊的不等式。Jen

19、sen不等式 （4.7）定理4 設均為正數，則對任意有 （4.8）這是Jensen不等式的另一種形式。證明：設，則，所以為凸函數。（I）當時，即，令由Jensen不等式的（4.7）得，將上式兩邊次方，并令即得（4.8）式。（II）當時，即，類似可證，只要注意到兩邊次方后不等式反向即可。（III）當時，即，證明完全同（I）。（IV）當之一為0時，不妨設，則存在；，于是 定理5 如果均在上可積且，且在上為凸函數的，則 （4.9）這是Jensen不等式的積分形式。 證明：由于在上可積，而在上是凸函數從而連續，且，因此在區間上可積，又因，總存在，對于任意分法，當時，積分和，將區間n等分，使得，那么，

20、由Jensen不等式（4.7）得：將上式取極限：，由于的連續性和的可積即得（4.9）式。4.4 利用凸函數證明Cauchy不等式 定理6 對任意正數都有， （4.10） 證明： 取，則，所以為凸函數，由Jensen不等式（4.7）得：，即，取，代入上式得： 兩邊開平方即得（4.10）。 利用凸函數證明Holder不等式定理7 對于任意正數和正數滿足有：(I) 若，則 （4.11）(II) 若，則證明：設，則，當時，從而為凸函數，由Jensen不等式（4.7）得：，即，取 代入上式得，兩邊次方，并取即得（4.11）式。當證明類似。定理8 設均為正數，且，則 （4.12）證明： 平均不等式，由平均

21、不等式第二部分得： ，于是有 = 從而得到（4.12）式。利用凸函數證明一般不等式Jensen不等式可以證明許多其特殊的不等式我們舉例如下：例5 對任意不等的正數和均有 證明：設，顯然為凸函數，由凸函數的性質知，對任意不等的有 ， 即 ，令，代入上式即得的結論。例6 設，則 證明：設，則 ，從而為凸函數，于是由Jensen不等式（4.7）得 兩邊同除以（-1）再取以為底的指數再次方即得。例 7 設函數是區間上的凸函數，對于則。 證 明： 由于,則由定義3有， 即，令,對上式兩邊求和，有，即 例8 設及則有不等式成立：，當且僅當與成正比例時等號成立。證明： 取，因為，所以在上為凸函數,由性質得：

22、， 即，亦即 ，令則有，于是有，令，則有 當與成正比例時，即 (為正常數，)當與不成正比例時，不全相等，又因為在為嚴格凸函數，故嚴格不等式成立。 例9利用是凸函數，設和是兩組非負數，。證明：。證明： 由于 是凸函數，所以有成立即則有即有 從而有成立。推論：令上式中，則有成立，由，有得，即即成立，那么結合兩式有成立，又一次證明了這個熟悉的不等式。例 10 證明不等式，其中均為正數。證 明：用數學歸納法證明，當時，顯然成立；下面討論時，設,由可見在時為嚴格凸函，由不等式有,從而有，即成立，又因 , 所以成立，假設當時成立，即有成立，那么當時有成立，那么結論成立。參考文獻1 裴禮文. 數學分析中的典型問題和方法M. 北京：高等教育出版社，1994. 26.2 N重慶工商大學學報.第26卷第2期，2009.3 M.北京：航空工業出版社，2005.4 M. 北京：高等教育出版社，2008.5 大學數學名師導學叢書編寫組M. 北京：中國水利水電出版社，2005.6 N.山西財經大學學報，2006年6月第22卷 7 白景華.凸函數的性質、等價定義及其應用N.開封大學學報，2003年6月，第17卷 第2期. 8 劉三陽，凸函數的新發展J，西安電子科技大學學報.1990，17（1）：45-48.9 徐利治. 數學分析的方法和例題選講M. 北京：高等教