1、.第三章 三角恒等變換一、課標要求：本章學習的主要內容是兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式，以及運用這些公式進行簡單的恒等變換.三角恒等變換位于三角函數與數學變換的結合點上.通過本章學習，要使學生在學習三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發展推理能力和運算能力，使學生體會三角恒等變換的工具性作用，學會它們在數學中的一些應用.1. 了解用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用；2. 理解以兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系； 3. 運用上述公式進行簡單的恒等變換，以引導學生推導半角公式，積化和差、和

2、差化積公式（不要求記憶）作為基本訓練，使學生進一步提高運用轉化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數學思想在三角恒等變換中的應用.二、編寫意圖與特色1. 本章的內容分為兩節：“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”，“簡單的三角恒等變換”，在學習本章之前我們學習了向量的相關知識，因此作者的意圖是選擇兩角差的余弦公式作為基礎，運用向量的知識來予以證明，降低了難度，使學生容易接受；2. 本章是以兩角差的余弦公式作為基礎來推導其它的公式；3. 本章在內容的安排上有明暗兩條線，明線是建立公式，學會變換，暗線是發展推理和運算的能力，因此在本章全部內容的安排上，特別注意恰時

3、恰點的提出問題，引導學生用對比、聯系、化歸的觀點去分析、處理問題，強化運用數學思想方法指導設計變換思路的意識；4. 本章在內容的安排上貫徹“刪減繁瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強調細枝末葉的內容”的理念，嚴格控制了三角恒等變換及其應用的繁、難程度，尤其注意不以半角公式、積化和差、和差化積公式作為變換的依據，而只把這些公式的推導作為變換的基本練習.三、教學內容及課時安排建議本章教學時間約8課時，具體分配如下：3.1兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式 約3課時3.2簡單的恒等變換 約3課時復習 約2課時§3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式一、課標要求：本節的中心內容是建立相關的十

4、一個公式，通過探索證明和初步應用，體會和認識公式的特征及作用.二、編寫意圖與特色本節內容可分為四個部分，即引入，兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應用，和差公式的探索、證明和初步應用，倍角公式的探索、證明及初步應用.三、教學重點與難點1. 重點：引導學生通過獨立探索和討論交流，導出兩角和差的三角函數的十一個公式，并了解它們的內在聯系，為運用這些公式進行簡單的恒等變換打好基礎；2. 難點：兩角差的余弦公式的探索與證明.3.1.1 兩角差的余弦公式一、教學目標掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.通過簡單運用，使學生初步理解公式的結構及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎.二、教學重、難點1. 教

5、學重點：通過探索得到兩角差的余弦公式；2. 教學難點：探索過程的組織和適當引導，這里不僅有學習積極性的問題，還有探索過程必用的基礎知識是否已經具備的問題，運用已學知識和方法的能力問題，等等.三、學法與教學用具 1. 學法：啟發式教學 2. 教學用具：多媒體四、教學設想：（一）導入：我們在初中時就知道 ，由此我們能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？根據我們在第一章所學的知識可知我們的猜想是錯誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式（二）探討過程：在第一章三角函數的學習當中我們知道，在設角的終邊與單位圓的交點為，等于角與單位圓交點的橫坐標，也可以用角的余弦線來表示，大家思考：怎樣構造角和

6、角？（注意：要與它們的正弦線、余弦線聯系起來.）展示多媒體動畫課件，通過正、余弦線及它們之間的幾何關系探索與、之間的關系，由此得到，認識兩角差余弦公式的結構. 思考：我們在第二章學習用向量的知識解決相關的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識來證明？提示：1、結合圖形，明確應該選擇哪幾個向量，它們是怎樣表示的？2、怎樣利用向量的數量積的概念的計算公式得到探索結果？展示多媒體課件比較用幾何知識和向量知識解決問題的不同之處，體會向量方法的作用與便利之處.思考：，再利用兩角差的余弦公式得出（三）例題講解例1、利用和、差角余弦公式求、的值.解：分析：把、構造成兩個特殊角的和、差. 點評：把一個具

7、體角構造成兩個角的和、差形式，有很多種構造方法，例如：，要學會靈活運用.例2、已知，是第三象限角，求的值.解：因為，由此得又因為是第三象限角，所以所以 點評：注意角、的象限，也就是符號問題.（四）小結：本節我們學習了兩角差的余弦公式，首先要認識公式結構的特征，了解公式的推導過程，熟知由此衍變的兩角和的余弦公式.在解題過程中注意角、的象限，也就是符號問題，學會靈活運用.（五）作業：（胡仕偉）§3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式一、教學目標理解以兩角差的余弦公式為基礎，推導兩角和、差正弦和正切公式的方法，體會三角恒等變換特點的過程，理解推導過程，掌握其應用.二、教學重、難點1.

8、 教學重點：兩角和、差正弦和正切公式的推導過程及運用；2. 教學難點：兩角和與差正弦、余弦和正切公式的靈活運用.三、學法與教學用具學法：研討式教學四、教學設想： （一）復習式導入：大家首先回顧一下兩角和與差的余弦公式： ；這是兩角和與差的余弦公式，下面大家思考一下兩角和與差的正弦公式是怎樣的呢？提示：在第一章我們用誘導公式五（或六）可以實現正弦、余弦的互化，這對我們解決今天的問題有幫助嗎？讓學生動手完成兩角和與差正弦和正切公式.讓學生觀察認識兩角和與差正弦公式的特征，并思考兩角和與差正切公式.（學生動手）通過什么途徑可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同時除以，得到注意：以上

9、我們得到兩角和的正切公式，我們能否推倒出兩角差的正切公式呢？注意：（二）例題講解例1、已知是第四象限角，求的值.解：因為是第四象限角，得， ，于是有 兩結果一樣，我們能否用第一章知識證明？例2、利用和（差）角公式計算以下各式的值：（1）、；（2）、；（3）、解：分析：解此類題首先要學會觀察，看題目當中所給的式子與我們所學的兩角和與差正弦、余弦和正切公式中哪個相象.（1）、；（2）、；（3）、例3、化簡解：此題與我們所學的兩角和與差正弦、余弦和正切公式不相象，但我們能否發現規律呢？ 思考：是怎么得到的？，我們是構造一個叫使它的正、余弦分別等于和的.小結：本節我們學習了兩角和與差正弦、余弦和正切公

10、式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發現規律，學會靈活運用.作業：1、 已知求的值（）2、 已知，求的值（胡仕偉）§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教學目標以兩角和正弦、余弦和正切公式為基礎，推導二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推導過程，掌握其應用.二、教學重、難點教學重點：以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎，推導二倍角正弦、余弦和正切公式；教學難點：二倍角的理解及其靈活運用.三、學法與教學用具學法：研討式教學四、教學設想：（一）復習式導入：大家首先回顧一下兩角和的正弦、余弦和正切公式，；我們由此能否得到的公式呢？（學生自己動手，把上述公式中看成即可），（二）公式推導

11、：；思考：把上述關于的式子能否變成只含有或形式的式子呢？；注意： （三）例題講解例1、已知求的值解：由得又因為于是；例、已知求的值解：，由此得解得或（四）小結：本節我們學習了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發現規律，學會靈活運用.（五）作業：（胡仕偉）3.2 簡單的三角恒等變換（3個課時）一、課標要求：本節主要包括利用已有的十一個公式進行簡單的恒等變換，以及三角恒等變換在數學中的應用二、編寫意圖與特色本節內容都是用例題來展現的通過例題的解答，引導學生對變換對象目標進行對比、分析，促使學生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據問題的條件進行公式變形，以及變換過程中

12、表達的換元、逆向使用公式等數學思想方法的認識，從而加深理解變換思想，提高學生的推理能力三、教學目標通過例題的解答，引導學生對變換對象目標進行對比、分析，促使學生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據問題的條件進行公式變形，以及變換過程中表達的換元、逆向使用公式等數學思想方法的認識，從而加深理解變換思想，提高學生的推理能力四、教學重點與難點教學重點：引導學生以已有的十一個公式為依據，以推導積化和差、和差化積、半角公式的推導作為基本訓練，學習三角變換的內容、思路和方法，在與代數變換相比較中，體會三角變換的特點，提高推理、運算能力教學難點：認識三角變換的特點，并能運用數學思想方法指導變換過程的設計，

13、不斷提高從整體上把握變換過程的能力五、學法與教學用具學法：講授式教學六、教學設想： 學習和（差）公式，倍角公式以后，我們就有了進行變換的性工具，從而使三角變換的內容、思路和方法更加豐富，這為我們的推理、運算能力提供了新的平臺下面我們以習題課的形式講解本節內容例1、試以表示解：我們可以通過二倍角和來做此題因為，可以得到；因為，可以得到又因為思考：代數式變換與三角變換有什么不同？代數式變換往往著眼于式子結構形式的變換對于三角變換，由于不同的三角函數式不僅會有結構形式方面的差異，而且還會有所包含的角，以及這些角的三角函數種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯系，這是三

14、角式恒等變換的重要特點例、求證：（）、；（）、證明：（）因為和是我們所學習過的知識，因此我們從等式右邊著手；兩式相加得；即；（）由（）得；設，那么把的值代入式中得思考：在例證明中用到哪些數學思想？例 證明中用到換元思想，（）式是積化和差的形式，（）式是和差化積的形式，在后面的練習當中還有六個關于積化和差、和差化積的公式例、求函數的周期，最大值和最小值解：這種形式我們在前面見過，所以，所求的周期，最大值為，最小值為點評：例是三角恒等變換在數學中應用的舉例，它使三角函數中對函數的性質研究得到延伸，表達了三角變換在化簡三角函數式中的作用小結：此節雖只安排一到兩個課時的時間，但也是非常重要的內容，我們

15、要對變換過程中表達的換元、逆向使用公式等數學思想方法加深認識，學會靈活運用作業：三角恒等變換復習課（2個課時）cos（-）=coscos+sinsincos（+）=coscos-sinsinsin（+）=sincos+cossinsin（-）=sincos-cossintan（+）= tan（-）= sin2=2sincoscos2=cos2- sin2 =2cos2-1=1-2 sin2tan2= 一、教學目標進一步掌握三角恒等變換的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式與二倍角公式，對三角函數式進行化簡、求值和證明：二、知識與方法：1. 11個三角恒等變換公式中，余弦的差角公式是其它公式的

16、基礎，由它出發，用-代替、±代替、=等換元法可以推導出其它公式。你能根據以下圖回顧推導過程嗎？2化簡，要求使三角函數式成為最簡：項數盡量少，名稱盡量少，次數盡量底，分母盡量不含三角函數，根號內盡量不含三角函數，能求值的求出值來；3求值，要注意象限角的范圍、三角函數值的符號之間聯系與影響，較難的問題需要根據上三角函數值進一步縮小角的范圍。4證明是利用恒等變換公式將等式的左邊變同于右邊，或右邊變同于，或都將左右進行變換使其左右相等。5. 三角恒等變換過程與方法，實際上是對三角函數式中的角、名、形的變換，即（1）找差異：角、名、形的差別；（2）建立聯系：角的和差關系、倍半關系等，名、形之間

17、可以用哪個公式聯系起來；（3）變公式：在實際變換過程中，往往需要將公式加以變形后運用或逆用公式，如升、降冪公式， cos= coscos（-）- sinsin（-），1= sin2+cos2，=tan（450+300）等。例題例1 已知sin（+）=，sin（-）=，求的值。例2求值：cos24°sin6°cos72°例3 化簡（1）；（2）sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2。例4 設為銳角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求證：+2=。例5 如下圖，某村欲修建一橫斷面為等腰梯形的水渠，為降低成本，必須盡量減少水與水渠壁

18、的接觸面。若水渠斷面面積設計為定值m，渠深8米。則水渠壁的傾角應為多少時，方能使修建的成本最低？8A E D B C分析：解答此題的關鍵是把實際問題轉化成數學模型，作出橫斷面的圖形，要減少水與水渠壁的接觸面只要使水與水渠斷面周長最小，利用三角形的邊角關系將傾角為和橫斷面的周長L之間建立函數關系，求函數的最小值必修4第三章三角恒等變換一、選擇題1、的值為 （）2、函數的周期為 （）3、已知，則等于（）4、化簡，其結果是（）5.等于 （ ）6. 的值為 ( )7. 已知為第三象限角，則 （ ） 8. 若，則為 （ ） 9. 已知銳角滿足，則等于 （ ） 10. 以下函數f(x)與g(x)中，不能表

19、示同一函數的是（）二、填空題11. 已知cos=,且,則cos( )=.12. 已知，則.13. 的值是 .14. 中，則= .三、解答題15. 求函數在上的最值.16. 已知，為銳角，求.17. 已知，求證：.18. 已知函數（其中），求：函數的最小正周期; 函數的單調區間; 函數圖象的對稱軸和對稱中心參考答案：一、選擇題題號12345678910答案BDCACBBACD二、填空題11. 12. 13. 14. 三、解答題15. ymax=, ymin=3 16. 17. 略 18. (1) (2)增區間：，減區間：，其中Z (3)對稱軸方程： 對稱中心：，其中Z12345678910111

20、21314151617181819202123集合 在初中數學中，我們已經接觸過“集合”一詞在初中代數里學習數的分類時，就用到“正數的集合”，“負數的集合”等此外，對于一元一次不等式2x-13，所有大于2的實數都是它的解我們也可以說，這些數組成這個不等式的解的集合，簡稱為這個不等式的解集在初中幾何里學習圓時，說圓是到定點的距離等于定長的點的集合幾何圖形都可以看成點的集合一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集例如，“我校籃球隊的隊員”組成一個集合；“太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”也組成一個集合我們一般用大括號表示集合，上面的兩個集合就可以分別表示成我校籃球隊的隊員與太平洋，大西

21、洋，印度洋，北冰洋為了方便起見，我們還經常用大寫的拉丁字母表示集合例如，A=太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，B=1，2，3，4，5下面是一些常用的數集及其記法全體非負整數的集合通常簡稱非負整數集(或自然數集)，記作N，非負整數集內排除0的集，也稱正整數集，表示成N*或N+；全體整數的集合通常簡稱整數集，記作Z；全體有理數的集合通常簡稱有理數集，記作Q；全體實數的集合通常簡稱實數集，記作R集合中的每個對象叫做這個集合的元素例如，“地球上的四大洋”這一集合的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋集合的元素常用小寫的拉丁字母表示如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作aA；如果a不是集合A的元素

22、，就說a不屬例如，設B=1，2，3，4，5，那么集合中的元素必須是確定的這就是說，給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了例如，給出集合地球上的四大洋，它只有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋四個元素，其他對象都不是它的元素又如，“我國的小河流”就不能組成一個集合，因為組成它的對象是不確定的集合中的元素又是互異的這就是說，集合中的元素是沒有重復現象的，任何兩個相同的對象在同一個集合中時，只能算作這個集合的一個元素練習 1(口答)說出下面集合中的元素：(1)大于3小于11的偶數；(2)平方等于1的數；(3)15的約數2用符號或 填空： 集合的表示方法，常用的有列舉法和描述法

23、列舉法是把集合中的元素一一列舉出來的方法例如，由方程x2-1=0的所有的解組成的集合，可以表示為-1，1注 集合-1，1的元素有2個一般地，含有有限個元素的集合叫做有限集又如，由所有大于0且小于10的奇數組成的集合，可以表示為1，3，5，7，9描述法是用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法例如，不等式x-32的解集可以表示為xR|x-32，我們約定，如果從上下文看，xR是明確的，那么這個集合也可以表示為x|x-32集合x|x-32的元素有無限個一般地，含有無限個元素的集合叫做無限集又如，所有直角三角形的集合，可以表示為x|x是直角三角形再看一個例子，由方程x2+1=0的所有實數解組成的

24、集合，可以表示為xR|x2+1=0，這個集合是沒有元素的一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作 為了形象地表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線，用它的內部來表示一個集合例如，圖1-1表示任意一個集合A；圖1-2表示集合1，2，3，4，5 練習 1用適當的方法表示以下集合，然后說出它們是有限集還是無限集：(1)由大于10的所有自然數組成的集合；(2)由24與30的所有公約數組成的集合；(3)方程x2-4=0的解的集合；(4)由小于10的所有質數組成的集合2用描述法表示以下集合，然后說出它們是有限集還是無限集：(1)由4與6的所有公倍數組成的集合；(2)所有正偶數組成的集

25、合；(3)方程x2-2=0的解的集合；(4)不等式4x-65的解集電子課文·子集、全集、補集 1子集在集合與集合之間，存在著“包含”與“相等”的關系先看集合與集合之間的“包含”關系設A=1，2，3，B=1，2，3，4，5，集合A是集合B的一部分，我們就說集合B包含集合A一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，記作A B(或B A)這時我們也說集合A是集合B的子集當集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時，則記作A B(或B A)我們規定：空集是任何集合的子集也就是說，對于任何一個集合A，有A再看集合與集

26、合之間的“相等”關系設A=x|x2-1=0，B=-1，1，集合A與集合B的元素是相同的，我們就說集合A等于集合B一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作A=B由集合的“包含”與“相等”的關系，可以得出下面的結論(1)對于任何一個集合A，因為它的任何一個元素都屬于集合A本身，所以A A，也就是說，任何一個集合是它本身的子集我們常常涉及“真正的子集”的問題對于兩個集合A與B，如果A B，并且AB，我們就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)用圖形表示如圖1-3顯然，空集是任何非空集合的真

27、子集容易知道，對于集合A，B，C，如果A B，B C，那么A C事實上，設x是集合A的任意一個元素，因為A B，所以xB，又因為B C，所以xC，從而A C同樣可知，對于集合A，B，C，如果A B，B C，那么A C(2)對于集合A，B，如果A B，同時B A，那么A=B例1 寫出集合a，b的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集解：集合a，b的所有的子集是 ，a，b，a，b，其中 ，a，b是a，b的真子集例2 解不等式x-32，并把結果用集合表示解：x5，原不等式的解集是x|x5練習 1寫出集合a，b，c的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集2用適當的符號(， ，=， ， )填空

28、：(1)a_a；(2)a_a，b，c；(3)d_a，b，c；(4)a_a，b，c；(5)a，b_b，a；(6)3，5_1，3，5，7；(7)2，4，6，8_(2，8；(8) _1，2，3(2)解不等式3x+24x-1，并把結果用集合表示 2全集與補集看一個例子設集合S是全班同學的集合，集合A是班上所有參加校運動會的同學的集合，而集合B是班上所有沒有參加校運動會的同學的集合，那么這三個集合有什么關系呢?容易看出，集合B就是集合S中除去集合A之后余下來的集合一般地，設S是一個集合，A是S的一個子集(即A S)，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)，記作 SA，即SA=

29、x|xS，且x A圖1-4中的陰影部分表示A在S中的補集 SA例如，如果S=1，2，3，4，5，6 ，A=1，3，5，那么SA=2，4，6如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集，全集通常用U表示例如，在實數范圍內討論問題時，可以把實數集R看作全集U，那么，有理數集Q的補集 UQ是全體無理數的集合練習 1填空：如果S=x|x是小于9的正整數，A=1，2，3，B=3，4，5，6，那么 SA=_， SB=_2填空：(1)如果全集U=Z，那么N的補集 UN=_；(2)如果全集U=R，那么 UQ的補集 U( UQ)=_ 電子課文·交集、并集 看下面

30、的三個圖圖1-5(1)中給出了兩個集合A與B，集合A與B的公共部分就叫做集合A與B的交(圖1-5(2)的陰影部分)，集合A與B合并到一起得到的集合就叫做集合A與B的并(圖1-5(3)的陰影部分)一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集，記作AB(讀作“A交B”)，即AB=x|xA，且xB而由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的并集，記作AB(讀作“A并B”)，即AB=x|xA，或xB例1 設A=x|x-2，B=x|x3，求AB解：AB=x|x-2x|x3=x|-2x3例2 設A=x|x是等腰三角形，B=x|x是直角三角形，求AB解：AB=x

31、|x是等腰三角形x|x是直角三角形=x|x是等腰直角三角形例3 設A=4，5，6，8，B=3，5，7，8，求AB解：AB=4，5，6，83，5，7，8=3，4，5，6，7，8注 集合中的元素是沒有重復現象的，在兩個集合的并集中，原兩個集合的公共元素只能出現一次，不要寫成AB=3，4，5，5，6，7，8，8例4 設A=x|x是銳角三角形，B=x|x是鈍角三角形，求AB解：AB=x|x是銳角三角形x|x是鈍角三角形=x|x是斜三角形例5 設A=x|-1x2，B=x|1x3，求AB解：AB=x|-1x2x|1x3=x|-1x3練習 1設A=3，5，6，8，B=4，5，7，8，(1)求AB，

32、AB；(2)用適當的符號( ， )填空：AB_A，B_AB，AB_A，AB_B，AB_AB2設A=x|x5，B=x|x0，求AB3設A=x|x是銳角三角形，B=x|x是鈍角三角形 ，求AB4設A=x|x-2，B=x|x3，求AB5設A=x|x是平行四邊形，B=x|x是矩形，求AB 由交集定義容易知道，對于任何集合A，B，有AA=A，A = ，AB=BA由并集定義容易知道，對于任何集合A，B，有AA=A，A =A，AB=BA例6 設A=(x，y)|y=-4x+6，B=(x，y)|y=5x-3，求AB解：AB=(x，y)|y=-4x+6(x，y)|y=5x-3=(1，2)注 此題中，(x，y)可以

33、看作直線上的點的坐標，也可以看作二元一次方程的一個解形如2n(nZ)的整數叫做偶數，形如2n+1(nZ)的整數叫做奇數全體奇數的集合簡稱奇數集，全體偶數的集合簡稱偶數集看下面的例子例7 已知A為奇數集，B為偶數集，Z為整數集，求AB，AZ，BZ，AB，AZ，BZ解：AB=奇數偶數= ，AZ=奇數Z=奇數=A，BZ=偶數Z=偶數=B，AB=奇數偶數=Z，AZ=奇數Z=Z，BZ=偶數Z=Z例8 設U=1，2，3，4，5，6，7，8，A=3，4，5，B=4，7，8，求 UA， UB，( UA)( UB)，( UA)( UB)解： UA=1，2，6，7，8，UB=1，2，3，5，6，( UA)( UB

34、)=1，2，6，( UA)( UB)=1，2，3，5，6，7，8練習 1設A=(x，y)|3x+2y=1，B=(x，y)|x-y=2，C=(x，y)|2x-2y=3，D=(x，y)|6x+4y=2，求AB，BC，AD2設A=x|x=2k，kZ，B=x|x=2k+1，kZ，C=x|x=2(k+1)，kZ，D=x|x=2k-1，kZ，在A，B，C，D中，哪些集合相等，哪些集合的交集是空集?3設U=x|x是小于9的正整數，A=1，2，3，B=3，4，5，6，求AB， U(AB)4圖中U是全集，A，B是U的兩個子集，用陰影表示：(1)( UA)( UB)；(2)( UA)( UB) 電子課文

35、·含絕對值的不等式解法 按商品質量規定，商店出售的標明500g的袋裝食鹽，其實際數與所標數相差不能超過5g，設實際數是xg，那么，x應滿足由絕對值的意義，這個結果也可以表示成|x-500|5這就是一個含絕對值的不等式怎樣解含絕對值的不等式呢?讓我們先看含絕對值的方程|x|=2，由絕對值意義可知，方程的解是x=2或x=-2，在數軸上表示如下(圖1-6)再看相應的不等式|x|2與|x|2由絕對值意義，結合數軸表示(圖1-6)可知，不等式|x|2就表示數軸上到原點的距離小于2的點的集合，在數軸上表示如下(圖1-7)因而不等式|x|2的解集是x|-2x2類似地，不等式|x|2就表示數軸上到原

36、點的距離大于2的點的集合，在數軸上表示如下(圖1-8)因而不等式|x|2的解集是x|x-2x|x2=x|x-2，或x2一般地，不等式|x|a(a0)的解集是x|-axa；不等式|x|a(a0)的解集是x|xa，或x-a例1 解不等式|x-500|5解：由原不等式可得-5x-5005，各加上500，得495x505，所以，原不等式的解集是x|495x505例2 解不等式|2x+5|7解：由原不等式可得2x+5-7，或2x+57整理，得x-6，或x1所以，原不等式的解集是x|x-6，或x1)練習 1解以下不等式：(1)|x|5；(2)|x|10；(3)2|x|8；(4)5|x|7；(5)

37、|3x|12；(6)|4x|142解以下不等式：(1)|x+4|9；(3)|2-x|3；(5)|5x-4|6；電子課文·一元二次不等式解法 在初中，我們已經學習過一次函數、二次函數的有關知識一元一次方程、一元一次不等式與一次函數有什么關系呢?例如一次函數y=2x-7，它的對應值表與圖象如下由對應值表與圖象(圖1-9)可以知道：當x=3.5時，y=0，即2x-7=0；當x3.5時，y0，即2x-70；當x3.5時，y0，即2x-70一般地，設直線y=ax+b與x軸的交點是(x0，0)，就有如下結果1一元一次方程ax+b=0的解是x02(1)當a0時，一元一次不等式ax+b0的解集是x|

38、xx0，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0；(2)當a0時，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0一元二次方程、一元二次不等式與二次函數的關系怎樣呢?讓我們先看一個例子二次函數y=x2-x-6的對應值表與圖象如下由對應值表與圖象(圖1-10)可以知道，當x=-2，或x=3時，y=0，即x2-x-6=0；當x-2，或x3時，y0，即x2-x-60；當-2x3時，y0，即x2-x-60這就是說，如果拋物線y=x2-x-6與x軸的交點是(-2，0)與(3，0)，那么，一元二次方程x2-x-6=0的解就是x1=-2，x2=3同樣，結合拋物線與x軸

39、的相關位置，可以得出一元二次不等式x2-x-60的解集是x|x-2，或x3；一元二次不等式x2-x-60的解集是x|-2x3上例說明，由拋物線與x軸的交點可以確定對應的一元二次方程的解和對應的一元二次不等式的解集我們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，設=b2-4ac，它的解按照0，=0，0分為三種情況相應地，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的相關位置也分為三種情況(圖1-11)，因此，分這三種情況討論對應的一元二次不等式ax2+bx+c0與ax2+bx+c0的解集(1)如果0，此時拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點(圖1-11(1)，即方程ax2+bx+c=0有兩個不

40、相等的實數根x1，x2(x1x2)那么，不等式ax2+bx+c0的解集是x|xx1，或xx2；不等式ax2+bx+c0的解集是x|x1xx2(2)如果=0，此時拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個交點那么，不等式ax2+bx+c0的解集是不等式ax2+bx+c0的解集是空集 (3)如果0，此時拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒有交點(圖1-11(3)，即方程ax2+bx+c=0無實數根那么，不等式ax2+bx+c0的解集是R；不等式ax2+bx+c0的解集是 對于二次項系數是負數(即a0)的不等式，可以先把二次項系數化成正數，再求解例1 解不等式2x2-3x-20解：因為0，方程2x2-3

41、x-2=0的解是所以，不等式的解集是例2 解不等式-3x2+6x2解：整理，得3x2-6x+20因為0，方程3x2-6x+2=0的解是所以，原不等式的解集是例3 解不等式4x2-4x+10解：因為=0，方程4x2-4x+1=0的解是所以，不等式的解集是例4 解不等式-x2+2x-30解：整理，得x2-2x+30因為0，方程x2-2x+3=0無實數解，所以不等式x2-2x+30的解集是 從而，原不等式的解集是 練習 1解以下不等式：(1)3x2-7x+20；(2)-6x2-x+20；(3)4x2+4x+10；(4)x2-3x+502x是什么實數時，函數y=x2-4x+1的值：(1)等于

42、0?(2)是正數?(3)是負數?下面我們研究一下不等式(x+4)(x-1)0的解法這是一元二次不等式，可以按照前面的方法求解如果考慮到這個不等式的不等號左邊是兩個x的一次式的積，右邊是0，那么它可以根據積的符號法則化成一次不等式組與因此，(x+4)(x-1)0的解集是上面不等式組的解集的并集由得原不等式的解集是x|-4x1 =x|-4x1用上述方法也可以解像這樣的分式不等式解：這個不等式的解集是不等式組與的解集的并集由得原不等式的解集是x|-7x3 =x|-7x3練習 1解以下不等式：(1)(x+2)(x-3)0；(2)x(x-2)02解關于x的不等式(x-a)(x-b)0(ab)3

43、解以下不等式：4判斷以下說法是否正確：電子課文·邏輯聯結詞 我們在初中已經學過命題，可以判斷真假的語句叫做命題看下面的語句125 3是12的約數 0.5是整數 這些語句都是命題其中、是真的，叫做真命題；是假的，叫做假命題有些語句不是命題，例如下面的語句3是12的約數嗎？(不涉及真假)x5(不能判斷真假)、三個命題比較簡單，由簡單的命題可以組合成新的比較復雜的命題看下面的例子10可以被2或5整除 菱形的對角線互相垂直且平分 0.5非整數 這里的“或”我們已經學過，像不等式x2-x-60的解集是x|x-2，或x3“且”我們也學過，像不等式x2-x-60的解集是x|-2x3即x|x-2，且

44、x3“非”是否定的意思，“0.5非整數”是對命題“0.5是整數”進行否定而得出的新命題“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯結詞像、這樣的命題，不含邏輯聯結詞，是簡單命題；像、這樣的命題，它們由簡單命題與邏輯聯結詞構成，是復合命題我們常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，來表示命題，上面復合命題、的構成形式分別是：p或q；p且q；非p非p也叫做命題p的否定例1 分別指出以下復合命題的形式及構成它的簡單命題：(1)24既是8的倍數，也是6的倍數；(2)李強是籃球運動員或跳高運動員；(3)平行線不相交解：(1)這個命題是p且q的形式，其中p：24是8的倍數，q：24是6的倍數(2)這個命題是p或q的形

45、式，其中p：李強是籃球運動員，q：李強是跳高運動員(3)這個命題是非p的形式，其中p：平行線相交 練習 1分別寫出由以下各組命題構成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復合命題：(1)p：5是15的約數，q：5是20的約數(2)p：矩形的對角線相等，q：矩形的對角線互相平分2分別用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命題“6是自然數且是偶數”是_的形式；(2)命題“3大于或等于2”是_的形式；(3)命題“4的算術平方根不是-2”是_的形式；(4)命題“正數或0的平方根是實數”是_的形式怎樣判斷一個復合命題的真假呢？讓我們分析一下上面講的三種復合命題先看非p形式的復合命題：當p為真時

46、，非p為假；當p為假時，非p為真例如，如果p表示“2是10的約數”為真，那么，非p即“2不是10的約數”為假非p形式復合命題的真假可以用下表表示再看p且q形式的復合命題：當p，q都為真時，p且q為真；當p，q中至少有一個為假時，p且q為假例如，如果p表示“5是10的約數”，q表示“5是15的約數”，r表示“5是8的約數”，那么，p且q即“5是10的約數且是15的約數”為真，因為p，q都為真，p且r即“5是10的約數且是8的約數”為假，因為r為假p且q形式復合命題的真假可以用下表表示最后看p或q形式的復合命題：當p，q至少有一個為真時，p 或q為真；當p，q都為假時，p或q為假例如，如果p表示“

47、5是12的約數”，q表示“5是15的約數”，r 表示“5是8的約數”，那么，p或q即“5是12的約數或是15的約數”為真，因為q為真，p或r即“5是12的約數或是8的約數”為假，因為p，r都為假p或q形式復合命題的真假可以用下表表示像上面那樣表示命題的真假的表叫真值表要注意，這里所學的“或”與我們日常生活用語中的“或”是有區別的，例如，日常生活中，我們認為“蘋果是長在樹上或長在地里”這句話是不妥的那么，學習邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的意義是什么呢？下面看兩個日常生活中和“或”、“且”有關的例子許多電器都有自動控制的功能例如，洗衣機在甩干時，如果“到達預定時間”或“機蓋被打開”，就會停機，即當兩個條件至少有一個滿足時，就會停機，相應的電路，就叫或門電路又如，電子保險門在“鑰匙插入”且“密碼正確”兩個條件都滿足時，才會開啟，相應的電路，就叫與門電路你能找出這樣的例子嗎？例2 分別指出由以下各組命題構成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復合命題的真假：(1)p：2+2=5，q：32(2)p：9是質數，q：8是12的約數(3)p：11，2，q：1 1，2(4)p： 0，q： =0解：(1)因為p 假q真，所以，“p或q”為真，“p且q”為假，“非p”為真(2)因為p假q假