1、提能拔高限時(shí)訓(xùn)練41 平面與平面的平行、垂直一、選擇題1.平面平面的一個(gè)充分條件是( )A.存在一條直線(xiàn)a,a,aB.存在一條直線(xiàn)a,a,aC.存在兩條平行直線(xiàn)a、b,a,b,a,bD.存在兩條異面直線(xiàn)a、b,a,b,a,b解析：對(duì)于A、B、C,與可相交.故選D.答案：D2.若m、n是兩條不同的直線(xiàn),、是三個(gè)不同的平面,則下列命題中的真命題是( )A.若m,則mB.若=m,=n,mn,則C.若m,m,則D.若,則解析：對(duì)于A,如圖,m,故A為假命題;對(duì)于B,可令一三棱柱的三側(cè)面分別為、,則、相交;對(duì)于D,與可能平行,也可能垂直;對(duì)于C,利用線(xiàn)面平行性質(zhì)及面面垂直判定定理可求解.答案：C3.如果

2、直線(xiàn)l、m與平面、滿(mǎn)足:=l,ml,m,則必有（ ）A.l B. C.m且m D.m或m解析：但若m為與的交線(xiàn)或?yàn)榕c的交線(xiàn),則不能同時(shí)有m,m.答案：D4.已知兩個(gè)不同的平面,和兩條不重合的直線(xiàn)m,n,有下列四個(gè)命題:若mn,n,則m;若m,n,且m,n,則;若m,n,則mn;若,m,則m.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4解析:mn,n,則m或m,不正確;中缺條件m與n是兩條相交直線(xiàn),不正確;m,n,則mn或m與n異面,不正確;正確.答案:A5.給出下列四個(gè)命題:垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行;垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行;若直線(xiàn)l1、l2與同一平面所成的角相等,

3、則l1、l2互相平行;若直線(xiàn)l1、l2是異面直線(xiàn),則與l1、l2都相交的兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn).其中假命題的個(gè)數(shù)是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析：該題考查了立體幾何中的公理、判定定理、性質(zhì)定理以及推論等.假命題:譬如正方體ABCDABCD中AB和AD都與AA垂直,但它們是垂直關(guān)系;假命題:譬如正方體ABCDABCD中平面AB和平面AD都與平面AC垂直,但它們是相交關(guān)系;假命題:譬如正棱錐的側(cè)棱與底面所成的角都相等,但它們都相交,不平行;假命題:譬如正方體ABCDABCD中AB和AD是一對(duì)異面直線(xiàn),直線(xiàn)AA與直線(xiàn)AD分別與AB和AD都相交,但它們是相交關(guān)系.故選D.答案：D6.對(duì)于直線(xiàn)m、

4、n和平面,下列命題中的真命題是( )A.如果m,n,m、n是異面直線(xiàn),那么nB.如果m,n與相交,那么m、n是異面直線(xiàn)C.如果m,n,m、n共面,那么mnD.如果m,n,m、n共面,那么mn解析:m、n共面,m,n,由m、n確定的平面與交于m,則mn.故選C.答案：C7.從點(diǎn)P引三條射線(xiàn)PA、PB、PC,每?jī)蓷l的夾角都是60°,則二面角BPAC的余弦值是（ ）A. B. C. D.解析：如圖,取A1PA,作A1C1PC,A1B1PB,連結(jié)B1C1,則C1A1B1為二面角BPAC的平面角,設(shè)PC1=a,BPA=APC=BPC=60°,A1C1=a=A1B1,B1C1=a.co

5、sC1A1B1=.答案：B8.已知m,n是兩條不同直線(xiàn),是三個(gè)不同平面.下列命題中正確的是( )A.若,則 B.若m,n,則mnC.若m,n,則mn D.若m,m,則解析：由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理知選B.答案：B9.設(shè)直線(xiàn)m與平面相交但不垂直,則下列說(shuō)法中正確的是( )A.在平面內(nèi)有且只有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)m垂直B.過(guò)直線(xiàn)m有且只有一個(gè)平面與平面垂直C.與直線(xiàn)m垂直的直線(xiàn)不可能與平面平行D.與直線(xiàn)m平行的平面不可能與平面垂直解析：用排除法排除A、C、D.答案：B10.設(shè)a,b是兩條直線(xiàn),是兩個(gè)平面,則ab的一個(gè)充分條件是( )A.a,b, B.a,b,C.a,b, D.a,b,解析：由,b,所以b.因

6、為a,所以ba.答案：C二、填空題11.設(shè)a、b、c表示直線(xiàn),、表示平面,下列命題中正確命題的序號(hào)是_.a,ab,則b;a,a,則;ab,ac,則bc;a,b,則ab;a,ab,b,則;ab,bc,則ac.解析：對(duì)于,可能有b;對(duì)于,a、c可能相交或異面;易知正確;對(duì)于,若a,則在中必有直線(xiàn)c,使ac,故b時(shí)有bc,進(jìn)而ab;對(duì)于,a,abb,又b,故.答案：12.平面ABCD是正方形,P為平面ABCD外一點(diǎn),且PA平面ABCD,則平面PAB、平面PBC、平面PDC、平面PAD、平面ABCD這五個(gè)平面中,互相垂直的平面有_對(duì).解析：如圖,可得平面PAB平面ABCD,平面PAD平面ABCD,平面

7、PAB平面PAD,平面PBC平面PAB,平面PDC平面APD,共5對(duì).答案：513.已知直線(xiàn)m平面,直線(xiàn)n平面,給出下列四個(gè)命題:若,則mn;若,則mn;若mn,則;若mn,則.其中正確命題是_.(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)解析：m,n,若 ,則m,從而mn,故正確;若,m、n的關(guān)系不確定,故錯(cuò)誤;若mn,m,從而n,n,則,從而正確;若mn,、可能相交,故錯(cuò)誤.答案：14.如右圖，等邊ABC的邊長(zhǎng)為4,D為BC中點(diǎn)，沿AD把ADC折疊到ADC處，使二面角BADC為60°,則折疊后點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離為_(kāi)；二面角ABCD的正切值為_(kāi).解析：如右圖,作DMBC,連結(jié)AM,則AM為點(diǎn)

8、A到直線(xiàn)BC的距離,AD=,DM=,AM=.二面角ABCD的平面角為AMD,正切值為tanAMD=2.答案： 2三、解答題15.如圖,四棱錐PABCD的底面是矩形,PA平面ABCD,E、F分別是AB、PD的中點(diǎn),又二面角PCDB為45°.(1)求證:AF平面PEC;(2)求證:平面PEC平面PCD;(3)設(shè)AD=2,CD=,求點(diǎn)A到平面PEC的距離.(1)證明:取PC的中點(diǎn)G,連結(jié)EG、FG.F是PD的中點(diǎn),FGCD且FG=CD.而AECD且AE=CD,EAGF且EA=GF.故四邊形EGFA是平行四邊形,從而EGAF.又AF平面PEC,EG平面PEC,AF平面PEC.(2)證明:PA

9、平面ABCD,AD是PD在平面ABCD上的射影.又CDAD,CDPD,PDA就是二面角PCDB的平面角.ADP=45°,則AFPD.又AFCD,PDCD=D,AF平面PCD.由(1),EGAF,EG平面PCD.而EG平面PEC,平面PEC平面PCD.(3)解:過(guò)F作FHPC交PC于點(diǎn)H,又平面PEC平面PCD,則FH平面PEC,FH為點(diǎn)F到平面PEC的距離,而AF平面PEC,故FH等于點(diǎn)A到平面PEC的距離.在PFH與PCD中,FHP=CDP=90°,FPC為公共角,PFHPCD,.AD=2,CD=,PF=,PC=4,FH=·=1.點(diǎn)A到平面PEC的距離為1.16

10、.（理）如圖所示,四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,BCD=60°,E是CD的中點(diǎn),PA底面ABCD,PA=2.(1)證明平面PBE平面PAB;(2)求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小.解：(1)證明:如圖所示,連結(jié)BD,由四邊形ABCD是菱形且BCD=60°,知BCD是等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn),所以BECD.又ABCD,所以BEAB.又因PA平面ABCD,BE平面ABCD,所以PABE.而PAAB=A,因此BE平面PAB.又BE平面PBE,所以平面PBE平面PAB.(2)延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F,連結(jié)PF.過(guò)點(diǎn)A作AHPB于H,由(1)知

11、平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中,因?yàn)锽AF=60°,所以AF=2AB=2=AP.在等腰RtPAF中,取PF的中點(diǎn)G,連結(jié)AG,則AGPF,連結(jié)HG,由三垂線(xiàn)定理的逆定理,得PFHG,所以AGH是平面PAD和平面PBE所成的二面角的平面角(銳角).在等腰RtPAF中,AG=PA=.在RtPAB中,AH=,在RtAHG中,sinAGH=.故平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小是arcsin.（文）如圖所示,四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,BCD=60°,E是CD的中點(diǎn),PA底面ABCD,PA=3.(1)證明平面PBE平面PAB

12、;(2)求二面角ABEP的大小.解：(1)證明:連結(jié)BD,由四邊形ABCD是菱形且BCD=60°,知BCD是等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn),所以BECD.又ABCD,所以BEAB.又因?yàn)镻A平面ABCD,BE平面ABCD,所以PABE.而PAAB=A,因此BE平面PAB.又BE平面PBE,所以平面PBE平面PAB.(2)由(1)知BE平面PAB,PB平面PAB,所以PBBE.又ABBE,所以PBA是二面角ABEP的平面角.在RtPAB中,tanPBA=,PBA=60°.故二面角ABEP的大小是60°.教學(xué)參考例題 志鴻優(yōu)化系列叢書(shū)【例1】如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1

13、B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2.(1)求證:平面A1BC1平面ACD1;(2)求(1)中兩個(gè)平行平面間的距離;(3)求點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離.(1)證明:由于BC1AD1,則BC1平面ACD1.同理,A1B平面ACD1,所以平面A1BC1平面ACD1.(2)解:設(shè)兩平行平面A1BC1與ACD1間的距離為d,則d等于D1到平面A1BC1的距離.易求A1C1=5,A1B=,BC1=,則cosA1BC1=.從而sinA1BC1=,SA1BC1=.由于VD1A1BC1=VBA1C1D1,則SA1BC1·d=(·A1D1·C1D1)·BB1,

14、代入求得d=,即(1)中兩個(gè)平行平面間的距離等于.(3)解:由于線(xiàn)段B1D1被平面A1BC1所平分,所以點(diǎn)B1與點(diǎn)D1到平面A1BC1的距離相等,故由(2)知點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離等于.【例2】已知三棱柱A1B1C1ABC的底面邊長(zhǎng)及側(cè)棱長(zhǎng)均相等,ABCB1,且側(cè)面ABB1A1垂直于底面ABC.(1)求證:平面ABC1平面CBB1C1;(2)求側(cè)棱B1B與底面ABC所成角的大小.剖析:(1)利用面面垂直的判定定理,關(guān)鍵是在一個(gè)平面內(nèi)找另一個(gè)平面的垂線(xiàn)(這條直線(xiàn)是CB1);(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理,作出側(cè)棱B1B與底面ABC所成的角.(1)證明:四邊形BB1C1C是菱形,CB1C1B.

15、又ABCB1,ABC1B=B,CB1平面ABC1.而CB1平面CBB1C1,平面ABC1平面CBB1C1.(2)解:作B1DAB于D,連結(jié)CD.側(cè)面ABB1A1底面ABC,而平面ABB1A1平面ABC=AB,B1D面ABC.B1BD就是側(cè)棱B1B與底面ABC所成的角.又CB1AB,其射影CDAB.而ABC是正三角形,BD=AB=B1B.B1BD=60°,即側(cè)棱B1B與底面ABC所成的角為60°.【例3】 已知四棱錐PABCD,底面ABCD是菱形,DAB=60°,PD平面ABCD,PD=AD,點(diǎn)E為AB中點(diǎn),點(diǎn)F為PD中點(diǎn).(1)證明平面PED平面PAB;(2)求二面角PABF的平面角的余弦值.(1)證明:連結(jié)BD,AB