1、提能拔高限時(shí)訓(xùn)練27 不等式的證明一、選擇題1.設(shè)0，則（ ）A.a2b2 B.a+b C.abb2 D.a2+b2|a|+|b|解析：直接法：由0ba0知abb2；間接法：取b=-1,可排除A、B、D.答案：C2.已知不等式9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為（ ）A.8 B.6 C.4 D.2解析：,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).由條件知不等式9對(duì)任意x、y恒成立,則只需9,3,a4.答案：C3.如果a,b為非零實(shí)數(shù),則不等式成立的充要條件是（ ）A.ab且ab0 B.ab且ab0C.ab,ab0或ab0 D.a2b-ab20解析：a2b-ab20a2bab2.答案：D4.若c1,則下

2、列結(jié)論中正確的是（ ）A.ab B.ab C.a=b D.ab解析：,.由0,知ab.答案：D5.設(shè)a,b,c,d,m,n(0,+),那么（ ）A.pq B.pq C.pq D.p、q大小關(guān)系不定解析:.答案：A6.設(shè)x0,y0且xy-(x+y)=1,則（ ）A.x+y B.xyC.x+y D.xy解析：xy,1,即(x+y)2-4(x+y)-40,解得x+y或x+y.又x+y0,x+y.答案：A7.若x2+xy+y2=1且x、yR,則n=x2+y2的取值范圍是（ ）A.0n1 B.2n3 C.n2 D.n2解析：直接法：x2+xy+y2=1xy=1-(x2+y2),又-|xy|xy|xy|，

3、知1-(x2+y2),得出x2+y22.間接法：利用x2+xy+y2=1的對(duì)稱性和邊界值特點(diǎn)，取時(shí)，,取x=-y=1時(shí)，n=2.答案：D8.如果正數(shù)a,b,c,d滿足a+b=cd=4,那么（ ）A.abc+d，且等號(hào)成立時(shí)，a,b,c,d的取值唯一B.abc+d，且等號(hào)成立時(shí)，a,b,c,d的取值唯一C.abc+d，且等號(hào)成立時(shí)，a,b,c,d的取值不唯一D.abc+d，且等號(hào)成立時(shí)，a,b,c,d的取值不唯一解析：a+b,ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào).c+d,c+d,當(dāng)且僅當(dāng)c=d=2時(shí)取等號(hào).故c+dab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d=2時(shí)取等號(hào).答案：A9.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2+(y-1)

4、2=1,若對(duì)滿足條件的x、y,x+y+c0恒成立,則c的取值范圍是（ ）A.,+) B.(-, C.,+) D.(-,解析：令x=sin,y=1+cos,0,2,則x+y+c0成為sin+cos+1+c0,即c,c.答案：A10.已知x,yR,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,則M,N的大小關(guān)系是（ ）A.MN B.MN C.M=N D.不能確定解析：由2M-2N=2（x2+y2+1)-2(x+y+xy)=(x-y)2+(x-1)2+(y-1)20可得出.答案：A二、填空題11.已知abc且a+b+c=0,則拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)必為_個(gè).解析：由已知可得a0,c0,=

5、b2-4ac0,故交點(diǎn)必為2個(gè).答案：212.設(shè)abc,且恒成立,則m的取值范圍是_.解析：abc,a-b0,b-c0,a-c0.又.m4.答案：m413.已知a0且a1，P=loga(a2-a+1),Q=loga(a3-a+1),則P與Q的大小關(guān)系是_.解析：(a3-a+1)-(a2-a+1)=a3-a2=a2(a-1).當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)y=logax是增函數(shù).a1,a2(a-1)0.PQ.當(dāng)0a1時(shí),函數(shù)y=logax是減函數(shù).0a1,a2(a-1)0.PQ.由，知PQ.答案：PQ14.函數(shù)y=loga(x+3)-1(a0,a1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中mn0

6、，則的最小值為_.解析：A(-2,-1),A在直線mx+ny+1=0上，得-2m-n+1=0,即2m+n=1.又mn0,m0,n0.當(dāng)且僅當(dāng)，即,時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為8.答案：8三、解答題15.已知a,b,c(0,+),且a,b,c成等比數(shù)列,求證:a2+b2+c2(a-b+c)2.證明：左邊-右邊=2(ab+bc-ac).a,b,c成等比數(shù)列,b2=ac.a,b,c(0,+),0.a+cb.2(ab+bc-ac)=2(ab+bc-b2)=2b(a+c-b)0.a2+b2+c2(a-b+c)2.16.已知a0,b0,a+b=1,求證:(1)8;(2)9.證明：(1).a+b=1,a0,b0,2+2=4.8(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立).(2)a0,b0,a+b=1,.同理.5+4=9.9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立).數(shù)學(xué)參考例題 志鴻優(yōu)化系列叢書【例1】已知a、b、x、yR+且,xy.求證:.證法一：(作差比較法),又且a、bR+,ba0.又xy0,bxay.,即.證法二：（分析法）x、y、a、bR+,要證,只需證明xbya.而由0,b