1、2013 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題級(jí).指定位置上.(1)當(dāng)x 0時(shí)，用o(x)表示比x高階的無(wú)窮小，則下列式子中錯(cuò)誤的是()23(A) x o(x ) o(x )(B) o(x) o(x2) o(x3)(C) o(x2) o(x2) o(x2)22(功 o(x) o(x ) o(x )(2)函數(shù)f(x)|x|x 1的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()x(x 1)ln |x |(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(3 )設(shè)Dk是圓域D (x,y)|x2 y2 1位于第

2、k象限的部分，記Ik (y x)dxdy k 1,2,3,4 ，則()Dk(A) I10(B) I2 0(C) I3 0(D) I4 0(4)設(shè)aj為正項(xiàng)數(shù)列，下列選項(xiàng)正確的是()(A)若 an an1,則(1)n1an 收斂 n 1(B)若(1)n 1an 收斂，則 an an 1(C)若 an收斂，則存在常數(shù)P 1,使limnn 1nan存在(D)若存在常數(shù)P 1,使limnPan存在，則 n nan收斂 1(5)設(shè)矩陣A,B,C均為n階矩陣，若AB C,則B可逆，則(A)(B)(0(D)矩陣矩陣矩陣矩陣C的行向量組與矩陣 C的列向量組與矩陣 C的行向量組與矩陣 C的行向量組與矩陣A的行向

3、量組等價(jià) A的列向量組等價(jià) B的行向量組等價(jià) B的列向量組等價(jià)(6)矩陣00相似的充分必要條件為0(A)0,b(B)0, b為任意常數(shù)(O2,b 0(D)2, b為任意常數(shù)(7)設(shè) X1, X2, X3是隨機(jī)變量，且 X1N(0,1), X2N(0,22) , X3N(5,32),Pj P 2Xj 2( j 1,2,3),則(A)P2P3(B)P2(OP2(D)P3P2(8)設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，則X和Y的概率分布分別為, 則 PX Y 2()1 (A)- 12 (B)- 81 (C)-61(D)-2二、填空題：9 14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙.指定位置上.(9)設(shè)曲

4、線y f(x)和y x2 x在點(diǎn)(0,1)處有公共的切線，則lim nf 。n n 2(10)設(shè)函數(shù)z z(x, y)由方程(z y)x xy確定，則-z(12) 。 x(11)求 "x 2 dx。1 (1 x)(12)微分方程y y 1 y 0通解為y。4(13)設(shè)A (aj)是三階非零矩陣，|A |為A的行列式，Aj為a0的代數(shù)余子式，若a。Aj 0(i,j 1,2,3)，則 A (14)設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布XN(0,1)，則E(Xe2X) =。三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. (15)(本題滿分1

5、0分)當(dāng)x 0時(shí)，1 cosx cos2x cos3x與axn為等價(jià)無(wú)窮小，求n與a的值。(16)(本題滿分10分)1設(shè)D是由曲線y x3,直線x a(a 0)及x軸所圍成的平面圖形，Vx,Vy分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若 Vy 10Vx,求a的值。(17)(本題滿分10分)設(shè)平面內(nèi)區(qū)域D由直線x 3y,y 3x及x y 8圍成.計(jì)算 x2dxdy。 D(18)(本題滿分10分)設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為6000元，可變成本為20元/件，價(jià)格函數(shù)為P 60 -Q-, (P1000是單價(jià)，單位：元，Q是銷量，單位：件)，已知產(chǎn)銷平衡，求：(1)該商品的邊際利潤(rùn)。(2)當(dāng)P=50

6、時(shí)的邊際利潤(rùn)，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。(3)使得利潤(rùn)最大的定價(jià)R(19)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)在0,上可導(dǎo)，f(0) 0且lim f(x) 2,證明 x(1)存在a 0,使得f(a) 1(0,a),使得 f'()(2)對(duì)(1)中的a ,存在(20)(本題滿分11分)1a0 1設(shè)A 1 a ,B 0 1 ,當(dāng)a,b為何值時(shí)，存在矩陣C使得AC CA B ,并求所有矩陣C1 01 b(21)(本題滿分11分)設(shè)二次型 f x1, x2, x32 a1x12a2x2a3x3b?x2b3x3 2 ,記a1na2,b2°a3b3(I)證明二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣為2 T(II )若，正交

7、且均為單位向量，證明二次型f在正交變化下的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型222 y1y2。3x2, 0x1, 0, 其他.，在給定0 y x,其他.(22)(本題滿分11分)設(shè)X，Y是二維隨機(jī)變量，X的邊緣概率密度為fx x3y2x x 0 x 1的條件下，Y的條件概率密度x yxx30,(1)求X,Y的概率密度f(wàn) x, y ； (2) Y的邊緣概率密度f(wàn)Y y .(23)(本題滿分11分)x 0,其中 為未知參數(shù)且大于零，XX2,L Xn為 其它.2設(shè)總體X的概率密度為f x £e0,來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.(1)求的矩估計(jì)量；(2)求 的最大似然估計(jì)量.2013年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)

8、三試題答案、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙 指定位置上.(1)當(dāng)x 0時(shí)，用o(x)表示比x高階的無(wú)窮小，則下列式子中錯(cuò)誤的是(23(A) x o(x ) o(x )(B) o(x) o(x2) o(x3)(C) o(x2) o(x2) o(x2)(D) o(x) o(x2) o(x2)【答案】D【解析】o(x) o(x2) o(x),故D錯(cuò)誤。(2)函數(shù) f (x)|x|x 1x(x 1)ln |x |的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為【解析】由題意可知f(x)的間斷點(diǎn)為0, 1。又故f (x)的可去間斷點(diǎn)有2個(gè)(3

9、 )設(shè)Dk是圓域D (x,y)|x2 y2 1位于第k象限的部分，記Ik (y x)dxdy k 1,2,3,4 ，貝U ()Dk(A) I10(B) I2 0(C) I3 0(D) I4 0【答案】B【解析】令x r cos , y r sin ,則有一， 一.2故當(dāng)k 2時(shí)， 一， ，此時(shí)有I2 - 0.故正確答案選B。23(4)設(shè)小為正項(xiàng)數(shù)列，下列選項(xiàng)正確的是(A)若 an ani,則(1)n1an 收斂n 1(B)若(1)n 1an 收斂，則 anan 1n 1(C)若 an收斂，則存在常數(shù)P 1,使lim nPan存在 nnn 1(D)若存在常數(shù)P 1 ,使lim nPan存在，則a

10、n收斂nn 1【答案】D【解析】根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，當(dāng)P 1時(shí)，口I斂，且lim nP為存在，則 an與n 1 n Pnn 1同斂散，故 an收斂. pn 1(5)設(shè)夕!陣A,B,C均為n階矩陣，若AB C,且C可逆，則(A的行向量組等價(jià) A的列向量組等價(jià) B的行向量組等價(jià) B的列向量組等價(jià)(A)矩陣C的行向量組與矩陣 (B)矩陣C的列向量組與矩陣 (C)矩陣C的行向量組與矩陣 (D)矩陣C的行向量組與矩陣【答案】(B)【解析】由C AB可知C的列向量組可以由 A的列向量組線性表示，又 B可逆，故有A CB 1,從而A的列向量組也可以由C的列向量組線性表示，故根據(jù)向量組等價(jià)的定義可知正確

11、選項(xiàng)為(B)。1a1200(6)矩陣a b a與0 b 0相似的充分必要條件為1 a1000(A) a0,b2(B) a 0, b為任意常數(shù)(Qa2,b0(D) a 2,b為任意常數(shù)【答案】(B)1 a 1【解析】由于1a 1aba的特征值為2,b,01a 1aba為實(shí)對(duì)稱矩陣，故一定可以相似對(duì)角化，從而2 0 00 b 0相似的充分必要條件為0 0 0a 1b a (b)(2) 2a2,從而a 0, b為任意常數(shù)。a 1(7)設(shè) X1, X2, X3 是隨機(jī)變量,且 XN(0,1), X2N(0,2 2) , X3N(5,32),Pj P 2 Xj 2( j 1,2,3),則()(A) P

12、P2 R(B) P2 R E(C) R P P2(D) P P3 P2【答案】(A)【解析】由 X1 : N 0,1 ,X2 : N 0,22 ,X3 : N 5,32 知，p1P2X12PX1|2221,p2P2X22PIX2I 2211 ,故 PiP2.由根據(jù)X3 : N 5,32及概率密度的對(duì)稱性知，Pi P2 P3,故選(A)(8)設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，則X和Y的概率分布分別為，則 PX Y 2()(A)112(B)(C)(D)【答案】(C)【解析】P X Y 2 P X 1,Y 1 P X 2,Y 0 P X 3,Y1，又根據(jù)題意X,Y獨(dú)立，故1P X Y 2 P X 1 P Y

13、 1 P X 2 P Y 0 P X 3 P Y 1,選(C)6二、填空題：9 14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答跳級(jí).指定位置上.(9)設(shè)曲線y f(x)和y x2 x在點(diǎn)(0,1)處有公共的切線，則lim nf n n 2【答案】2【解析】y x2 x在(1,0)處的導(dǎo)數(shù)是y'(1) 1,故f'(1) 1,f (1) 0,(10)設(shè)函數(shù)z z(x, y)由方程(z y)x xy確定，則-z。,x【答案】2 2ln 2【解析】原式為exln(z y)xy,左右兩邊求導(dǎo)得:xyln( z y)x 3 z yy,令 x 1,y 2得 z 0, zx2(1 ln 2)(

14、11)求 ln x 9dx。1 (1 x)2【答案】ln2ln x1 ln x 1, ln x , x【角單析】 2 dx ln xd ( )+ dx+ln (1 x)1 x 1 x x(1 x) 1 x 1 x1 一.(12)微分方程y y - y 0通解為y。41 x【答案】e2 CiX C2【解析】特征方程為 21 1x7 0,2(二重根)，所以通解為y e2 Gxe2(13)設(shè)A (aj)是三階非零矩陣，|A |為A的行列式，Aj為a0的代數(shù)余子式，若a。Aj 0(i,j 1,2,3)，則IA 【答案】1【解析】(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布XN(0,1)，則E(Xe2X) =。

15、【答案】2e2【解析】由X : N 0,1及隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式知x2.1x 2 2 4-E Xe xe e 2 dx xe2 dx 2e2.2 .2三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙.指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō) 明、證明過(guò)程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)當(dāng)x 0時(shí)，1 cosx cos2x cos3x與axn為等價(jià)無(wú)窮小，求n與a的值。【解析】因?yàn)楫?dāng)x 0時(shí)，1 cosx cos2x cos3x與axn為等價(jià)無(wú)窮小所以limx 0cosx cos2x cos3xnax又因?yàn)?即 lim 1x 0cosx cos2x cos3xnax1 cosx cosx(1

16、cos2x) cosx cos2x(1 cos3x)nax149所以n 2且'312 a 2a 2a1設(shè)D是由曲線y x3 ,直線x(16)(本題滿分10分)a(a 0)及x軸所圍成的平面圖形，Vx,Vy分別是D繞x軸,軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若 Vy 10Vx,求a的值。【解析】由題意可得：6 735-因?yàn)椋篤y10Vx所以6-a310 3a3a 7777 5(17)(本題滿分10分)設(shè)平面內(nèi)區(qū)域D由直線x 3y,y 3x及x y 8圍成.計(jì)算 x2dxdy。 D【解析】x2dxdyx2dxdyx2dxdyDDiD2(18)(本題滿分10分)設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為6000元，可

17、變成本為20元/件，價(jià)格函數(shù)為P 60 -Q-, (P1000是單價(jià)，單位：元，Q是銷量，單位：件)，已知產(chǎn)銷平衡，求：(1)該商品的邊際利潤(rùn)。(2)當(dāng)P=50時(shí)的邊際利潤(rùn)，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。(3)使得利潤(rùn)最大的定價(jià)P。2【解析】(I)設(shè)利潤(rùn)為l,則l PQ (20Q 6000) 40Q -Q 6000 1000邊際利潤(rùn)l' 40 *500(II )當(dāng)P 50時(shí)，邊際利潤(rùn)為20,經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)P 50時(shí)，銷量每增加一個(gè)，利潤(rùn)增加 20(III) 令1' 0,得Q 20000,此時(shí) P 60 -Q- 401000(19)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)在0,上可導(dǎo)，f (0) 0

18、且lim f (x) 2,證明 x(1)存在a 0 ,使得f (a) 11(2)對(duì)(1)中的a,存在 (0,a),使得f'()-. a3【答案】(I)證明：Jim f (x) 2, X,當(dāng)x X時(shí)，有f(x)-,“刈在0,*上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，存在 a 0,X ,使得f(a) 1(II ) f(x)在0,a上連續(xù)且可導(dǎo)，根據(jù)拉格朗日中值定理,f(a) f(0) f'( )a 1,(0,a),1故 (0,a),使得 f'() a(20)(本題滿分11分)1a0 1設(shè)A ,B，當(dāng)a,b為何值時(shí)，存在矩陣C使得AC CA B ,并求所有矩陣C1 01 b【解析】由題

19、意可知矩陣C為2階矩陣，故可設(shè)C x1 x2，則由AC CA B可得線性方程組:x2ax3 0(Da% x2 ax4 1x x3 x4 1x2 ax3 b1,b 0,從而有由于方程組(1)有解，故有1 a 0,b 1 a 0,即a01 a 0 0a 10 a 11011 101 a 0 b1 01011000000100010 拓上,故有00x1k1x2x3x4k1 k1 k2，其中k1、k2任意.從而有Ck1k21k1k1k2（21）（本題滿分11分）2設(shè)一次型 f x1,x2,x32 a1x1 a2x2 a3x3b1x,b2X2a1b3X3， I 己a2a320b3(II2y；證明二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣為2 T T ；）若，正交且均為單位向量，證明二次型在正交