1、直線與圓【考試大綱要求】1 .理解直線的斜率的概念，掌握兩點的直線的斜率公式.掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根 據條件熟練地求出直線的方程.2 .掌握兩條直線平行與垂直的條件和點到直線的距離公式；能夠根據直線的方程判斷兩條直線的位置關系.4 . 了解解析幾何的基本思想，了解坐標法.5 .掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數方程的概念，理解圓的參數方程6 .掌握直線與圓的位置關系的判斷方法，能利用直線和圓的位置關系解決相關問題直線方程考察的重點是直線方程的特征值(主要是直線的斜率、截距)有關問題，可與三角知識聯系；圓的方 程，從軌跡角度講，可以成為解答題，尤其是參數問題，在對參數的討

2、論中確定圓的方程.【基礎知識歸納】1 .直線方程(1)直線的傾斜角 直線傾斜角的取值范圍是：0180.(2)直線的斜率 k tan (90).傾斜角是90。的直線沒有斜率；傾斜角不是90。的直線都有斜率，斜率的取值范圍是(8,+8(3)直線的方向向量設Fi(xi,yi)、F2(X2,y2)是直線上不同的兩點，則向量F1 F2=(X2 xi,y2yi)稱為直線的方向向量向量一 FiF2 = (i, y2 yi ) = (i, k)也是該直線的方向向量，k是直線的斜率.特別地，垂直于x2 xix2 xir的直線的一個萬向向量為 a = (0,1).說明：直線的傾斜角、斜率、方向向量都是刻劃、描述直

3、線的傾斜程度的.每一條直線都有傾斜角和方向向量，但不是每一條直線都有斜率，要注意三者之間的內在聯系.(4)直線方程的五種形式點斜式：y y k(x Xo),(斜率存在)斜截式：y kx b (斜率存在)兩點式：UL工, y2 yi x2 xi一般式：Ax By C 0.引申：過直線11 : A1x B1yAx B1y C1(A2x B2y2.兩條直線的位置關系(1)直線與直線的位置關系存在斜率的兩直線|1 : y k1x I1PI2ki k2 且 bi b2；（不垂直坐標軸）截距式：-y a bC1 0,12 : A2x B2y C2C2） 0 （入e R）（除 i2外）.bi ； I2： y

4、 k2x b2 .有： li I2ki k21 ；1 (不垂直坐標軸，不過原點)0交點的直線系方程為:li與12相交kik2；。 li 與 I2重合kik2 且 bib2.般式的直線Ax BiyCi0,l2：A2xB2y C20.0； lil2AA2B1B20有 li Pl2AB2A2B10；且 B1C2C2B111與12相交A1B2A2B10;ll與12重合A1B2 A2B10;且 B1C2C2B10(2)點與直線的位置關系若點P(X0,y0)在直線Ax By C 0上，則有AmBy0 C 0 ；若點P(X0, y0)不在直Ax By C 0上，則有Ax0By。 C 0 ,此時點 P(x),

5、 y°)到直線 Ax By C 0的距離為dA% By° CA2 B2平行直線Ax By C1 0與Ax By C20之間的距離為dCi C2,A2B2(3)兩條直線的交點Ax B1y Ci 0直線li : Ax Biy Ci0,12 ：A2xB2y C20的公共點的坐標是方程的解A2x B2y C2 0相交方程組有唯一解，交點坐標就是方程組的解；平行方程組無解.重合 方程組有無數解.3 .曲線與方程4 .圓的方程(i)圓的定義 (2)圓的方程222標準式：(x a) (y b) r，其中r為圓的半徑，(a,b)為圓心.D ,半徑為JDF_4F 2 22參數方程：x r c

6、osx a r cosy rsiny b r sin(是參數).消去e可得普通方程般式：x2 y2 Dx Ey F 0 ( D2 E2 4F 0).其中圓心為5 .點與圓的位置關系判斷點P(x,y)與圓(x a)2(y b)2 r2的位置關系代入方程看符號6 .直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系有：相離、相切和相交有兩種判斷方法：(i)代數法：(判別式法)0,0,0時分別相離、相交、相切.(2)幾何法：圓心到直線的距離d r,d r,d r時相離、相交、相切7 .弦長求法2(i)幾何法：弦心距 d,圓半徑r,弦長I,則d2- r2 .2(2)解析法：用韋達定理，弦長公式 .8 .圓與圓的位置

7、關系題型i :直線的斜率則直線的傾斜角的取值范圍i、過原點引直線I ,使I與連接A(i ,i)和B(i , i)兩點間的線段相交,是.|045，或13518022.若過點A(4,0)的直線l與曲線(x 2)2y 1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為33 33-33 33A.石行 b (后百)c,3，3 d 3，3答案：C解析：記圓心為D(2,0) ,記上、下兩切點分別記為 B、C ,則BAD 30 CAD , l 的斜率 ktan1500,tan300 ,k 23 if即 33.題型3 直線的對稱問題1. (1)已知點 A( 3,5), B(2,15),試在直線 L : 3x 4y 40上找

8、一點P,使得| PA | | PB|最小，并求出最小值。 已知點A(4,1), B(2,15)試在直線l:3x y 10上找一點P,使得| PA | |PB|的絕對值最大，并求出最大值。12、已知P點坐標為(2,3),在y軸及直線y x上各取一點R、Q,使 PQR的周長最小，求 Q、R的坐標. 2題型4:直線與直線的位置關系4,已知兩條直線y ax 2和y (a 2)x 1互相垂直，則a等于()A. 2B. 1C. 0D.1答案D解析：兩條直線y ax 2和y (a 2)x 1互相垂直，則a(a 2)1 , a= 1,選D.題型5:點與直線的位置關系225.圓x y 4x 4y 10 0上的點

9、到直線x y 14 0的最大距離與最小距離的差是()A. 36 B. 18 C. 6 2 D. 5 2解析：圓x2 y2 4x 4y 10 0的圓心為(2,2),半徑為3行，2.5>3 2|2 2 14|圓心到直線x y 14 0的距離為J2圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是2R =6 <2 ,選C.題型6:圓的方程1、已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1： x=2的右側，若圓M截直線l1所得的弦長為2爪，且與直線l2：2x 45y 4=0相切，則圓M的方程為a+2 2+ 串 2=r2,答案：可設圓M的圓心坐標為(a,0), a>-2,半徑為r,得|2a 4|j=r

10、,4 5所以圓M的方程為(x+1)2+y2=4.2、(1)經過點A(5,2), B(3, 2),且圓心在直線 2xy3=0上的圓的方程為 (2)已知圓C:(x1)2+y2=25,則過點P(2, 1)的圓的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是()A. 10匹B. 9V21C. 10修 D. 9"答案 (1)(x- 2)2 + (y1)2=10 (2)C3.以點(2, 1)為圓心且與直線3x 4y 5 0相切的圓的方程為A.(x_22_22_22_222) (y 1)3b. (x 2) (y 1)3c. (x 2) (y 1)9a (x 2) (y 1)解析|3 "

11、;J二)+5| =3,故選 C.,32 42cos4、若直線3x+4y+m=0 與圓 ysin (為參數)沒有公共點，則實數m的取值范圍是.解析：將圓化成標準方程得2一 2(x 1) (y 2)1,圓心(1,2),半徑r 1.直線與圓相離,3 1 4 ( 2) m,3242m 0或 m 10題型7:直線與圓的位置關系1. (09?遼寧)已知圓 C與直線x-y=0及 )x-y-4=0都相切，圓心在直線 x + y=0上，則圓 C的方程為22_A.(x 1) (y 1)2b. (x1)2(y 1)2_22_22_2c. (x 1) (y 1)2 D. (x 1) (y 1)2答案B解析：圓心在x+

12、 y=0上，排除 題型8:圓與圓的位置關系C、D,再結合圖象，或者3證 A B中圓心到兩直線的距離等于半徑、口即可.1.與直線x y 2 0和曲線12x 12y 54 0都相切的半徑最小的圓的標準方程是【解析】曲線化為(x 6)2(y26)18 ,其圓心到直線x y 2 0的距離為5.2.所求的最小圓的圓心在直線x上，其到直線的距離為 J2,圓心坐標為(2,2). 標準。、2方程為(x 2)一 2 一(y 2)22、(1)已知直線在直線的方程是2x+(y3)m 4= 0(m C R)恒過定點P,若點P平分圓x2+y2-2x- 4y4=0的弦MN,則弦MN所21.已知A(3,0),求圓x2y 4

13、上的點與A的最大距離和最小距離.A, B是切點，若P(2,3).A. x+y5=0 B. x+y 3=0C. x-y-1 = 0 D. x-y+1 = 0(2)已知P(x, y)是直線kx+y+4= 0(k>0)上一動點，PA, PB是圓C: x2+y22y = 0的兩條切線, 四邊形PACB的最小面積是2,則k的值為()A. 3 B.亨C. 2a/2 D. 2答案(1)A (2)D解析(1)對于直線方程2x+ (y-3)m-4= 0(mCR),取y= 3,則必有x=2,所以該直線恒過定點設圓心是C,則易知 C(1,2),3-2所以 kcp=3二=1,2 1由垂徑定理知 CPXMN ,所

14、以kMN = 1.又弦MN過點P(2,3),故弦MN所在直線的方程為 y-3=- (x-2),即 x+ y 5 = 0.(2)如圖，把圓的方程化成標準形式得x2+(y1)2=1,所以圓心為(0,1),半徑為r=1,四邊形PACB的面積S= 2sw 所以若四邊形 PACB的最小面積是 2,則Sapbc的最小值為1. 11而SaPBc=2r |PB|,即|PB|的最小值為2,此時|PC|最小，|PC|為圓心到直線kx+y+4=0的距離d,此時 d=vfe = G=V5,即k2= 4,因為k>0,所以k=2.題型9圓中的最值問題解：設P(a H是圓上任意一點.二(丁3) -二 日-3)斗4-父=13-6國V-2<x<2,當后一2時"?八|工二25,則|FA|w5,當 時,| ?川W PA = 1.即圖上的點與A的距離的最大值為5,最小值為1.2一一| PB | ,求d的最2.已知圓 C: