1、行星在橢圓軌道上運(yùn)動的速度和能量【摘要】本文用萬有引力和開普勒定律，結(jié)合橢圓的對稱性，討論了行星沿橢圓軌道運(yùn)動中速度的變化規(guī)律以及行星在運(yùn)動中的能量變化情況。【關(guān)鍵詞】行星運(yùn)動的速度、橢圓軌道、行星、機(jī)械能守恒、動能、引力勢能【正文】一、在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)兩個速度的比較行星經(jīng)過近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)時，運(yùn)動的曲率半徑相同，這是因?yàn)闄E圓具有對稱性。這樣的話,設(shè)這個曲率半徑是 P,對于經(jīng)過近日與遠(yuǎn)日點(diǎn)時分別有：ai2Vi1)9a2二 2由（1） （2）可得:GM2v, _ a12ri2V2a2GM2 二里 一 21即:3)V22另外，在近日點(diǎn)時r,epep1 -ecos二1 e在遠(yuǎn)日點(diǎn)時r2 =epep1

2、-ecos0 1 - e代入（1）式有vL 1 ev21 -e上面的問題也可以按照下面的過程思考:由開普勒第三定律知A 12 .A ri25)已知行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)無徑向速度，故橫向速度等于其合速度，有v =r6將（6）代入（5）有：A 1A =-rv2對于近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)來說，有:(6)riVi =r2V2。稍做變形就可以得到上面的結(jié)果了，從略。二、行星運(yùn)動到一般位置的速度在極坐標(biāo)中為=日8)其中Vr、V1分別表示徑向速度和橫向速度。由橢圓方程r =一ep得:1 一 ecos 二=1 -ecos- r兩邊對時間求導(dǎo)，有：epr-2r=esin ”整理可得:2rr = sin66（9）P行星運(yùn)

3、動的速度為：22v = . vrv=2p2Sin22=r2Lsin2112 - e2sin29 + (1 -ecose 2一 I -，2 22 2e p e p= %e2sin2 6+(1 -ecose 2 ep '匚，;1 2ecos 日 +e2 ep即:r2 ：一210)v1 -2ecos eep這個結(jié)果中只有 日是變量，其它都是常數(shù)，特別是 r2S為常數(shù)。這表明:0 M 8 Mli時，v是增函數(shù)，v隨8的減小而增大；兀£日£2兀時，v是減函數(shù)，v隨日的增大而減小。實(shí)際上，由于r=一epr ,所以上面的結(jié)果也可以用r來說明:1 -ecos10 EH Wn時，v是

4、增函數(shù)，v隨r的減小而增大；n we W2n時，v是減函數(shù)，v隨r的增大而減小。三、行星運(yùn)動過程中的能量由動能的表達(dá)式及(10)式可知:Ek 二m1 -2ecos 二 e2211)卜面我們討論行星運(yùn)動中的掠面速度表達(dá)式 橢圓面積:S =nab (12)其中a、b分別表示橢圓的長軸和短軸，對橢圓方程 r = -pe 來說,1 - ecos-當(dāng) e =0時，r1 =-pe- (13)1 - e二 pe1 e14)如圖1所示，口用紅色的線段來表示，2用綠色的線段來表示。可知:由(13) (14) (15)可得:r2a*1 -e216)b = a22-c=<a2 -(ae 2 = aV1 -e2

5、 ep1 -e217)將（16）(17)式代入（12）式可知:ep1 -e2ep_二二 e218)掠面速度2-e從而有:T 1 - e21-e2將（19）式代入（11）可知:Ek 二m1 -2ecose214二2ep4二2epepT21-e23ml -2ecos e23 7epJ77 JT2ml -2ecos- e2T23上式中最后一個因子 喜出現(xiàn)在開普勒第三定律中，我們知道，它是一個常數(shù)，在這里我們T2用k來表示這個值。有：4二2k ml -2ecosi e2Ek = (20)ep2另外，由“從開普勒定律到牛頓萬有引力定律” 一文知道:2.GM =4二 k代入（20）式有:GMEk =ep九

6、一一2 TLm(1-2ecos6+e )221)卜面求行星運(yùn)動中的引力勢能。我們采用傳統(tǒng)的方法規(guī)定零勢能點(diǎn)，即規(guī)定無窮遠(yuǎn)處勢能為零。有:Ep將r = -ep一 代入上式可得:1 一 ecos?GMm 1 - ecos 口E P = 一(23)epecos由（ 20） （23）兩式可得行星運(yùn)動中的機(jī)械能總量E 二 Ek Ep 二網(wǎng) epm 1 - 2ecos > e2 i. I GMm 1 -(- r 2_ epGMm2ep1 。2ecosie2。2 2ecos?GMm 2 彳 e -1 2ep2GMm 1 - e =-2 epGMm 2a即:2a24)這個結(jié)果說明，對于質(zhì)量相同的行星來說（或者對于質(zhì)量相同的地球的衛(wèi)星來說）<1>行星運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒;<2>軌道半長軸相等的衛(wèi)星的能量相等;<3>半長軸為a的橢圓軌道上的行星能量與半徑為a的圓軌道上運(yùn)動的行星相同。卜圖是半長軸相等的橢圓族，在這些軌道上運(yùn)動的質(zhì)量相等的行星具有相等的能量。6( 145.1=)=1-0.1 608(0)hrQ) =虱 1-Q.32)MM；1-0.3cos(4)60r甲)5(#>- 1-Q.4ccai 8(1-0 5s)峋=11-G5B與網(wǎng)e(i-o.c2)I