1、 第一節第一節 力在坐標軸上的投影力在坐標軸上的投影 第二節第二節 平面匯交力系的合成與平衡平面匯交力系的合成與平衡 第三節第三節 力矩、平面力偶系的合成與平衡力矩、平面力偶系的合成與平衡 第四節第四節 力線的平移定理力線的平移定理 第五節第五節 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化 第六節第六節 平面任意力系的平衡方程及應用平面任意力系的平衡方程及應用 第七節第七節 靜定與靜不定問題及物系的平衡靜定與靜不定問題及物系的平衡第二章第二章 平面力系和平面力偶系平面力系和平面力偶系v本章主要研究平面匯交力系和平面力偶系的合成及本章主要研究平面匯交力系和平面力偶系的合成及其平衡條件。對于平面力系要掌

2、握其平衡條件，掌其平衡條件。對于平面力系要掌握其平衡條件，掌握用幾何法和解析法解決平衡問題。對于平面力偶握用幾何法和解析法解決平衡問題。對于平面力偶系在力線平移定理的基礎上將平面任意力系簡化為系在力線平移定理的基礎上將平面任意力系簡化為一個平面匯交力系和平面力偶系，并能通過平衡條一個平面匯交力系和平面力偶系，并能通過平衡條件解決問題。件解決問題。教學目的和要求教學目的和要求v平面匯交力系的合成和平衡條件；平面匯交力系的合成和平衡條件；v合力矩定理；合力矩定理；v平面力偶系的合成和平衡條件；平面力偶系的合成和平衡條件；v平面任意力系的簡化及其平衡條件。平面任意力系的簡化及其平衡條件。教學重點教學

3、重點v力矩的概念性質及合力矩定量；力矩的概念性質及合力矩定量；v平面力偶系的合成與平衡；平面力偶系的合成與平衡；v力線平移定理；力線平移定理；v平面任意力系的簡化及其平衡條件。平面任意力系的簡化及其平衡條件。教學難點教學難點FFFXxcosFFFYycos2222yxFFYXF研究平面匯交力系的前提是力在坐標軸上的投影研究平面匯交力系的前提是力在坐標軸上的投影 X=Fx=F cos=F sin Y=Fy=F cos = F sin第一節第一節 力在坐標軸上的投影力在坐標軸上的投影XXXXFRx421YYYYYFRy4321YFRyXFRx 合力投影定理：合力投影定理： 合力在任一軸上的投影，等

4、于各分力在同一軸上投影的代數合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數和。和。根據矢量代數知識，矢量在平面直角坐標系下的的解析表達式為：FFRjYiXFjYiXF)()(FR2222YXFFFyRxRRXYFFxRyRtan一、平面匯交力系的合成一、平面匯交力系的合成）（o212221180cos2 FFFFFR)180sin(sin1RFF1 1）兩個共點力的合成）兩個共點力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理：由力的平行四邊形法則合成，也可用力的三角形法則合成。第二節第二節 平面匯交力系的合成與平衡平面匯交力系的合成與平衡1.幾何法幾何法2）任意個共點力的合成）任意個共點力的合成

5、 ( 力多邊形法）力多邊形法）先作力多邊形abcde再將R 平移至 A 點 平面匯交力系的合力等平面匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力于各分力的矢量和，合力的作用線通過各力的匯交的作用線通過各力的匯交點。點。即FRFnRFFFFF321結論：結論：推廣至 n 個力2.解析法解析法利用合力投影定理，有下式求出合力的大小，確定合力的方向。利用合力投影定理，有下式求出合力的大小，確定合力的方向。2222YXFFFyRxRRXYFFxRyRtan二、平面匯交力系平衡的幾何條件二、平面匯交力系平衡的幾何條件在上面幾何法求力系的合力中，合力為零意味著力多邊形自行封閉。所以平面匯交力系平衡的必要與充分的

6、幾何條件是：平面匯交力系平衡的充要條件是：0FRF力多邊形自行封閉或力系中各力的矢量力多邊形自行封閉或力系中各力的矢量和等于零。和等于零。平面匯交力系平衡的充要條件是：0022yRxRRRFFFF00YFXFyRxR注意：對力的方向判定不準的，一般用解析法。利用平衡方程通過解析法解題時，力的方向可以任意假設，如果求出負值，說明力的方向與假設相反。 三、平面匯交力系的平衡方程三、平面匯交力系的平衡方程 例例2-1 如圖所示機構，已知：力P=15kN, 桿件BC=AC=1m，AC與BC相互垂直且鉸接于C。求：在力P的作用下桿件AC與BC所受力的大小。 解法一：幾何法(1)選鉸C為研究對象，進行分析

7、。NFFBCACk61.10（2）畫出力多邊形 ，通過測量得：解法二：平衡方程法（1）選鉸C為研究對象；（2）取分離體畫受力圖，如圖所示；（3）列平衡方程為 0X045cos45cosBCACFF0Y045sin45sinBCACFFP kN 221545sin20PFFBCAC（4）解平衡方程，得第三節第三節 力矩、平面力偶系的合成與平衡力矩、平面力偶系的合成與平衡一、力對點的矩一、力對點的矩1.力矩的概念和性質力矩的概念和性質將力F對點O的矩定義為：力F的大小與從O 點到力F的作用線的垂直距離的乘積，即 FhFMO)(方向用右手法則確定：以使物體作逆時針轉動為正（圖示方向用右手法則確定：以

8、使物體作逆時針轉動為正（圖示為正），作順時針轉動為負，將為正），作順時針轉動為負，將O點到力點到力O的作用線的垂的作用線的垂直距離直距離h稱為力臂。稱為力臂。 v M0（F）是代數量；）是代數量；v隨著力隨著力F和垂直距離和垂直距離h的增大，物體轉動效應明顯；的增大，物體轉動效應明顯；v M0（F）是影響轉動的獨立因素，當）是影響轉動的獨立因素，當F=0或或h=0時，時， M0（F） =0；v M0（F）的國際單位）的國際單位Nm，或者，或者kNm ；v M0（F） =2SAOB=Fh， SAOB為為AOB的面積。的面積。 說明：說明：v(1)力沿力的作用線移動，不改變它對某點的矩；力沿力的作

9、用線移動，不改變它對某點的矩；v(2) 互成平衡的二力對同一點之矩的代數和為零；互成平衡的二力對同一點之矩的代數和為零；v(3)當力的作用線通過矩心，則力矩為零。當力的作用線通過矩心，則力矩為零。 力矩的性質力矩的性質：2、合力矩定理、合力矩定理平面匯交力系的合力對平面內任意一點之矩等于力系平面匯交力系的合力對平面內任意一點之矩等于力系中所有各分力對同一點之矩的代數和，即中所有各分力對同一點之矩的代數和，即niiOOFMFM1)()(3、力矩與合力矩的解析表達式、力矩與合力矩的解析表達式xyxOyOOyFxFyFxFFMFMFMcossin)( 例例2-2 已知：某物體鉸接于點O ，物體上 點

10、作用有力 F和Q ，力 F的作用線垂直于AO，AO與力Q的作用線夾角為，O點到力Q作用線的垂直距離為h ，如圖所示。求：M0（F）和M0（Q） 。 解（1）由力對點之矩定義，得 sin)(hFFMOhQQMO)(（2）應用合力矩定理，得sinctgcossinctg)(hFhFhFhFhFFMyxOhQQMO)(二、力偶二、力偶力偶力偶：兩力大小相等、作用線不重合的反向平行力叫力偶。1、力偶及其性質、力偶及其性質力偶使物體轉動效應一般通過力偶力偶使物體轉動效應一般通過力偶矩來衡矩來衡量，力偶矩的大小為量，力偶矩的大小為Fd，方，方向由右手法則確定，平面力偶矩也向由右手法則確定，平面力偶矩也為代

11、數量，用為代數量，用M（F，F）來）來表示，表示，即即 M（F，F）=2SABCv性質性質1：力偶在任何坐標軸上的投影等于零。：力偶在任何坐標軸上的投影等于零。v性質性質2：力偶不能合成為一個力，或者說力偶沒有合力。：力偶不能合成為一個力，或者說力偶沒有合力。v性質性質3：平面力偶等效定理。：平面力偶等效定理。力偶的性質：力偶的性質：v（1）力偶可以在其作用面內任意移動，而不影響它對剛體）力偶可以在其作用面內任意移動，而不影響它對剛體的作用效應。的作用效應。v（2）只要保持力偶矩大小和轉向不變，可以任意改變力偶）只要保持力偶矩大小和轉向不變，可以任意改變力偶中力的大小和相應力偶臂的長短，而不改

12、變它對剛體的作用中力的大小和相應力偶臂的長短，而不改變它對剛體的作用效應。效應。力偶等效條件力偶等效條件：2.平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡),(),(111111PPMFFM),(),(222222PPMFFM 111dFM 222dFM dPM11dPM22 212121)( MMdPdPdPPdFMA合力矩21PPFAPPFB1其中其中由此可以推出由此可以推出 niinMMMMM121即平面力偶系合成結果還是一個力偶即平面力偶系合成結果還是一個力偶,其力偶矩為各力偶其力偶矩為各力偶矩的代數和。矩的代數和。 平面力偶系平衡的充要條件是：平面力偶系平衡的充要條件是：所有各力偶矩

13、的代數和等于零。所有各力偶矩的代數和等于零。 01niiM 例例2-3 在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時鉆四個等直徑的孔,每個鉆頭的力偶矩為M1 = M2 = M3 = M4=25Nm ，如圖所示。求工件的總切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解：各力偶的合力偶距為 mN100)25(44321MMMMM由力偶只能與力偶平衡的性質，力FA與FB組成一力偶。01niiM02 . 04321MMMMNBN5002 . 0100BNN 500BANN 第四節第四節 力線的平移定理力線的平移定理一、力線平移定理一、力線平移定理o作用在剛體上某點的力，可以平移至剛體上任意一點，作用在剛體上某點的力，可

14、以平移至剛體上任意一點，但同時必須增加一個但同時必須增加一個，該力偶的力偶矩等于原，該力偶的力偶矩等于原力對該點之矩。力對該點之矩。FdFFMM),( FdFMB)(FdFMMB)(v（1）力線平移定理揭示了力與力偶的關系：力等效與）力線平移定理揭示了力與力偶的關系：力等效與 力和力偶的共同作用；力和力偶的共同作用；v（2）力平移的條件是附加一個力偶力平移的條件是附加一個力偶M，且，且M與與d有關，有關，M=Fd；v（3）力線平移定理是力系簡化的理論基礎。）力線平移定理是力系簡化的理論基礎。由證明過程可以歸納出：由證明過程可以歸納出：二、固定端約束二、固定端約束在工程實際中，有很多構件的一部分

15、嵌固于另一物體在工程實際中，有很多構件的一部分嵌固于另一物體上而受到約束作用，這樣的約束稱為固定端約束。上而受到約束作用，這樣的約束稱為固定端約束。 這種約束不但限制物體在約這種約束不但限制物體在約束處沿任意方向的束處沿任意方向的線位移線位移，也限制物體在約束處的也限制物體在約束處的角位角位移移，即物體在，即物體在A端沒有移動端沒有移動和轉動。和轉動。 第五節第五節 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化一、力系向平面內任意一點的簡化一、力系向平面內任意一點的簡化平面任意力系的得簡化主要依據是力線平移定理，簡化平面任意力系的得簡化主要依據是力線平移定理，簡化的實質是將一個平面任意力系分解為一個的

16、實質是將一個平面任意力系分解為一個平面匯交力系平面匯交力系和一個平面力偶系和一個平面力偶系，然后將這兩個力系進行合成，然后將這兩個力系進行合成 。FFFFFR321主矢主矢主矩主矩)()()()(03020103210FMFMFMFMMMML由合力投影定理，將上式寫成解析形式，得由合力投影定理，將上式寫成解析形式，得：2222)()(YXFFFyRxRRXYFFRR1xy1tantan0,0) 1 (ORLF平面力系總可以簡化為一個主矢和一個主矩，平面力系總可以簡化為一個主矢和一個主矩，可能有以下幾種情況：可能有以下幾種情況：0,0)2(ORLF該力系等效一個合力偶該力系等效一個合力偶0,0)

17、3(ORLF該力系等效一個合力該力系等效一個合力0,0)4(ORLF仍然可以繼續簡化為一個合力，方法如下：仍然可以繼續簡化為一個合力，方法如下：RFOMOORFRFORF ORFOdRORRFLdFF,d二、簡化結果分析與合力矩定理二、簡化結果分析與合力矩定理合力矩定理合力矩定理平面任意力系的合力對作用面內任一點平面任意力系的合力對作用面內任一點之矩等于力系中各力對于同一點之矩的代數和。之矩等于力系中各力對于同一點之矩的代數和。 )()(FMFMORO 物體在力系作用下，保持平衡的充分必要條件是物體在力系作用下，保持平衡的充分必要條件是:力系力系的主矢與對任一點的主矩均為零的主矢與對任一點的主

18、矩均為零 ，即：，即： 0,0,0FMYXO上式稱為平衡方程上式稱為平衡方程一矩式一矩式，二矩式二矩式和和三矩式三矩式分別為：分別為： 0000FMFMYXBA或 000FMFMFMCBA條件是：條件是：AB兩點的連線不能兩點的連線不能與與 x 軸或軸或 y 軸垂直軸垂直條件是：條件是：ABC三點不三點不能共線能共線第六節第六節 平面任意力系的平衡方程及應用平面任意力系的平衡方程及應用 例例2-4 如圖所示的體系，已知P=150kN，AC=1.6m，BC=0.9m，CD=CE=1.2m ，AD=2m且AB水平，ED鉛垂，BD垂直于斜面，求FB和A支座反力。 解 (1)以體系整體為研究對象。 (

19、2)畫出受力圖。 (3)選坐標列方程。0sincossin , 0PYXXAA02 . 15 . 2, 0)(PYFMAB5322 .1 cos ;5426 .1 sinADCDADAC而N72 ;N96 :KYKXAA解得(4)再研究 AB桿。 , 0CM由kN160549 . 06 . 1)72(sinBCACYSAB0sinACYCBFAB 例例2-5 簡支梁受力如圖所示，已知：均布荷載q=1kN/m，集中力F=5kN，力偶M=4kNm，求支座反力。 解: (1)以AB梁為研究對象。 (2)畫出受力圖。 (3)選坐標列方程。0)(FMA02458qPMRBkN63. 4BR結果為正值，說

20、明與假設方向一致。結果為正值，說明與假設方向一致。 0Y04 qPRRBAkN37. 4AR由得由得結果為正值，說明與假設方向一致。結果為正值，說明與假設方向一致。 第七節第七節 靜定與靜不定問題及物系的平衡靜定與靜不定問題及物系的平衡一、靜定與靜不定問題一、靜定與靜不定問題靜定問題靜定問題未知力數目等于對應的獨立平衡方程的未知力數目等于對應的獨立平衡方程的數目，因此可以由平衡方程求得所有的未知量，這一數目，因此可以由平衡方程求得所有的未知量，這一類問題我們稱之為靜定問題。類問題我們稱之為靜定問題。 靜不定問題靜不定問題未知力數目多于對應的獨立平衡方程的未知力數目多于對應的獨立平衡方程的數目。

21、靜不定問題的求解必須借助數目。靜不定問題的求解必須借助變形協調方程變形協調方程 。二、物系的平衡二、物系的平衡兩個或兩個以上的物體通過一定的聯結（約束）方兩個或兩個以上的物體通過一定的聯結（約束）方式組合在一起的系統稱為物系或物體系。式組合在一起的系統稱為物系或物體系。物系內部物體之間作用的力稱為物系內部物體之間作用的力稱為內力內力；物體外部作用于整個；物體外部作用于整個物系的力稱為物系的力稱為外力外力。一般情況下，研究物系的受力時不考慮內力，但當研究物系一般情況下，研究物系的受力時不考慮內力，但當研究物系中個別物體時必須考慮內力。中個別物體時必須考慮內力。當物系處于平衡狀態時，物系內的每個物體也處于平衡狀態，當物系處于平衡狀態時，物系內的每個物體也處于平衡狀態，因此在研究物系平衡時，選取研究對象，既可以選個別物體，因此在研究物系平衡時，選取研究對象，既可以選個別物體，也可以選幾個物體的組合甚至整個物系也可以選幾個物體的組合甚至整個物系 。 例例2-6 多跨靜定梁受力如圖所示，求支座多跨靜定梁受力如圖所示，求支座A、B、C