1、.2016年5月北京市懷柔區(qū)高三數(shù)學(xué)查漏補(bǔ)缺試題 一、三角1 已知函數(shù)f (x)=sinxcosx2cos2x +1.() 求f ()；() 求函數(shù)f (x)圖象的對(duì)稱軸方程.解： ()因?yàn)閒 (x) sin2xcos2x 2sin(2x) , 所以f () 2sin. (7分)() 令2x= k(kZ), 得x=,所以函數(shù)f (x)圖象的對(duì)稱軸方程是x=(kZ). (14分)2已知函數(shù)fx=cosx.cos(x-3)()求的值;()求使 成立的x的取值集合解: (1) . (2)由(1)知, 3在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c. 設(shè)，.（）若，求的值；（）求的值.（）解：因?yàn)?，

2、由正弦定理 ， 得 . 3分 由余弦定理 及， 5分 得 ， 所以 ， 解得 . 7分（）解：由，得. 所以 . 8分 即， 11分 所以， 所以. 13分4已知函數(shù).(1)求的定義域；(2)設(shè)是第二象限的角，且tan=，求的值. 二、數(shù)列1.在等比數(shù)列中，已知，.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)是等差數(shù)列，且，求數(shù)列的公差，并計(jì)算的值.解：（）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知， 2分兩式相除，得. 4分所以， 6分所以數(shù)列的通項(xiàng)公式. 7分（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則， 9分解得， 11分 12分. 13分2數(shù)列對(duì)任意 ，滿足， .（）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（）若，求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和解：（）由已知得數(shù)列是等

3、差數(shù)列，且公差又，得，所以-6分（）由（）得，所以-14分三、概率統(tǒng)計(jì)1育新中學(xué)的高二、一班男同學(xué)有名，女同學(xué)有名，老師按照分層抽樣的方法組建了一個(gè)人的課外興趣小組 （）求某同學(xué)被抽到的概率及課外興趣小組中男、女同學(xué)的人數(shù)； （）經(jīng)過(guò)一個(gè)月的學(xué)習(xí)、討論，這個(gè)興趣小組決定選出兩名同學(xué)做某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，方法是先從小組里選出名同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，該同學(xué)做完后，再?gòu)男〗M內(nèi)剩下的同學(xué)中選一名同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，求選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率； （）試驗(yàn)結(jié)束后，第一次做試驗(yàn)的同學(xué)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為，第二次做試驗(yàn)的同學(xué)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為，請(qǐng)問(wèn)哪位同學(xué)的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定？并說(shuō)明理由. 解：（）某同學(xué)被抽到的概率為2分設(shè)有名男同學(xué)，則

4、，男、女同學(xué)的人數(shù)分別為4分 （）把名男同學(xué)和名女同學(xué)記為，則選取兩名同學(xué)的基本事件有共種，其中有一名女同學(xué)的有種選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率為8分 （），第二同學(xué)的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定12分2 一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè)，要么不出現(xiàn)音樂(lè)；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得20分，出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得100分，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則扣除200分(即獲得200分)設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是多少？(3)玩過(guò)這款游戲的許多人都發(fā)

5、現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而減少了請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因解：(1)X可能的取值為10，20，100，200.根據(jù)題意，有P(X10)C××，P(X20)C××，P(X100)C××，P(X200)C××.所以X的分布列為：X1020100200P(2)設(shè)“第i盤游戲沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)”為事件Ai(i1，2，3)，則P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)”的概率為1P(A1A2A3)11.因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是.(3)

6、由(1)知，X的數(shù)學(xué)期望為EX10×20×100×200×.這表明，獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù)因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大四、立體幾何1如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，點(diǎn)是對(duì)角線與的交點(diǎn)，是的中點(diǎn)()求證： 平面；()平面平面；()當(dāng)三棱錐的體積等于時(shí)，求的長(zhǎng)證明：（）因?yàn)樵谥校謩e是，的中點(diǎn)，所以 又平面，平面，所以平面 5分()因?yàn)榈酌媸橇庑危砸驗(yàn)槠矫妫矫妫杂郑云矫嬗制矫妫云矫嫫矫?10分（）因?yàn)榈酌媸橇庑危遥?所以又，三棱錐的高為，所以，解得 14分2. 已知在ABC中，B=90o，D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)，將CD

7、E沿DE翻折后，使之成為四棱錐（如圖）.（）求證：DE平面；（）設(shè)平面平面，求證：ABl；（）若，F(xiàn)為棱上一點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，三棱錐的體積是1？證明：（）B=90o，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)DEAB 1分， 3分又 4分DE平面 5分（）DEAB，面， 面，AB面， 7分又AB面，面面 9分 AB 10分（），平面BDE 11分又因?yàn)锽D=3，AB=2， 13分解得 14分3如圖，三角形和梯形所在的平面互相垂直， ，是線段上一點(diǎn)，.（）當(dāng)時(shí)，求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）是否存在點(diǎn)滿足平面？并說(shuō)明理由.解：（）取中點(diǎn)，連接，又，所以.因?yàn)椋?四邊形是平行四邊形，所以因?yàn)槠矫妫?/p>

8、平面所以平面.（）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?， 且，所以平面，所以，因?yàn)椋云矫?如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則，是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量，則，即令，則，所以, 所以，由題知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.（）因?yàn)椋耘c不垂直,所以不存在點(diǎn)滿足平面.4正ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直二面角ADCB（如圖（2）在圖形（2）中： （）試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； （）求二面角EDFC的余弦值； （）在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使APDE？證明你的結(jié)論.解：法一：（I）如圖：在ABC中，由E

9、、F分別是AC、BC中點(diǎn)，得EF/AB，又AB平面DEF，EF平面DEF.AB平面DEF.3分 （II）ADCD，BDCDADB是二面角ACDB的平面角4分ADBD AD平面BCD取CD的中點(diǎn)M，這時(shí)EMAD EM平面BCD過(guò)M作MNDF于點(diǎn)N，連結(jié)EN，則ENDFMNE是二面角EDFC的平面角6分在RtEMN中，EM=1，MN=tanMNE=，cosMNE=8分（）在線段BC上存在點(diǎn)P，使APDE9分證明如下：在線段BC上取點(diǎn)P。使，過(guò)P作PQCD與點(diǎn)Q，PQ平面ACD10分在等邊ADE中，DAQ=30°AQDEAPDE12分法二：（）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DB、DC為x軸、y軸，

10、建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，4分平面CDF的法向量為設(shè)平面EDF的法向量為則即6分所以二面角EDFC的余弦值為8分（）在平面坐標(biāo)系xDy中，直線BC的方程為設(shè)10分所以在線段BC上存在點(diǎn)P，使APDE12分另解：設(shè)又把所以在線段BC上存在點(diǎn)P使APDE12分五、導(dǎo)數(shù)1. 已知曲線.（）求函數(shù)在處的切線；（）當(dāng)時(shí)，求曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（）若，求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增.解：（），因?yàn)椋裕院瘮?shù)在處的切線為.（）當(dāng)時(shí)， 曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程的解的個(gè)數(shù)相同， 顯然是該方程的一個(gè)解. 令，則 由得 因?yàn)闀r(shí)，時(shí) 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 所以最小值為，

11、 因?yàn)椋裕?因?yàn)椋缘牧泓c(diǎn)一個(gè)是0，一個(gè)大于，所以兩曲線有兩個(gè)交點(diǎn).（） 因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，所以所以所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.2設(shè)函數(shù)，.（）當(dāng)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求的極小值；（）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍解：（）的定義域?yàn)椋?dāng)ae時(shí)，f(x)ln x，則f(x)，當(dāng)x(0，e)時(shí)，f(x)<0，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(e，)時(shí)，f(x)>0，f(x)在(e，)上單調(diào)遞增xe時(shí)，f(x)取得極小值f(e)ln e2，f(x)的極小值為2. -5分（）由題設(shè)g(x)f(x)(x>0)，令g(x)0，得ax3x(x>0)，設(shè)(x

12、)x3x(x0)，則(x)x21(x1)(x1)，當(dāng)x(0，1)時(shí)，(x)>0，(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，)時(shí)，(x)<0，(x)在(1，)上單調(diào)遞減x1是(x)的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此x1也是(x)的最大值點(diǎn)，(x)的最大值為(1).又(0)0，結(jié)合y(x)的圖像(如圖所示)，可知當(dāng)a >時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<a<時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)（x>0）綜上所述，當(dāng)a>時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a或a0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<

13、a<時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)-10分（）對(duì)任意的，恒成立，等價(jià)于恒成立(*)設(shè)h(x)f(x)xln xx(x>0)，(*)等價(jià)于h(x)在(0，)上單調(diào)遞減由h(x)10在(0，)上恒成立，得ax2x(x>0)恒成立，a （對(duì)，h(x)=0僅在 時(shí)成立），-14分a的取值范圍是.3已知函數(shù)。直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線相切。（1）求切線的方程。（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值。（3）設(shè)，若函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，求證。4知函數(shù),其中是實(shí)數(shù).設(shè),為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),且.()指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直,且,證明:;()若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線重合,求

14、的取值范圍.解:()函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為, ()由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,點(diǎn)A處的切線斜率為,點(diǎn)B處的切線斜率為, 故當(dāng)點(diǎn)處的切線互相垂直時(shí),有, 當(dāng)x<0時(shí), 因?yàn)?所以 ,所以, 因此, (當(dāng)且僅當(dāng),即且時(shí)等號(hào)成立) 所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直時(shí)有. ()當(dāng)或時(shí),故. 當(dāng)時(shí),的圖象在點(diǎn)處的切線方程為 即 . 當(dāng)時(shí),的圖象在點(diǎn)處的切線方程為 即 . 兩切線重合的充要條件是, 由及知, 由、得 , 令,則,且 設(shè),則 所以為減函數(shù),則, 所以, 而當(dāng)且t趨向于0時(shí),無(wú)限增大, 所以的取值范圍是. 故當(dāng)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線重合時(shí),的取值范圍是. 六、解析幾何1已知橢圓的焦距

15、為4,且過(guò)點(diǎn).()求橢圓C的方程;()設(shè)為橢圓上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,垂足為.取點(diǎn),連接,過(guò)點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn).點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),作直線,問(wèn)這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)?并說(shuō)明理由解: (1)因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn) 且 橢圓C的方程是 (2) 由題意,各點(diǎn)的坐標(biāo)如上圖所示, 則的直線方程: 化簡(jiǎn)得 又, 所以帶入 求得最后 所以直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn). 2已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好在拋物線x2=8y的準(zhǔn)線上（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)P（2，），Q（2，）在橢圓上，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足APQ=BPQ，

16、試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ab0），橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)恰好在拋物線x2=8y的準(zhǔn)線y=2上，b=2，解得b=2又，a2=b2+c2，a=4，可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），APQ=BPQ，則PA，PB的斜率互為相互數(shù)，可設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為k，直線PA的方程為： =k（x2），聯(lián)立，化為+416=0，x1+2=，同理可得：x2+2=，x1+x2=，x1x2=，kAB=直線AB的斜率為定值3. 已知橢圓，直線不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，與C有兩個(gè)交點(diǎn)、，線段的中點(diǎn)為()證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值

17、；()若過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形?若能，求此時(shí)的斜率；若不能，說(shuō)明理由解：()設(shè)直線將 于是直線OM的斜率-9所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值. ()四邊形OAPB能為平行四邊形.因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn),所以不過(guò)原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是.由()得OM的方程為.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為, 與聯(lián)立解得即 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入的方程得,因此8分四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分,即xP=2xM.于是 解得因?yàn)?所以當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí),四邊形OAPB為平行四邊形.4已知橢圓C：+（ab0）的離心率為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線xy+=0相切（

18、）求橢圓C的方程；（）過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)B作兩條互相垂直的直線l1，l2，且分別交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，探究直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則說(shuō)明理由解：（I），a2=2c2=b2+c2，a2=2b2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線xy+=0相切，=b，b=1a2=2橢圓C的方程為：（II）由題意可知：直線l1，l2的斜率都存在，設(shè)直線l1：y=k（x1），直線l2：，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立，化為（x1）（2+k2）x（k22）=0，解得x1=，y1=，把k換成，可得x2=，kMN=，直線MN的方程為：，化為，直線MN過(guò)定點(diǎn)當(dāng)k=±1時(shí)，M，N，此時(shí)直線MN也過(guò)定點(diǎn)綜上可得：直線MN必過(guò)定點(diǎn)5 已知橢圓C：1(a>b>0)的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x3上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.證明：OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))；當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)解：(1)由已知可得解得a26，b22，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)證明：由(1)可得，F(xiàn)的坐標(biāo)是(2，0)，設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，m)，則直線TF的斜率kT