1、1.5 1.5 定積分的概念定積分的概念 1.曲邊梯形曲邊梯形：在直角坐標系中，由連續(xù)曲線在直角坐標系中，由連續(xù)曲線y=f(x)，直線，直線x=a、x=b及及x x軸所圍成的圖形叫做曲邊軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積x=ax=b 因此，我們可以用這條直線因此，我們可以用這條直線L來代替點來代替點P附附近的曲線，也就是說：在點近的曲線，也就是說：在點P附近，曲線可以看附近，曲線可以看作直線（即在很小范圍內以直代曲）作直線（即在很小范圍內以直代曲）P放大放大再放大再放大PP y = f(x)bax yO A1A A1.

2、用一個矩形的面積用一個矩形的面積A A1 1近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A A，得得A A1+ A2用兩個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A，得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個小曲邊梯形，并用小矩個小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，陣形的面積代替小曲邊梯形的面積， 于是曲邊于是曲邊梯形的面積梯形的面積A A近似為近似為A1AiAn

3、 以直代曲以直代曲, ,無限逼近無限逼近 （1 1）分割）分割把區(qū)間把區(qū)間0，1等分成等分成n個小區(qū)間：個小區(qū)間：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每個區(qū)間的長度為過各區(qū)間端點作過各區(qū)間端點作x軸的垂線，從而得到軸的垂線，從而得到n個小曲個小曲邊梯形，他們的面積分別記作邊梯形，他們的面積分別記作.S,S,S,Sni21 n1n2nknnxOy2xy 例例1.求拋物線求拋物線y=x2、直線直線x=1和和x軸所圍成的軸所圍成的曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積。（2 2） 以直代曲以直代曲n1)n1i(x)n1i(fS2i（3 3）作和）作和) 1n(210n1

4、 n1)n1- i(n1)n1- if( SSSSS22223n1i2n1in1iin21 （4 4）逼近）逼近。面積為，即所求曲邊三角形的所以時，亦即當分割無限變細，即3131S31)n12)(n11 (61) 12n(n) 1n(61n1) 1n(210n1)n(0 x322223 小結小結: :求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y f(x)對應的對應的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法（1 1）分割分割 （2 2）求面積的和求面積的和 （3 3）取極限取極限 n 利利用用導導數數我我們們解解決決了了“已已知知物物體體運運動動路路程程與與時時間間的的關關系系，求求物物體體運運動動速速度度”的的問問

5、題題反反之之，如如果果已已知知物物體體的的速速度度與與時時間間的的關關系系，如如何何求求其其在在一一定定時時間間內內經經過過的的路路程程呢呢？ 引入引入二、汽車行駛的路程二、汽車行駛的路程思考：思考：結合求曲邊梯形面積的過程，你認結合求曲邊梯形面積的過程，你認為汽車行駛的路程為汽車行駛的路程S 與與由直線由直線0,1,0ttv和曲線和曲線22vt 所圍成的曲邊梯形的面積有什所圍成的曲邊梯形的面積有什么關系？么關系？ 思考思考一般地，如果物體做變速直線運動，速度函一般地，如果物體做變速直線運動，速度函數為數為 vv t， 那么我們也可以采用分割、 近似代， 那么我們也可以采用分割、 近似代替、求

6、和、取極限的方法，利用“以不變代變”替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在的方法及無限逼近的思想，求出它在a atb b內內所作的位移所作的位移S 結論結論 練習練習2,bbnn，1,nbbn上所作的功上所作的功分別記作：分別記作：1W，2W，nW 2)(xxfnini,1C1、當、當n很大時，函數很大時，函數 在區(qū)間在區(qū)間 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.)1(nf)2(nf)(nif 0f1,iixx2、在、在“近似代替近似代替”中，函數中，函數f(x)在區(qū)間在區(qū)間 上的上的近似值等于（近似值等于（ ）A.只能是左

7、端點的函數值只能是左端點的函數值B.只能是右端點的函數值只能是右端點的函數值 C.可以是該區(qū)間內任一點的函數值可以是該區(qū)間內任一點的函數值D.以上答案均不正確以上答案均不正確)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxfC精選ppt定積分的定義定積分的定義:一般地一般地,設函數設函數f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上有定義上有定義,將區(qū)間將區(qū)間a,b等分成等分成n個小區(qū)間個小區(qū)間,每個小區(qū)的長度每個小區(qū)的長度為為 ,在每個小區(qū)間上取一點在每個小區(qū)間上取一點,依次為依次為x1,x2,.xi,.xn,作和作和如果如果 無限趨近于無限趨近于0時時,Sn無限趨近于無限趨近于常數常數S,那么稱那么稱常數常數S

8、為函數為函數f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的定積分上的定積分,記作記作: .)(nabxxx)f(xx)f(xx)x(fSn21n baSf(x)dxf(x)dxx精選ppt積積分分下下限限積積分分上上限限badxxf)(被積函數被積函數積積分分變變量量精選ppt注注 ：定積分數值只與被積函數及積分定積分數值只與被積函數及積分區(qū)間區(qū)間 a, b 有關有關, 與積分變量記號無關與積分變量記號無關bababaduufdttfdxxf)()()(精選ppt曲線曲線 y = f (x) 0，直線，直線 x = a， x = b， y = 0 所所圍成的曲邊梯形面積可用定積分表示為圍成的曲邊梯形面積可用定

9、積分表示為badxxfS)(變力作功問題可表示為變力作功問題可表示為badxxFW)(精選ppt1.由曲線由曲線y=x2+1與直線與直線x=1,x=3及及x軸所圍成的曲邊梯形的面積軸所圍成的曲邊梯形的面積,用定積分用定積分表示為表示為_.223sin tdt2. 中中,積分上限是積分上限是_,積積分下限是分下限是_,積分區(qū)間是積分區(qū)間是_舉例 dxx) 1(2312-2-2,23.定積分定積分 =_.211)dx1)dx(x(x25. ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4 4d dx x4 4. .定定積積分分3 31 18精選ppt思考思考: 函數在區(qū)間函數在區(qū)間a,b上的定積上的

10、定積分分 能否為能否為負負的的?定積分._121)dx1)dx(x(x 定積分 =_.211)dx1)dx(x(x精選ppt 三三 .定積分的幾何意義定積分的幾何意義.當當 f (x) 0，定積分，定積分 badxxf)(的幾何意義就是的幾何意義就是bAoxyay=f (x)S 曲線曲線 y = f (x)直線直線 x = a， x = b， y = 0 所所圍成的曲邊梯形的面積圍成的曲邊梯形的面積b ba aS Sf(x)dxf(x)dx: :即即精選ppt當函數當函數 f (x) 0 ， x a, b 時時 定積分定積分 幾何意義幾何意義badxxf)(Sdxxfba)(即即就是位于就是位

11、于 x 軸下方的曲邊軸下方的曲邊梯形面積的相反數梯形面積的相反數. oyaby=f (x)S精選ppt當函數當函數 f (x)在在 x a, b 有正有負時有正有負時, 定定積分積分 幾何意義幾何意義badxxf)(3 32 21 1b ba aS SS SS Sf f( (x x) )d dx x即即就是圖中幾個曲邊圖形面積的就是圖中幾個曲邊圖形面積的代數和代數和,(x軸軸上方面積取正號上方面積取正號,x軸下方面積取負號軸下方面積取負號) OXS2S1yS3精選ppt 1求下列定積分求下列定積分: (1) 504)dx4)dx(2x(2xdxx1121)3(例題分析例題分析: 20s si in nx xd dx x (2)求定積分，只要求定積分，只要理解被積函數和理解被積函數和定積分的意義，定積分的意義，并作出圖形，即并作出圖形，即可解決可解決。精選ppt用定積分表示下列陰影部分面積用定積分表示下列陰影部分面積 S=_;S=_;S=_;y=sinxXOyXOy5-1y=x