1、全優中高考網-第八講：一元二次方程及應用【基礎知識回顧】一元二次方程的定義： 1、一元二次方程：含有 個未知數，并且未知數最 方程 2、一元二次方程的一般形式： 其中二次項是 一次項是 ， 是常數項【名師提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特別注意強調ao這一條件2、將一元二次方程化為一般形式時要按二次項、一次項、常數項排列，并一般首項為正】二、一元二次方程的常用解法： 1、直接開平方法：如果aX 2 =b 則X 2 = X1= X2= 2、配方法：解法步驟：1、化二次項系數為 即方程兩邊都 二次項系數 2、移項：把 項移到方程的 邊 3、配方：方程兩邊都加上 把左邊配成完全平方的形式 4、解

2、方程：若方程右邊是非負數，則可用直接開平方法解方程 3、公式法：如果方程aX 2 +bx+c=0(a±0) 滿足b 2-4ac0，則方程的求根公式為 4、因式分解法：一元二次方程化為一般形式式，如果左邊分解因式，即產生A.B=0的形式，則可將原方程化為兩個 方程，即 從而方程的兩根【名師提醒：一元二次方程的四種解法應根據方程的特點靈活選用，較常用到的是 法和 法】三、一元二次方程根的判別式 關于X的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a±0)根的情況由 決定，我們把它叫做一元二次方程根的判別式，一般用符號 表示方程有兩個實數跟，則 當 時，方程有兩個不等的實數根當 時，方

3、程看兩個相等的實數根當 時，方程沒有實數根【名師提醒：在使用根的判別式解決問題時，如果二次項系數中含有字母一定要保證二次項系數 】一元二次方程根與系數的關系： 關于X的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a±0)有兩個根分別為X1X2則X1+X2 = X2 = 一元二次方程的應用：解法步驟同一元一次方程一樣，仍按照審、設、列、解、驗、答六步進行常見題型增長率問題：連續兩率增長或降低的百分數Xa（1+X）2=b利潤問題：總利潤= X 或利潤 幾個圖形的面積、體積問題：按面積的計算公式列方程【名師提醒：因為通常情況下一元二次方程有兩個根，所以解一元二次方程的應用題一定要驗根，檢驗結果是

4、否符合實際問題或是否滿足題目中隱含的條件】【重點考點例析】 考點一：一元二次方程的有關概念（意義、一般形式、根的概念等）例1 （2012蘭州）下列方程中是關于x的一元二次方程的是（）Ax2+=0 Bax2+bx+c=0C（x-1）（x+2）=1 D3x2-2xy-5y2=0思路分析：一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案解：A、原方程為分式方程；故本選項錯誤；B、當a=0時，即ax2+bx+c=0的二次項系數是0時，該方程就不是一元二次方程；故本選項錯誤；

5、C、由原方程，得x2+x-3=0，符合一元二次方程的要求；故本選項正確；D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有兩個未知數；故本選項錯誤故選C點評：本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數且未知數的最高次數是2對應訓練1（2012惠山區）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一個根為0，則a= 11解：一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一個根為0，a+10且a2-1=0，a=1故答案為1點評：本題考查了一元二次方程的定義：含一個未知數，并且未知數的最高次數為2的整式方程叫一元二次方程，其一般

6、式為ax2+bx+c=0（a0）也考查了一元二次方程的解的定義 考點二：一元二次方程的解法例2 （2012安徽）解方程：x2-2x=2x+1思路分析：先移項，把2x移到等號的左邊，再合并同類項，最后配方，方程的左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方，左邊就是完全平方式，右邊就是常數，然后利用平方根的定義即可求解解：x2-2x=2x+1，x2-4x=1，x2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，x-2=±，x1=2+，x2=2-點評：此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方；（4

7、）選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數例3 （2012黔西南州）三角形的兩邊長分別為2和6，第三邊是方程x2-10x+21=0的解，則第三邊的長為（）A7 B3 C7或3 D無法確定思路分析：將已知的方程x2-10x+21=0左邊分解因式，利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解為3或7，利用三角形的兩邊之和大于第三邊進行判斷，得到滿足題意的第三邊的長解：x2-10x+21=0，因式分解得：（x-3）（x-7）=0，解得：x1=3，x2=7，三角形的第三邊是x2-10x+21=0的解，三角形的

8、第三邊為3或7，當三角形第三邊為3時，2+36，不能構成三角形，舍去；當三角形第三邊為7時，三角形三邊分別為2，6，7，能構成三角形，則第三邊的長為7故選A點評：此題考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的邊角關系，利用因式分解法解方程時，首先將方程右邊化為0，左邊分解因式，然后利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化兩個一次方程來求解對應訓練2（2012臺灣）若一元二次方程式x2-2x-3599=0的兩根為a、b，且ab，則2a-b之值為何？（）A-57 B63 C179 D1812D2解：x2-2x-3599=0，移項得：x2-2x=3599，x2-2x+1=3599+1

9、，即（x-1）2=3600，x-1=60，x-1=-60，解得：x=61，x=-59，一元二次方程式x2-2x-3599=0的兩根為a、b，且ab，a=61，b=-59，2a-b=2×61-（-59）=181，故選D3（2012南充）方程x（x-2）+x-2=0的解是（）A2 B-2，1 C-1 D2，-13D 考點三：根的判別式的運用例3 （2012襄陽）如果關于x的一元二次方程kx2-x+1=0有兩個不相等的實數根，那么k的取值范圍是（）Ak Bk且k0 C-k D-k且k0思路分析：根據方程有兩個不相等的實數根，則0，由此建立關于k的不等式，然后就可以求出k的取值范圍解：由題意

10、知：2k+10，k0，=2k+1-4k0，-k且k0故選D點評：此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的判別式=b2-4ac一元二次方程根的情況與判別式的關系為：（1）0方程有兩個不相等的實數根；（2）=0方程有兩個相等的實數根；（3）0方程沒有實數根例4 （2012綿陽）已知關于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數根；（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長思路分析：（1）根據關于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判別式的符號來證明結論；（2）根據一元二次方程的解的定義求得m值

11、，然后由根與系數的關系求得方程的另一根分類討論：當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為：；當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；再根據三角形的周長公式進行計算解：（1）證明：=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，在實數范圍內，m無論取何值，（m-2）2+44，即4，關于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有兩個不相等的實數根；（2）根據題意，得12-1×（m+2）+（2m-1）=0，解得，m=2，則方程的另一根為：3；當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為：；該直角三角形的

12、周長為1+3+=4+；當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為2；則該直角三角形的周長為1+3+2=4+2點評：本題綜合考查了勾股定理、根的判別式、一元二次方程解的定義解答（2）時，采用了“分類討論”的數學思想對應訓練3（2012桂林）關于x的方程x2-2x+k=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（）Ak1 Bk1 Ck-1 Dk-13A4（2012珠海）已知關于x的一元二次方程x2+2x+m=0（1）當m=3時，判斷方程的根的情況；（2）當m=-3時，求方程的根4解：（1）當m=3時，=b2-4ac=22-4×3=-80，原方程無實數

13、根；（2）當m=-3時，原方程變為x2+2x-3=0，（x-1）（x+3）=0，x-1=0，x+3=0，x1=1，x2=-3考點四：一元二次方程的應用例5 （2012南京）某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內，每部汽車的進價與銷售量有如下關系：若當月僅售出1部汽車，則該部汽車的進價為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進價均降低0.1萬元/部，月底廠家根據銷售量一次性返利給銷售公司，銷售量在10部以內（含10部），每部返利0.5萬元；銷售量在10部以上，每部返利1萬元（1）若該公司當月售出3部汽車，則每部汽車的進價為 萬元；（2）如果汽車的售價為28萬元/部，該公司計劃當月返

14、利12萬元，那么需要售出多少部汽車？（盈利=銷售利潤+返利）思路分析：（1）根據若當月僅售出1部汽車，則該部汽車的進價為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進價均降低0.1萬元/部，得出該公司當月售出3部汽車時，則每部汽車的進價為：27-0.1×2，即可得出答案；（2）利用設需要售出x部汽車，由題意可知，每部汽車的銷售利潤，根據當0x10，以及當x10時，分別討論得出即可解：（1）若當月僅售出1部汽車，則該部汽車的進價為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進價均降低0.1萬元/部，若該公司當月售出3部汽車，則每部汽車的進價為：27-0.1×2=26.8，故答案為：2

15、6.8；（2）設需要售出x部汽車，由題意可知，每部汽車的銷售利潤為：28-27-0.1（x-1）=（0.1x+0.9）（萬元），當0x10，根據題意，得x（0.1x+0.9）+0.5x=12，整理，得x2+14x-120=0，解這個方程，得x1=-20（不合題意，舍去），x2=6，當x10時，根據題意，得x（0.1x+0.9）+x=12，整理，得x2+19x-120=0，解這個方程，得x1=-24（不合題意，舍去），x2=5，因為510，所以x2=5舍去，答：需要售出6部汽車點評：本題考查了一元二次方程的應用解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系并進行分段討論是解題

16、關鍵對應訓練5（2012樂山）菜農李偉種植的某蔬菜計劃以每千克5元的單價對外批發銷售，由于部分菜農盲目擴大種植，造成該蔬菜滯銷李偉為了加快銷售，減少損失，對價格經過兩次下調后，以每千克3.2元的單價對外批發銷售（1）求平均每次下調的百分率；（2）小華準備到李偉處購買5噸該蔬菜，因數量多，李偉決定再給予兩種優惠方案以供選擇：方案一：打九折銷售；方案二：不打折，每噸優惠現金200元試問小華選擇哪種方案更優惠，請說明理由5解  （1）設平均每次下調的百分率為x由題意，得5（1-x）2=3.2解這個方程，得x1=0.2，x2=1.8因為降價的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符

17、合題意，符合題目要求的是x1=0.2=20%答：平均每次下調的百分率是20%（2）小華選擇方案一購買更優惠理由：方案一所需費用為：3.2×0.9×5000=14400（元），方案二所需費用為：3.2×5000-200×5=15000（元）1440015000，小華選擇方案一購買更優惠【聚焦山東中考】一、選擇題1（2012日照）已知關于x的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（）Ak且k2 Bk且k2 Ck且k2 Dk且k21C1解：方程為一元二次方程，k-20，即k2，方程有兩個不相等的實數根，0，（

18、2k+1）2-4（k-2）20，（2k+1-2k+4）（2k+1+2k-4）0，5（4k-3）0，k，故k且k2故選C3（2012濰坊）如圖是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出3×3個位置相鄰的9個數（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）若圈出的9個數中，最大數與最小數的積為192，則這9個數的和為（）A32 B126 C135 D1443D3解：根據圖象可以得出，圈出的9個數，最大數與最小數的差為16，設最小數為：x，則最大數為x+16，根據題意得出：x（x+16）=192，解得：x1=8，x2=-24，（不合題意舍去），故最小的三個數為：8，9，10，下面

19、一行的數字分別比上面三個數大7，即為：15，16，17，第3行三個數，比上一行三個數分別大7，即為：22，23，24，故這9個數的和為：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144故選：D5（2012日照）已知關于x的一元二次方程（k2）2x2+（2k+1）x+1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（）Ak且k2Bk且k2Ck且k2Dk且k2考點：根的判別式；一元二次方程的定義。810360 專題：計算題。分析：根據方程有兩個不相等的實數根，可知0，據此列出關于k的不等式，解答即可解答：解：方程為一元二次方程，k20，即k2，方程有兩個不相等的實數根，0，（2k+1）24（k

20、2）20，（2k+12k+4）（2k+1+2k4）0，5（4k3）0，k，故k且k2故選C點評：本題考查了根的判別式和一元二次方程的定義，根據一元二次方程的定義判斷出二次項系數不為0是解題的關鍵6（2012煙臺）下列一元二次方程兩實數根和為4的是（）Ax2+2x4=0Bx24x+4=0Cx2+4x+10=0Dx2+4x5=0考點：根與系數的關系。810360 專題：計算題。分析：找出四個選項中二次項系數a，一次項系數b及常數項c，計算出b24ac的值，當b24ac大于等于0時，設方程的兩個根為x1，x2，利用根與系數的關系x1+x2=求出各項中方程的兩個之和，即可得到正確的選項解答：解：A、x

21、2+2x4=0，a=1，b=2，c=4，b24ac=4+16=200，設方程的兩個根為x1，x2，x1+x2=2，本選項不合題意；B、x24x+4=0，a=1，b=4，c=4，b24ac=1616=0，設方程的兩個根為x1，x2，x1+x2=4，本選項不合題意；C、x2+4x+10=0，a=1，b=4，c=10，b24ac=1640=280，即原方程無解，本選項不合題意；D、x2+4x5=0，a=1，b=4，c=5，b24ac=16+20=360，設方程的兩個根為x1，x2，x1+x2=4，本選項符號題意，故選D點評：此題考查了一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0

22、），當b24ac0時，方程有解，設方程的兩個解分別為x1，x2，則有x1+x2=，x1x2=二、填空題7（2012聊城）一元二次方程x2-2x=0的解是 7x1=0，x2=28（2012青島）如圖，在一塊長為22米、寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米若設道路寬為x米，則根據題意可列出方程為 8（22-x）（17-x）=3009（2012德州）若關于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有實數解，那么實數a的取值范圍是 9a-1解：當a=0時，方程是一元一次方程，有實數根，當a0時，方程是一元二次方

23、程，若關于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有實數解，則=2（a+2）2-4aa0，解得：a-1故答案為：a-110（2012萊蕪）為落實“兩免一補”政策，某市2011年投入教育經費2500萬元，預計2013年要投入教育經費3600萬元已知2011年至2013年的教育經費投入以相同的百分率逐年增長，則2012年該市要投入的教育經費為 萬元考點：一元二次方程的應用。810360 專題：增長率問題。分析：一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），2012年要投入教育經費是2500（1+x）萬元，在2012年的基礎上再增長x，就是2013年的教育經費數額，即可列出方程求解解答：解：

24、根據題意2012年為2500（1+x），2013年為2500（1+x）（1+x）則2500（1+x）（1+x）=3600，解得x=0.2或x=2.2（不合題意舍去）故這兩年投入教育經費的平均增長率為20%，2012年該市要投入的教育經費為：2500（1+20%）=3000萬元故答案為：3000點評：本題考查了一元二次方程中增長率的知識增長前的量×（1+年平均增長率）年數=增長后的量11（2012棗莊）已知關于x的方程x2+mx6=0的一個根為2，則這個方程的另一個根是 考點：根與系數的關系。810360 專題：計算題。分析：設方程的另一根為a，由一個根為2，利用根與系數的關系求出兩根

25、之積，列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，即為方程的另一根解答：解：方程x2+mx6=0的一個根為2，設另一個為a，2a=6，解得：a=3，則方程的另一根是3故答案為：3點評：此題考查了一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），當b24ac0時方程有解，此時設方程的解為x1，x2，則有x1+x2=，x1x2=12（2012威海）若關于x的方程x2+（a1）x+a2=0的兩根互為倒數，則a= 考點：根與系數的關系。810360 專題：計算題。分析：設方程的兩根分別為m與n，由m與n互為倒數得到mn=1，再由方程有解，得到根的判別式大于等于0，列出關于a的不等式，

26、求出不等式的解集得到a的范圍，然后利用根與系數的關系表示出兩根之積，可得出關于a的方程，求出方程的解得到a的值即可解答：解：設已知方程的兩根分別為m，n，由題意得：m與n互為倒數，即mn=1，由方程有解，得到=b24ac=（a1）24a20，解得：1a，又mn=a2，a2=1，解得：a=1（舍去）或a=1，則a=1故答案為：1點評：此題考查了根與系數的關系，倒數的定義，以及一元二次方程解的判定，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），當b24ac0時，方程有解，設此時方程的解為x1和x2，則有x1+x2=，x1x2=13（2012日照）已知x1、x2是方程2x2+14x16=0的兩實數根，那

27、么的值為 考點：根與系數的關系。810360 分析：利用一元二次方程根與系數的關系求得x1+x2=7，x1x2=8；然后將所求的代數式轉化為含有x1+x2、x1x2形式，并將其代入求值即可解答：解：x1、x2是方程2x2+14x16=0的兩實數根，根據韋達定理知，x1+x2=7，x1x2=8，=故答案是：點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法三、解答題14（2012菏澤）解方程：（x+1）（x-1）+2（x+3）=814解：原方程可化為 x2+2x-3=0（x+3）（x-1）=0，x1=-3，x2=115（2012濱州）濱州市體育局要

28、組織一次籃球賽，賽制為單循環形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排28場比賽，應邀請多少支球隊參加比賽？學習以下解答過程，并完成填空解：設應邀請x支球隊參賽，則每對共打 場比賽，比賽總場數用代數式表示為 根據題意，可列出方程 整理，得 解這個方程，得 合乎實際意義的解為 答：應邀請 支球隊參賽15解：設應邀請x支球隊參賽，則每對共打 （x-1）場比賽，比賽總場數用代數式表示為x（x-1）根據題意，可列出方程x（x-1）=28整理，得x2-x=28，解這個方程，得 x1=8，x2=-7合乎實際意義的解為 x=8答：應邀請 8支球隊參賽故答案為：（x-1； x（x-1）；x（x-1）=28

29、；x2-x=28；x1=8，x2=-7；x=8；816（2012濟寧）一學校為了綠化校園環境，向某園林公司購買力一批樹苗，園林公司規定：如果購買樹苗不超過60棵，每棵售價120元；如果購買樹苗超過60棵，每增加1棵，所出售的這批樹苗每棵售價均降低0.5元，但每棵樹苗最低售價不得少于100元，該校最終向園林公司支付樹苗款8800元，請問該校共購買了多少棵樹苗？16解：因為60棵樹苗售價為120元×60=7200元8800元，所以該校購買樹苗超過60棵，設該校共購買了x棵樹苗，由題意得：x120-0.5（x-60）=8800，解得：x1=220，x2=80當x2=220時，120-0.5

30、×（220-60）=40100，x1=220（不合題意，舍去）；當x2=80時，120-0.5×（80-60）=110100，x=80，答：該校共購買了80棵樹苗【備考真題過關】一、選擇題1（2012烏魯木齊）關于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一個根是0，則實數a的值為（）A-1 B0 C1 D-1或11A1解：把x=0代入方程得：|a|-1=0，a=±1，a-10，a=-1故選A2（2012荊門）用配方法解關于x的一元二次方程x2-2x-3=0，配方后的方程可以是（）A（x-1）2=4 B（x+1）2=4 C（x-1）2=16 D（x+1）

31、2=162A3（2012宜賓）將代數式x2+6x+2化成（x+p）2+q的形式為（）A（x-3）2+11 B（x+3）2-7 C（x+3）2-11 D（x+2）2+43B4（2012莆田）方程（x-1）（x+2）=0的兩根分別為（）Ax1=-1，x2=2 Bx1=1，x2=2Cx1=-1，x2=-2 Dx1=1，x2=-24D5（2012淮安）方程x2-3x=0的解為（）Ax=0 Bx=3 Cx1=0，x2=-3 Dx1=0，x2=35D6（2012南昌）已知關于x的一元二次方程x2+2x-a=0有兩個相等的實數根，則a的值是（）A1 B-1 C D-6B7（2012常德）若一元二次方程x2+

32、2x+m=0有實數解，則m的取值范圍是（）Am-1 Bm1 Cm4 Dm7B8（2012泰州）某種藥品原價為36元/盒，經過連續兩次降價后售價為25元/盒設平均每次降價的百分率為x，根據題意所列方程正確的是（）A36（1-x）2=36-25 B36（1-2x）=25C36（1-x）2=25 D36（1-x2）=258C9（2012河池）一元二次方程x2+2x+2=0的根的情況是（）A有兩個相等的實數根B有兩個不相等的實數根C只有一個實數根D無實數根考點：根的判別式。810360 分析：求出b24ac的值，根據b24ac的正負即可得出答案解答：解：x2+2x+2=0，這里a=1，b=2，c=2，

33、b24ac=224×1×2=40，方程無實數根，故選D點評：本題考查的知識點是根與系數的關系，當b24ac0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當b24ac=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當b24ac0時，一元二次方程無實數根11（2012瀘州）若關于x的一元二次方程x24x+2k=0有兩個實數根，則k的取值范圍是（）A k2Bk2Ck2Dk2考點：根的判別式。810360 專題：計算題。分析：根據一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式的意義可得到0，即（4）24×1×2k0，然后解不等式即可得到k的取值范圍解答：解：關于x的一元

34、二次方程x24x+2k=0有兩個實數根，0，即（4）24×1×2k0，解得k2k的取值范圍是k2故選B點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式=b24ac：當0時，方程有兩個不相等的實數根；當=0時，方程有兩個相等的實數根；當0時，方程沒有實數根12（2012婁底）為解決群眾看病貴的問題，有關部門決定降低藥價，對某種原價為289元的藥品進行連續兩次降價后為256元，設平均每次降價的百分率為x，則下面所列方程正確的是（）A289（1x）2=256 B 256（1x）2=289C289（12x）=256D256（12x）=289考點：由實際問題抽象出

35、一元二次方程。810360 專題：增長率問題。分析：設平均每次的降價率為x，則經過兩次降價后的價格是289（1x）2，根據關鍵語句“連續兩次降價后為256元，”可得方程289（1x）2=256解答：解：設平均每次降價的百分率為x，則第一降價售價為289（1x），則第二次降價為289（1x）2，由題意得：289（1x）2=256故選：A點評：此題主要考查求平均變化率的方法若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為a（1±x）2=b二、填空題13（2012吉林）若方程x2-x=0的兩根為x1，x2（x1x2），則x2-x1= 13114（2012上海

36、）如果關于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常數）沒有實根，那么c的取值范圍是 14c915（2012廣州）已知關于x的一元二次方程x2-2x+k=0有兩個相等的實數根，則k值為 15316（2012包頭）關于x的兩個方程x2x2=0與有一個解相同，則a= 考點：解一元二次方程-因式分解法；分式方程的解。810360 分析：首先解出一元二次方程x2x2=0的解，根據兩個方程x2x2=0與解相同，把x的值代入第二個方程中，解出a即可解答：解：x2x2=0，（x2）（x+1）=0，x2=0或x+1=0，x1=2，x2=1，x+10，x1，把x=2代入=中得：=，解得：a=4，故答案為：4點評

37、：此題主要考查了解一元二次方程，以及解分式方程，關鍵是正確確定x的值，注意分式方程要注意分母有意義，還要檢驗17（2012鄂州）設x1、x2是一元二次方程x2+5x3=0的兩個實根，且，則a= 考點：根與系數的關系。810360 專題：計算題。分析：利用根與系數的關系求出兩根之和與兩根之積，將已知的等式整理后，把求出的兩根之和與兩根之積代入列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值解答：解：x1、x2是一元二次方程x2+5x3=0的兩個實根，x1+x2=5，x1x2=3，x22+5x2=3，又2x1（x22+6x23）+a=2x1（x22+5x2+x23）+a=2x1（3+x23）+a=2x

38、1x2+a=4，10+a=4，解得：a=14故答案為：14點評：此題考查了一元二次方程根的判別式，以及根與系數的關系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），當b24ac0時，方程有兩個不相等的實數根；當b24ac=0時，方程有兩個相等的實數根；當b24ac0時，方程沒有實數根18（2012丹東）美麗的丹東吸引了許多外商投資，某外商向丹東連續投資3年，2010年初投資2億元，2012年初投資3億元設每年投資的平均增長率為x，則列出關于x的方程為 考點：由實際問題抽象出一元二次方程。810360 專題：增長率問題。分析：由于某外商向丹東連續投資3年，2010年初投資2億元，2012年初投資3億

39、元設每年投資的平均增長率為x，那么2011年初投資2（1+x），2012年初投資2（1+x）2，由2012年初投資的金額不變即可列出方程解答：解：設每年投資的平均增長率為x，由題意，有2（1+x）2=3故答案為2（1+x）2=3點評：此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關鍵是掌握增長率問題中的一般公式為a（1+x）n=b，其中n為共增長了幾年，a為第一年的原始數據，x是增長率，b是增長了n年后的數據三、解答題19（2012溫州）解方程：x2-2x=519解：配方得（x-1）2=6x-1=±x1=1+，x2=1-20（2012無錫）解方程：x2-4x+2=020解：=42

40、-4×1×2=8，x1= 2+，x2= 2-。21（2012巴中）解方程：2（x-3）=3x（x-3）21解：2（x-3）=3x（x-3）移項得：2（x-3）-3x（x-3）=0整理得：（x-3）（2-3x）=0x-3=0或2-3x=0解得：x1=3或x2=22（2012孝感）已知關于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根：（2）若x1，x2是原方程的兩根，且|x1-x2|=2，求m的值，并求出此時方程的兩根22解：（1）證明：=（m+3）2-4（m+1）1分=（m+1）2+4，無論m取何值，

41、（m+1）2+4恒大于0原方程總有兩個不相等的實數根。（2）x1，x2是原方程的兩根，x1+x2=-（m+3），x1x2=m+1，|x1-x2|=2，（x1-x2）2=（2）2，（x1+x2）2-4x1x2=8。-（m+3）2-4（m+1）=8m2+2m-3=0。   解得：m1=-3，m2=1。   當m=-3時，原方程化為：x2-2=0，             解得：x1=，x2=-.   當m=1時

42、，原方程化為：x2+4x+2=0，             解得：x1=-2+，x2=-2-.24（2012徐州）為了倡導節能低碳的生活，某公司對集體宿舍用電收費作如下規定：一間宿舍一個月用電量不超過a千瓦時，則一個月的電費為20元；若超過a千瓦時，則除了交20元外，超過部分每千瓦時要交元某宿舍3月份用電80千瓦時，交電費35元；4月份用電45千瓦時，交電費20元（1）求a的值；（2）若該宿舍5月份交電費45元，那么該宿舍當月用電量為多少千瓦時？考點：一元二次方程的

43、應用；分段函數。810360 專題：應用題。分析：（1）由題意知，3月份電量超過了a千瓦，可列等式20+（80a）=35，解一元二次方程求出a的值即可；（2）設月用電量為x千瓦時，交電費y元根據題意列出分段函數，然后求出5月份的電量解答：解：（1）根據3月份用電80千瓦時，交電費35元，得，即a280a+1500=0解得a=30或a=50由4月份用電45千瓦時，交電費20元，得，a45a=50（2）設月用電量為x千瓦時，交電費y元則5月份交電費45元，5月份用電量超過50千瓦時45=20+0.5（x50），解得x=100答：若該宿舍5月份交電費45元，那么該宿舍當月用電量為100千瓦時點評：本

44、題主要考查一元二次函數的應用和分段函數的知識點，解答本題的關鍵是理解題意，列出一元二次方程，此題難度一般25（2012襄陽）為響應市委市政府提出的建設“綠色襄陽”的號召，我市某單位準備將院內一塊長30m，寬20m的長方形空地，建成一個矩形花園，要求在花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方種植花草如圖所示，要使種植花草的面積為532m2，那么小道進出口的寬度應為多少米？（注：所有小道進出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形）考點：一元二次方程的應用。810360 專題：幾何圖形問題。分析：設小道進出口的寬度為x米，然后利用其種植花草的面積為532平方米列出方程求解即可解答：解：設

45、小道進出口的寬度為x米，依題意得（302x）（20x）=532整理，得x235x+34=0解得，x1=1，x2=343430（不合題意，舍去），x=1答：小道進出口的寬度應為1米點評：本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是找到正確的等量關系并列出方程26（2012湘潭）如圖，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用25m），現在已備足可以砌50m長的墻的材料，試設計一種砌法，使矩形花園的面積為300m2考點：一元二次方程的應用。810360 分析：根據可以砌50m長的墻的材料，即總長度是50m，AB=xm，則BC=（502x）m，再根據矩形

46、的面積公式列方程，解一元二次方程即可解答：解：設AB=xm，則BC=（502x）m根據題意可得，x（502x）=300，解得：x1=10，x2=15，當x=10，BC=501010=3025，故x1=10（不合題意舍去），答：可以圍成AB的長為15米，BC為20米的矩形點評：本題考查了一元二次方程的應用解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系求解，注意圍墻MN最長可利用25m，舍掉不符合題意的數據27（2012廈門）工廠加工某種零件，經測試，單獨加工完成這種零件，甲車床需要x小時，乙車床需用（x21）小時，丙車床需用（2x2）小時（1）單獨加工完成這種零件，甲車床所用的時間是丙車床的，求乙車床單獨加工完成這種零件所需的時間；（2）加工這種零件，乙車床的工作效率與丙車床的工作效率能否相同？請說明理由考點：一元二次方程的應用；一元一次方程的應用。810360 分析：（1）若甲車床需要x小時，丙車床需用（2x2）小時，根據甲車床所用的時間是丙車床的即可列出方程，（2）若乙車床的工作效率與丙車床的工作效率相同，根據題意列方程=，再通過檢驗得出原分式方程無解，即可說明乙車床的工作效率與丙車床的工作效率不能相同解答：解：（1）若甲車