1、金版教程高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理(經(jīng)典版)第2講不等式的證明基礎(chǔ)知識整合知識械理1. 比較法比較法是證明不等式最基本的方法，可分為作差比較法和作商比較法兩種.a>ba b>Q扭V”岡“ 一”<0a = A畫口一石=0作商比較法b>0.->a>bb<0.->la<bb適用類型適用于具有畫多項(xiàng)式 特征的不等式的證明主要適用于積、商、 蒔、對數(shù).根式形式 的不等式證明證明步驟作差一變形-判斷符 號得出結(jié)論作商f變形判斷 與1的大小關(guān)系 得出結(jié)論2. 綜合法般地，從已知條件出發(fā)，利用 定義、公理、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過一系列的 推理、 論證而得出命題成立,這種

2、證明方法叫做綜合法.綜 合法又叫由因?qū)Ч?3. 分析法證明命題時，從 要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的 一充分條件,直至所需條件為已知條件或 一個明顯成立的事實(shí)（定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種 執(zhí)果索因的思考和證明方法.4. 反證法證明命題時先假設(shè)要證的命題 不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合 已知條 件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件 (或已 證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等) 矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從 而得出原命題成立，我們把這種證明方法稱為反證法.5. 放縮法證明不等式時，通過把不等式中的

3、某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法.6. 柯西不等式(1)二維形式的柯西不等式定理1若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a作差比較法適用的主要題型是多項(xiàng)式、分式、對數(shù)式、三角式，作商比較 法適用的主要題型是高次幕乘積結(jié)構(gòu). 如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待 證的命題以“至少”“至多”等方式給出或否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法. 高考命題專家說：“放縮是一種能力.”如何把握放縮的“度”，使得放 縮“恰到好處”，這正是放縮法的精髓和關(guān)鍵所在！雙基自測.1iia b1.已知 0<a<b，且 M = i + a

4、 + i + b，N= i + a + i + b，則 M，N 的大小關(guān)系+ b2)(c2+ d2) (ac+ bd)2，當(dāng)且僅當(dāng) ad= be時，等號成立.(2)柯西不等式的向量形式定理2設(shè)a，B是兩個向量，則 | a滬國丨日，當(dāng)且僅當(dāng)B是零向量，或 存在實(shí)數(shù)k，使a= kp時，等號成立.金版教程高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理（經(jīng)典版）A . M<N B . M>N C. M = N D .不確定答案 B1解析 由已知得0<ab<1,故M N=+1 + a 1+ b 1 + aa b 1 a , 1 b一 = + 1+a 1+b2 1 ab>0.故 M>N.1 + a

5、1 + b2.（2019南通模擬）若a c|v|b|,貝U下列不等式中正確的是a<b+ cB. a>c bC.答案 D|a|>|b|c|D. |a|<|b|+ |c|解析 |a| |c|< |a c|<|b|，即 |a|<|b|+ |c|故選 D.3.已知a,ab, c, d均為正數(shù)，S=a+ b+ d+ b+ c+ a+ c+ d+ b+ d + a+ c，則一定有（）A. 0<S<1答案B. 1<S<2 C. 2<S<3 D. 3<S<4解析S>+=a+ b+ c+ d a+ b+ c+ d a

6、+ b+ c+ d a+ b+ c+ d1,S- +a+ bpl+= 2,.°.1<S<2.故選 B.a+ b c+ d c+ d1234. （2019駐馬店質(zhì)檢）若X1, X2, xs （0, +x）,則3個數(shù),去的值（）A .至多有一個不大于1C.都大于1答案 BB.至少有一個不大于1D.都小于1解析解法一：設(shè)X1 < X2 < X3,則滬1,X2< 1, X>1.故選 B.X1X2 A X3 d解法一：設(shè) X2>1, X3>1, X1>1,/X1 3>1 與X1 X3= 1 矛盾至少有一個X2 X3 X1X2 X3 X

7、1不大于1.則3a + 2b的取值范圍是5.已知 a, b R, a2 + b2= 4,答案2.13, 2.13解析根據(jù)柯西不等式(ac+ bd)2< (a2 + b2) (c2+ d2)，可得(3a + 2b)2w (a2 + b2) (32 + 22)-2 13< 3a+ 2b < 2 13.3a + 2bq 2 13, 2, 13.1 1 16.已知a, b, c是正實(shí)數(shù)，且a+ b+ c= 1,貝唁+ b+ 的最小值為-答案91 1 1解析 解法一：把a(bǔ)+ b+c= 1代入-+二+-,得a b ca+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c+ z +bc+、丿 a-

8、 b+ b- a+'丿a- cb- c+c-> 3 + 2+ 2 + 2 = 9,1當(dāng)且僅當(dāng)a= b = c= 3時，等號成立.解法二：由柯西不等式得：(a+ b+c)£+1+£宀；+ b-1b+ Q：2,1 1 1 即 a+b+c> 9.a b c核心考向突破考向一比較法證明不等式例 1(2019 西寧模擬)已知函數(shù) f(x) = |2x+ 1|+ |x 2|,集合 A= x|f(x)<3.(1)求 A；t1若 s, t A,求證：1 S < t s .解(1)不等式 f(x)<3 等價于 |2x+ 1|+ |x 2|<3.(*

9、)設(shè)函數(shù) g(x)= |2x+ 1|+ |x 2| 3,f 3x 4, x2,其圖象如圖所示.1 2 則 g(x)= X, 2<x<2,I13x 2, xW 2,金版教程高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理(經(jīng)典版)從圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)x 2，0時，g(x)<0.所以不等式(*)的解集為x 2<x<0 t所以 A= x |<x<0 .(2)證明：因?yàn)閟, tS，由知s, t | 0 ,所以 s2<1, t2<1.尹、尹、2因?yàn)?1 S2- t?= 1 + 412隹盤1 t2)(s21)<0,所以(1- s卜卜9,所以I1-s <t-si觸類旁通比較

10、法證明的一般步驟作差一變形一判斷一結(jié)論為了判斷作差后的符號，有時要把這個差變形為 一個常數(shù)，或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個平方和的形式，也可變形為幾個因 式的積的形式，以判斷其正負(fù)常用的變形技巧有因式分解、配方、拆項(xiàng)、拼項(xiàng) 等方法.即時訓(xùn)練 1.設(shè)函數(shù)f(x)=|x 2|+ 2x 3,記f(x)w 1的解集為M.(1) 求 M;2 2(2) 當(dāng) x M 時，證明：xf(x) x f(x)<0.x 1, xW2,解(1)由已知，得f(x) =3x 5, x>2.當(dāng) x<2 時，由 f(x) = x 1< 1,解得 x< 0,此時 x<0；4當(dāng)x>2時，由

11、f(x) = 3x 5< 1，解得x< |,顯然不成立.故 f(x)w 1 的解集為 M = x|xw 0.(2)證明：當(dāng) xCM 時，f(x) = x 1,于是 xf(x)2 x2f(x)= x(x 1)2x2(x 1)2丄2 丄 1=x + x x2 + 4.f 1 21令 g(x) x 2 + 4，貝U函數(shù)g(x)在(一X, 0上是增函數(shù)，g(x)< g(0) 0.故 xf(x)2 x2f(x)< 0.考向二 綜合法證明不等式例2 (2019咸陽模擬)已知a>0, b>0,函數(shù)f(x)|2x+ a|+ 2 x+ 1的最 小值為2.(1) 求 a+ b

12、的值；(14(2) 求證:a+ log3 a+ b3 b.解因?yàn)?f(x) |2x+ a|+ |2x b|+ 1>|2x+ a (2x b)|+ 1 |a+ b|+ 1,當(dāng)且僅當(dāng)(2x+ a)(2x b)< 0時，等號成立，又 a>0， b>0，所以 |a+ b| a+ b，所以f(x)的最小值為a+ b+ 1 2,所以a+ b 1.(2)證明：由(1)知，a+ b 1,所以 a+ b-(a+ 砒+ b；- 1 + 4+ a+ 譽(yù) 5 + 企/!尋=9,b 4a12當(dāng)且僅當(dāng)$4且a+ b 1,即a 3 b §時取等號.i'14、'所以 log3

13、 a+ b A log39 2,所以 a+ b+ log3 a+ b A 1 + 2 3,(14"即 a+ log3 a + b A3 b.觸類旁通綜合法是由因?qū)Ч淖C明方法用綜合法證明不等式時，應(yīng)注意觀察不等式的 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)墓阶鳛橐罁?jù)，其中均值不等式是最常用的即時訓(xùn)練 2.(2019宜春模擬)(1)求不等式2<|x 1|-X+ 2|<0的解集;設(shè)a, b均為正數(shù),a2 + b2h> 2.解 記 f(x)=|x 1- X+ 2|V, x< 2,=2x 1, 2<x<1,.3, x1,11 f 11、由一2< 2x 1<0,解

14、得一2<x<2，則不等式的解集為 一2 2 .(2)證明:2 22 a + b2h“a，心：ab，h"b，h32 24 a + b> >ab4X 2abab8,當(dāng)且僅當(dāng)a= b= 1時取等號2.考向三分析法證明不等式例3 (2019株洲模擬)(1)求不等式x 5| |2x+ 3|> 1的解集; 1(2)若正實(shí)數(shù)a, b滿足a+ b=刁求證：a+ b< 1.3解 (1)當(dāng) x< 2時，一x+ 5+ 2x+ 3> 1,解得 x> 7, x< 3；31當(dāng)2<x<5 時，x+ 5 2x 3> 1,解得 x<3

15、,當(dāng) x>5 時，x 5 (2x+ 3)> 1,解得 x< 9，舍去.1綜上，7 w xW 3.故原不等式的解集為x 7< x< A證明：要證.a+ . b< 1,只需證a+ b+ 2 ab< 1,金版教程高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理(經(jīng)典版)1 1即證2 ab<，即證 ab<4.而 a+ b =2 ab,. ab< 扌成立，原不等式成立.觸類旁通對于一些難以看出綜合推理出發(fā)點(diǎn)的題目，我們可以從要證的結(jié)論入手，通 常采用分析法求證分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，要注意書寫的格式和語言 的規(guī)范即時訓(xùn)練 3.(2018福建模擬)已知函數(shù)f(x) =

16、|x+ 1|.求不等式f(x)<|2x+ 1| 1的解集M ;(2)設(shè) a, b M，證明：f(ab)>f(a) f( b).解 當(dāng)x< 1時，原不等式可化為一x 1< 2x 2,解得x< 1;1當(dāng)1<x< 2時，原不等式可化為 x+ 1< 2x 2,解得x< 1,此時原不等 式無解；1當(dāng)x> 2時，原不等式可化為x+ 1<2x，解得x>1,綜上，M = x|x< 1 或 x>1.證法一：因?yàn)?f(ab) = |ab+ 1匸 |(ab+ b) + (1 b)|>|ab+ b|11 b|=|b|a+ 1|

17、11 b|.因?yàn)?a, bM，所以 |b|>1, |a+ 1|>0,所以 f(ab)>|a+ 1|11 b|, 即卩 f(ab)>f(a) f( b).證法二：因?yàn)?f(a) f( b)=|a+ 1| b+ 1|w |a + 1 ( b + 1)| = |a+ b|,所以要證 f(ab)>f(a) f( b),只需證 |ab+ 1|>|a + b|,即證 |ab + 1f>|a+ b| ,即證 a b + 2ab+ 1>a + 2ab+ b ,即證 a2b2 a2 b2 + 1>0,即證(a2 1)(b2 1)>0.因?yàn)閍, bCM，

18、所以a >1, b >1，所以(a 1)(b 1)>0成立，所以原不等式 成立.考向四反證法證明不等式1 i例4 (2019湖南模擬)設(shè)a>0, b>0,且a+ b =才+ £.證明:(1)a+ b> 2；2 2a + a<2與b + b<2不可能同時成立.11 a+ b證明由a+b=a+滬苗，a>0，b>°,得心1.(1)由基本不等式及 ab= 1,有a+ b>2 . ab= 2, 即卩a+ b>2,當(dāng)且僅當(dāng)a= b時等號成立.假設(shè)a2 + a<2與b2+ b<2同時成立,則由 a2 +

19、a<2 及 a>0,得 0<a<1 ；同理,0<b<1，從而ab<1，這與ab= 1矛盾.故a2+ a<2與b2 + b<2不可能同時成立.觸類旁通對于某些問題中所證結(jié)論若是 “都是”“都不是”“至多”“至少”等問般用反證法.其一般步驟是反設(shè)一推理一得出矛盾一肯定原結(jié)論.即時訓(xùn)練 4已知x, y都是正實(shí)數(shù)，且x+ y>2.(1) 求x2 + y2的最小值；1 + x1 + y(2) 求證：二廠< 2和x < 2至少有一個成立.yx2 2 2 2 222(x+ y) 2x + 2y (x+ y)(x y)解(1)(x2+ y

20、2) = 廠 > 0,當(dāng)且僅當(dāng)x= y時等號成立, 22 2 (x+ y)2 2所以x + y > 2 2,當(dāng)x=y= 1時，x + y取得最小值，最小值為2.1 + x1 + y證明：假設(shè) < 2和< 2都不成立,y x1+ x 1 + y則有>2且>2，即 1 + x>2y 且 1 + y>2x,金版教程高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理(經(jīng)典版)兩式相加，得 2+ x+ y>2x+ 2y,即 x+ y<2.1 + x 1 + y這與已知矛盾，因此 < 2和 < 2至少有一個成立.y x考向五放縮法證明不等式例5 （2019包頭模擬）已

21、知x，y，z為三角形的三邊長，求證：作*+止z右3證明伙，y，z為三角形的三邊長,y+z>x，x+ y>z，x+z>y，111111. < < < y+z x，y+ x z，x+ z yx y z+<3，y+z x+z x+ y又亠+丄+丄> x + + = 1y+ z x+ z x+y x+ y+ z x+ y+z x+ y+ zx y z'1<+<3.y+ z x+ z x+y觸類旁通用放縮法證明不等式將所證不等式中的某些項(xiàng)適當(dāng)放大或縮小 （主要方法是拆分、配湊、增減項(xiàng) 等），可使有關(guān)項(xiàng)之間的不等關(guān)系更加明晰， 更加強(qiáng)化，

22、且有利于式子的代數(shù)變形、 化簡，從而達(dá)到證明的目的這種方法靈活性較大，技巧性較強(qiáng).111 1 *即時訓(xùn)練 5求證：2+ 1 + 2? + 1 + 2§+ 1 + + 2*+ 1<1（n N ）.1 1證明注意到一<歹將通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列，2n + 1 1 11 2 3 -止 j 4 1 1左邊<2+22+23 +歹=廠=1-歹<1.1-2 +、十111 56.求證：2- 1 + 22- 1 + 23- 1 + + 2n- 1<3.2* 1 證明.2 1 = 2 2 1= 2 2 2 若17=2 2 2n 1 >42 - (n3),41.r S ;11421 X+ 2n 12丿厶+ 3+ 71 2n 2I 2丿2n 17 2