1、第二部分專題四題型三針對訓練1 某學習小組在探究三角形全等時，發現了下面這種典型的基本圖形：如圖 1,在厶 ABC 中，/ BAC = 90 AB= AC,直線 m 經過 A, BD 丄直線 m, CE 丄 直線 m，垂足分別為 D, E.試猜想 DE, BD , CE 有怎樣的數量關系，并說明理由；組員小穎想，如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2,將 中的條件改為：在厶 ABC 中，AB = AC, D, A, E 三點都在直線 m 上，并且有/ BDA=ZAEC=ZBAC =a其中a為任意銳角或鈍角）如果成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；（3）數學老師贊賞了他們的探索精神

2、，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖 3, F 是/ BAC 平分線上的一點，且 ABF 和厶 ACF 均為等邊三角形，D, E 分別是直線 m 上 A 點左右兩側的動點（D, E, A 互不重合），在運動過程中線段 DE 的長度始終為n,連接 BD, CE，若/ BDA=ZAEC =ZBAC，試判斷厶 DEF 的形狀，并說明理由.D A E D A E側DtE團I風2團3第 1 題圖解：(1)DE = BD + CE.理由:J/BAC=90 /BAD+ ZCAE=90/ BD 丄 m, CE 丄 m, / ADB = / CEA = 90/BAD + / ABD = 90ABD = /

3、CAE.ADB = / CEA= 90在厶 ADB 和厶 CEA 中，# ABD =/ CAE ,uAB= AC , ADBCEA(AAS) , BD = AE , AD = CE , DE = AE + AD = BD + CE.(2)解：結論 DE = BD + CE 成立.理由：/ BAD + / CAE = 180 / BAC , / BAD + / ABD = 180 / ADB , / BDA = /BAC , / ABD = / CAE./ ABD = / CAE ,在厶 BAD 和厶 ACE 中，/ADB =/ CEA ,uAB= AC , BADACE(AAS), BD =

4、AE , AD = CE , DE = AE + AD = BD + CE.(3) DFE 為等邊三角形.理由：由(2)得， BADBAACE , BD = AE./ABD= ZCAE,/ABD+ ZFBA= ZCAE+ZFAC,即/ FBD =ZFAE.FB = FA,在厶 FBD 和厶 FAE 中， / FBD =ZFAE ,BD = AE,FBDFAE(SAS), FD=FE,ZBFD= ZAFE,/DFE= ZDFA+ZAFE= ZDFA+ZBFD=60, DFE 為等邊三角形.2. (2018 淄博)(1)操作發現：如圖 1,小明畫了一個等腰三角形 ABC,其中 AB= AC, 在厶

5、 ABC的外側分別以 AB， AC 為腰作了兩個等腰直角三角形 ABD， ACE， 分別取 BD， CE , BC 的中點 M , N ,G,連接 GM, GN.小明發現了：線段 GM 與 GN 的數量關系是 MG = NG ;位置關系是 MG 丄 NG .(2) 類比思考：如圖 2,小明在此基礎上進行了深入思考把等腰三角形ABC 換為一般的銳角三角形，其中 ABAC,其他條件不變，小明發現的上述結論還成立嗎？請說明理由.(3) 深入研究：如圖 3，小明在 的基礎上，又作了進一步的探究，向ABC 的內側分別作等腰直角三角形 ABD, ACE，其他條件不變，試判斷厶 GMN 的形狀，并給予證明.

6、圖丨團2國3第 2 題圖解：如答圖 1，連接 BE , CD 相交于點 H ,ABD 和厶 ACE 都是等腰直角三角形， AB=AD,AC=AE,/BAD= ZCAE=90,/ CAD = / BAE, ACDAEB(SAS), CD = BE , / ADC = / ABE ,/BDC + / DBH =/ BDC + / ABD + / ABE = / BDC + / ABD + / ADC = / ADB + / ABD= 90 ,/BHD = 90 CD 丄 BE.點 M , G 分別是 BD , BC 的中點,1 1 MGCD，同理 NG2BE, MG = NG, MG 丄 NG.成立理由如下：如答圖 2，連接 CD，BE 相交于點 H ,同(1)的方法得，MG = NG, MG 丄 NG.(3) GMN 是等腰直角三角形.證明：如答圖 3,連接 EB, DC,延長線相交于 H,同(1)的方法得，MG = NG,同(1)的方法得， ABEADC ,/AEB=ZACD,/CEH+ ZECH=