1、課后限時集訓32,數列概念與簡單表示法 1 數列的概念與簡單表示法 建議用時：45 分鐘 一、選擇題 1已知數列 3， 5， 7， 2n1， 2n1，則 3 5是這個數列的( ) a第 20 項 b第 21 項 c第 22 項 d第 23 項 c 由題意知，數列的通項公式為 a n 2n1，令 2n13 5得 n22，故選 c. 2設數列a n 的前 n 項和 s n n 2 ，則 a 8 的值為( ) a15 b16 c49 d64 a 當 n8 時，a 8 s 8 s 7 8 2 7 2 15. 3設數列a n 的前 n 項和為 s n ，且 s n 2(a n 1)，則 a n ( )

2、a2n b2n1 c2 n d2 n 1 c 當 n1 時，a 1 s 1 2(a 1 1)，可得 a 1 2，當 n2 時，a n s n s n 12a n 2a n 1 ，所以 a n 2a n 1 ，所以數列a n 為等比數列，公比為 2，首項為 2，所以 a n 2 n . 4(2021石家莊模擬)若數列a n 滿足 a 1 2，a n 1 1an1a n ，則 a 2 020的值為( ) a2 b3 c 12 d.13 d 由題意知，a 2 1212 3，a 3 1313 12 ，a 4 1 121 12 13 ，a 5 1 131 132，a 6 1212 3， 2 因此數列a

3、n 是周期為 4 的周期數列， a 2 020 a 505 4 a 4 13 .故選 d. 5已知數列a n 滿足 a 1 3,2a n 1 a n 1，則 a n ( ) a2 n 2 1 b2 1 n 1 c2 n 1 d2 2 n 1 d 由 2a n 1 a n 1 得 2(a n 1 1)a n 1， 即 a n 1 1 12 (a n 1)，又 a 1 3， 數列a n 1是首項為 a 1 12，公比為 12 的等比數列， a n 12 è çæø÷ö12n 1 2 2 n ， a n 2 2 n 1，故選 d. 二、填空

4、題 6若數列a n 的前n項和s n 23 n2 13 n，則數列a n 的通項公式a n . 43 n1 當 n1 時，a 1 s 1 13 . 當 n2 時，a n s n s n 1 23 n2 13 n ëêéûúù23 (n1)2 13 (n1) 4n31. 又 a 1 13 適合上式，則 a n 43 n1. 7在數列a n 中，a 1 1，a n n1na n 1 (n2)，則數列a n 的通項公式 a n . 1n 由 a n n1na n 1 得a na n 1 n1n， a n a na n 1 a n 1a n

5、2 a 2a 1 a 1 n1n n2n1 12 11n . 當 n1 時，a 1 1 適合上式 故 a n 1n . 3 8已知數列a n 滿足 a 1 0，a n 1 a n 2n1，則數列a n 的通項公式 a n . (n1) 2 由題意知 a n a n 1 2n3(n2)， 則 a n (a n a n 1 )(a n 1 a n 2 )(a 2 a 1 )a 1 (2n3)(2n5)31 (n1)(2n2)2(n1) 2 . 三、解答題 9已知數列a n 的前 n 項和為 s n . (1)若 s n (1) n 1 n，求 a 5 a 6及 a n ； (2)若 s n 3 n

6、 2n1，求 a n . 解 (1)因為 a 5 a 6 s 6 s 4 (6)(4)2， 當 n1 時，a 1 s 1 1，當 n2 時， a n s n s n 1 (1) n 1 n(1) n (n1)(1) n 1 n(n1)(1) n 1 (2n1)， 又 a 1 也適合此式，所以 a n (1) n 1 (2n1) (2)因為當 n1 時，a 1 s 1 6， 當 n2 時，a n s n s n 1 (3 n 2n1)3 n 1 2(n1)123 n 1 2. 由于 a 1 不適合此式，所以 a n î íì 6，n1，23 n 1 2，n2. 10

7、已知 s n 為正項數列a n 的前 n 項和，且滿足 s n 12 a2n 12 a n (nn* ) (1)求 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 的值； (2)求數列a n 的通項公式 解 (1)由 s n 12 a2n 12 a n (nn* )， 可得 a 1 12 a21 12 a 1 ，解得 a 1 1； s 2 a 1 a 2 12 a22 12 a 2 ， 解得 a 2 2； 同理 a 3 3，a 4 4. 4 (2)s n 12 a2n 12 a n ， 當 n2 時，s n 1 12 a2n 1 12 a n 1 ， 得(a n a n 1 1)(a n a n 1 )

8、0. 由于 a n a n 1 0，所以 a n a n 1 1， 又由(1)知 a 1 1， 故數列a n 是首項為 1，公差為 1 的等差數列，故 a n n. 1已知各項都為正數的數列a n 滿足 a 2 n 1 a n 1 a n 2a 2 n 0，且 a 1 2，則數列a n 的通項公式為( ) aa n 2 n 1 ba n 3 n 1 ca n 2 n da n 3 n c a 2 n 1 a n 1 a n 2a 2 n 0， (a n 1 a n )(a n 1 2a n )0. 數列a n 的各項均為正數， a n 1 a n 0， a n 1 2a n 0， 即 a n

9、1 2a n (nn * )， 數列a n 是以 2 為公比的等比數列 a 1 2，a n 2 n . 2已知正項數列a n 中， a 1 a 2 a n n(n1)2，則數列a n 的通項公式為( ) aa n n ba n n 2 ca n n2 da n n22 b a 1 a 2 a n n(n1)2， a 1 a 2 a n 1 n(n1)2(n2)， 5 兩式相減得 a n n(n1)2 n(n1)2n(n2)，a n n 2 (n2)， 又當 n1 時， a 1 1221，a 1 1，適合式，a n n 2 ，nn * .故選 b. 3(2021全國卷)設 s n 是數列a n

10、的前 n 項和，且 a 1 1，a n 1 s n s n 1 ，則 s n . 1n a n 1 s n 1 s n ，a n 1 s n s n 1 ， s n 1 s n s n s n 1 . s n 0，1s n 1s n 1 1，即1s n 1 1s n 1. 又1s 1 1， îíìþýü 1s n是首項為1，公差為1 的等差數列 1s n 1(n1)(1)n， s n 1n . 4(2021全國卷)已知各項都為正數的數列a n 滿足 a 1 1，a 2 n (2a n 1 1)a n 2a n 1 0. (1)求 a

11、2 ，a 3 ； (2)求a n 的通項公式 解 (1)由題意可得 a 2 12 ，a 3 14 . (2)由 a 2 n (2a n 1 1)a n 2a n 1 0 得 2a n 1 (a n 1)a n (a n 1) 因為a n 的各項都為正數，所以 an 1a n 12 . 故a n 是首項為 1，公比為 12 的等比數列，因此 a n 12 n 1 . 1已知各項均為正數的數列a n 的前 n 項和為 s n ，且 a 2 n 94(s n n)，則數列a n 的通項公式 a n . 2n3 當 n1 時，a 2 1 94(a 1 1)，得 a 1 5 或 a 1 1(舍去)當 n

12、2時，a 2 n 1 94(s n 1 n1)，所以 a 2 n a 2 n 1 4a n 4，整理得(a n 2) 2 a 2 n 1 .因為 6 數列a n 的各項均為正數，所以 a n 2a n 1 ，即 a n a n 1 2(n2)，所以數列a n 是以 5 為首項，2 為公差的等差數列，所以 a n 5(n1)22n3. 2已知數列a n 的通項公式是 a n n 2 kn4. (1)若 k5，則數列中有多少項是負數？n 為何值時，a n 有最小值？并求出最小值； (2)對于 nn * ，都有 a n 1 a n ，求實數 k 的取值范圍 解 (1)由 n 2 5n40，解得 1n4. 因為 nn * ，所以 n2,3， 所以數列中有兩項是負數，即為 a 2 ，a 3 . 因為 a n n 2 5n4 è &