1、§3等比數列31等比數列第1課時等比數列的概念和通項公式知識點一等比數列的定義 填一填一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫作等比數列，這個常數叫作等比數列的公比通常用字母表示公比答一答1對等比數列的定義中“從第2項起”和“比是同一個常數”這兩點如何理解？提示：通過列舉反例來分析我們知道一個數列的第1項沒有前一項，所以強調“從第2項起”；“比是常數”和“比是同一個常數”的意義不一樣，如數列1,5,3,7中，5是常數，是常數，是常數，比都是常數，但是很明顯該數列不是等比數列，所以強調“比是同一個常數”，這是等比數列定義的核心知識點二等比數

2、列的通項公式 填一填設等比數列an的首項為a1，公比為q，則通項公式是：ana1qn1.答一答2等比數列通項公式推導的方法有哪些？提示：等比數列通項公式的推導方法：(1)歸納猜想(將來用數學歸納法證明)(2)累乘法：···qn1，即ana1qn1.(3)迭代(遞推)法：anan1qan2q2an3q3an(n1)qn1a1qn1.1對于正確理解等比數列的定義，還應注意以下幾方面：由于等比數列每一項都可能作分母，故每一項均不為0，因此q也不能為0.“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”均為同一常數，即比值相等，由此體現了公比的意義，同時還要注意公比是每一項與其前一項

3、之比，防止前后次序顛倒如果一個數列不是從第2項起而是從第3項或第4項起每一項與它前一項的比都是同一個常數，此數列不是等比數列這時可以說此數列從第2項起或從第3項起是一個等比數列如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的比盡管是一個與n無關的常數，但卻是不同的常數，這時此數列不是等比數列常數列都是等差數列，但卻不一定是等比數列如常數列是各項都為0的數列，它就不是等比數列當常數列各項不為0時，它是等比數列，且公比q1.2等比數列的增減性(1)當a1>0，q>1或0<q<1，a1<0時，等比數列an是遞增數列(2)當q>1，a1<0或0<q<1，

4、a1>0時，等比數列an是遞減數列(3)當q1時，等比數列an是常數列(4)當q<0時，等比數列an是擺動數列類型一等比數列的判斷與證明 【例1】下面四個數列：(1)1,1,2,4,8,16,32,64；(2)在數列an中，2，2；(3)常數列a，a，a，；(4)在數列an中，q(q為常數，q0)，其中nn.其中是等比數列的是_(只填序號)【思路探究】利用定義法判斷一個數列是否是等比數列需從以下三個方面把握：(1)從第二項起；(2)每一項與前一項的比；(3)同一個常數【解析】(1)1，2，不符合“同一”，故其不是等比數列(2)不一定是等比數列，當數列an只有3項時，an是等比數列；

5、當數列an的項數超過3時，不一定符合“每一”(3)不一定是等比數列當常數列各項都為0時，它就不是等比數列，當常數列各項均不為0時，它是等比數列(4)等比數列的定義用式子的形式表示出來就是：在數列an中，對任意nn，有q(q為常數，q0)，那么an是等比數列【答案】(4)規律方法 由等比數列的定義可知，一個數列是否為等比數列，要看這個數列各相鄰兩項的比是否為同一個常數q，即對任意nn，是否有q(q0)注意：不能用特殊值法，即由得數列an為等比數列是錯誤的下面各數列一定是等比數列的是(填序號)1，2，4，8；1,2,3,4；x，x，x，x；，.解析：根據等比數列的定義，是等比數列，不是等比數列，中

6、x可能為0，故不一定是等比數列【例2】已知數列的首項a15，前n項和為sn，且sn12snn5(nn)，證明an1是等比數列，并求數列an的通項公式【思路探究】要證an1是等比數列，只需證常數(不為零)即可，而an1與an可由sn1sn與snsn1得到【解】由sn12snn5知，sn2sn1n4(n2)兩式相減，得sn1sn2(snsn1)1，即an12an1，從而an112(an1)(n2)當n1時，s22s16，即a1a22a16.又a15，所以a211，滿足a212(a11)故對于任意的nn，都有an112(an1)又a15，則a110，從而2.所以數列an1是以6為首項，2為公比的等比

7、數列所以an16×2n1，則an3×2n1.規律方法 在由條件得出an112(an1)(n2)時，不能想當然地得出數列an1是等比數列，這是因為等式an112(an1)僅對n2成立，只能表明數列an1從第2項起是等比數列，因此必須驗證2是否成立即便an112(an1)對任意的nn都成立，也不能直接判定數列an1為等比數列，還需指出a110才可得出結論已知數列an的前n項和為sn，sn(an1)(nn)(1)求a1，a2；(2)求證：數列an是等比數列解：(1)由s1(a11)，得a1(a11)，a1.又s2(a21)，即a1a2(a21)，得a2.(2)證明：當n2時，an

8、snsn1(an1)(an11)，得，又，所以an是首項為，公比為的等比數列類型二等比數列的通項公式及應用 【例3】在等比數列an中，(1)若a427，q3，求a7；(2)若a218，a48，求a1和q；(3)若a5a115，a4a26，求a3.【思路探究】【解】(1)解法一：由a4a1·q3，得27a1·(3)3，得a11，故a7a1·q6(1)×(3)6729.解法二：a7a4·q327×(3)3729.(2)由已知得解得或(3)由已知得由得，故q或q2，當q時，a116，a3a1q24；當q2時，a11，a3a1q24.規律方法

9、 等比數列的通項公式ana1·qn1中有四個量a1，q，n，an，一般已知其中的三個可求得第四個，我們將這類問題歸結為公式的正用、逆用、變形使用問題當然對于等比數列來說，可能有時計算起來方法不當，會非常繁瑣，所以方法的選取非常重要一般來說，涉及到列出方程組的問題，大多采用兩式相比，消掉首項a1.在等比數列an中，a1a310，a4a6，則數列an的通項公式為(a)aan24nban2n4can2n3dan23n解析：設公比為q，由得故因此，an8×()n124n.類型三等比數列與等差數列的綜合問題 【例4】有四個數，前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，且第一個數和第四個

10、數的和是16，第二個數和第三個數和為12，求這四個數【思路探究】本題由給出的條件，設出各數，列出相應的方程可解得，但在設四個數時，根據等差數列、等比數列的對稱性設出，可簡化解題過程【解】解法一：設四個數依次為ad，a，ad，由已知得，解得：或，故所得四個數為：0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：設四個數依次為a，a，aq(a0)，由已知得，解得或，所求的四個數為：0,4,8,16或15,9,3,1.解法三：設四個數分別為x，y,12y,16x，由條件知或，故所求四數為：0,4,8,16或15,9,3,1.規律方法 合理地設出所求數是解決這類問題的關鍵，一般地，三數成等比數列，可設為，a

11、，aq；三數成等差數列可設為ad，a，ad.三個正數成等差數列，它們的和等于15，如果它們分別加上1,3,9，就成為等比數列，求這三個數解：設所求的三個數分別為ad，a，ad，則由題設，得解此方程組，得或所求的三個數均為正數，不合題意，舍去所求的三個數分別為3,5,7.易錯警示系列混淆基本公式致誤基本量法是求解數列各個量的最基本方法，而基本公式的正確記憶則是關鍵【例5】已知an是等差數列，其前n項和為sn，bn是等比數列，且a1b12，a4b427，s4b410.求數列an與bn的通項公式【錯解】設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為q，由a1b12，得a423d，b42q4，s486

12、d. .所以an3n1，bn2()n.【錯解分析】等比數列的通項公式錯記為bnb1qn，導致計算錯誤【正解】設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為q.由a1b12，得a423d，b42q3，s486d.由條件，得方程組解得所以an3n1，bn2n，nn.已知等比數列an的前三項依次為a1，a1，a4，則an(b)a4×nb4×n1c4×nd4×n1解析：由題意得(a1)2(a1)(a4)，解得a5，故a14，a26，所以q，an4×n1.一、選擇題1設等比數列的前三項依次為，則它的第四項是(a)a1b.c.d.解析：a1，a2，則q，a

13、4a1·q3·1.2下列各組數成等比數列的是(c)1，2,4，8；，2，2，4；x，x2，x3，x4；a1，a2，a3，a4.abcd解析：由等比數列的定義判斷，中若x0，則不是等比數列3已知等比數列an中，a132，公比q，則a6等于(b)a1 b1c2 d.解析：由題知a6a1q532×51，故選b.二、填空題4在各項都為正數的等比數列an中，首項a13，前三項和為21，則a3a4a5等于84.解析：設an的公比為q，則a23q，a33q2，33q3q221，q2或q3(舍去)，a3a4a5a1(q2q3q4)3(4816)84.5等比數列an中，an>0，且a5a69，則log3a2log3a92.解析：由題意得a5a6a1q4·a1q