1、.2006學年高三數學訓練題(由課本例、習題選編或改編)（九） 導數及其應用A 組（1）設曲線在某點的切線斜率為負數，則此切線的傾斜角（ ），曲線在該點附近的變化趨勢是（ ）(A) 小于 (B) 大于 (C) 小于或等于 (D) 大于或等于(A)單調遞增 (B)單調遞減 (C)無變化 (D)以上均有可能(2) 有( )個極值點; 有( )個極值點(A) 0 (B)1 (C)2 (D) 3(3)如圖，水以常速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應的水的高度h與時間t的關系， (1) （2） （3） （4） h h h h t t t t (a) (

2、b) (c) (d)A.(1) (c) (2) (a) (3) (b) (4) (d) B. (1) (c) (2) (b) (3) (a) (4) (d)C.(1) (c) (2) (d) (3) (a) (4) (b) D. (1) (c) (2) (a) (3) (d) (4) (b)(4)一個距地心距離為r，質量為m的人造衛星，與地球之間的萬有引力F由公式給出，其中M為地球質量，G為常量，求F對于r的瞬時變化率為 .(5)一杯的熱紅茶置于的房間里，它的溫度會逐漸下降，溫度（單位）與時間（單位：min）之間的關系由函數給出，則的符號為 ；的實際意義是 .(6) 已知圓面積為，利用導數的定

3、義求，試解釋其意義.（7）求函數在處的切線的方程；過原點作曲線yex的切線，求切線的方程.（8）已知函數，求函數的單調區間；求函數的極值，并畫出函數的草圖；當時，求函數的最大值與最小值.（9）欲制作一個容積為立方米的圓柱形儲油罐（有蓋），問它的底面半徑與高分別為多少時，才能使所用的材料最省？ (10)利用函數的單調性，證明下列不等式，并通過函數圖像直觀驗證：B 組(其中，為理科題)（）函數的導數是（ ）(A) (B) (C) (D) （2）函數的一個單調遞增區間是(A) (B) (C) (D) (3)如圖，直線和圓C，當從開始在平面上繞點O按逆時針方向勻速轉動（轉動角度不超過）時，它掃過的圓內

4、陰影部分的面積S是時間t的函數，這個函數圖象大致是(畫草圖) C S O O t(14)（理科）彈簧所受的壓縮力與縮短的距離按胡克定律計算.如果的力能使彈簧壓縮，那么把彈簧從平衡位置壓縮（在彈性限度內），要做的功為 （15）（理科）利用定積分的幾何意義求 （16）（理科）有一質量非均勻的木棒，已知其線密度為（取細棒所在的直線為軸，細棒的一端為原點），棒長為1，用定積分表示細棒的質量為M= （17）（理科）求由曲線與圍成的平面圖形的面積.（18）用長為 90cm ，寬為 48cm 的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉 90 度角，再焊接而成（如圖），問該容器

5、的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？（19）有一印刷品的排版面積（矩形）為400cm2，版心的左右各留4 cm2的空白，上下各留4 cm的空白，怎樣確定版心的高與寬的尺寸，才能使印刷品所用紙張面積最小？若實際情況要求版面的高不超過16cm，又應當怎樣確定版心的高與寬的尺寸，才能使印刷品所用紙張面積最小？（20）已知函數，若，證明：（九） 導數及其應用A 組參考答案或提示：（1）A，B (2)C，A；導函數值恒大于或等于零，函數總單調遞增（圖略）(3)D （4）（5）因為紅茶的溫度在下降； 的實際意義是在附近紅茶溫度約以的速率下降.（6）由定義得：，半徑為的圓面積的瞬時變化率為其周長。

6、(7)解：切點為，由點斜式得，即.設切點為由點斜式得，切線過原點，切點為由點斜式，得：即： （8）解：由，得，函數單調遞增；同理，或函數單調遞減.由得下表：0+0單調遞減極小值f(-2)單調遞增極大值f(2)單調遞減極小值=-16，極大值=16.由f(-x)=-f(x)，知f(x)是奇函數，得草圖如圖所示：結合及，得下表：0+端點函數值f(-3)=-9單調遞減極小值f(-2)=-16單調遞增端點函數值f(1)=11比較端點函數及極值點的函數值，得極小值=f(-2)=-16, (9)解：設圓柱的底面半徑為，高為，表面積為，則由題意有：， 且，則，令，得.當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增，

7、所以，當時，函數有極小值也是最小值（平方米），答：當底面半徑為1米，高為2米時，所用材料最省. (10)證明：（1）構造函數，當，得下表+0單調遞增極大值單調遞減總有（2）構造函數，當單調遞增，即：.綜上，不等式成立，如右圖. B組略解或提示:（）;或（理科要求：復合函數求導）（）， S選(A)或 O t（理科要求：復合函數求導）（） （14）解：由，得(15)利用導數的幾何意義：與x=0，x=2所圍圖形是以(0，0)為圓心，2為半徑的四分之一個圓，其面積即為（圖略）（16）.由定積分的定義得（17）由，得（圖略）（18）解：設容器的高為xcm，則長方體的長為(90-2x)cm，寬為(48-2x)cm，容器的體積為，且， V 有極大值，此極大值即為最大值.所以當x=10cm， V 有最大值答：該容器高為10cm時，容積最大為 （19）解：設版心的高為xcm，則版面的寬為，設印刷品所用紙張面積為y，則 ， 當單調遞減，當單調遞增，極小=另法：當且僅當即：時，所用紙張面積最小.若實際情況要求版心的高不超過16cm，則只能考慮函數的單調性，由知，單調遞減（草圖略），答：當版心設計高為20cm時，印刷品所用紙張面積最小；若實際情況要求版心的高不超過16cm，則版心設計高為16c