1、第5章 機械波5.1基本要求1理解描述簡諧波的各物理量的意義及相互間的關系.2理解機械波產生的條件掌握由已知質點的簡諧振動方程得出平面簡諧波的波函數的方法理解波函數的物理意義理解波的能量傳播特征及能流、能流密度概念3了解惠更斯原理和波的疊加原理.理解波的相干條件，能應用相位差和波程差分析、確定相干波疊加后振幅加強和減弱的條件.4理解駐波及其形成。5了解機械波的多普勒效應及其產生的原因.5.2基本概念1機械波機械振動在彈性介質中的傳播稱為機械波，機械波產生的條件首先要有作機械振動的物體，即波源；其次要有能夠傳播這種機械振動的彈性介質。它可以分為橫波和縱波。2.波線與波面 沿波的傳播方向畫一些帶有

2、箭頭的線，叫波線。介質中振動相位相同的各點所連成的面，叫波面或波陣面。在某一時刻，最前方的波面叫波前。3波長 在波傳播方向上，相位差為的兩個鄰點之間的距離稱為波長，它是波的空間周期性的反映。4周期T與頻率 一定的振動相位向前傳播一個波長的距離所需的時間稱為波的周期，它反映了波的時間周期性，波的周期與傳播介質各質點的振動周期相同。周期的倒數稱為頻率，波的頻率也就是波源的振動頻率。5波速 單位時間里振動狀態（或波形）在介質中傳播的距離。它與波動的特性無關，僅取決于傳播介質的性質。6平面簡諧波的波動方程 在無吸收的均勻介質中沿x軸傳播的平面簡諧波的波函數為或其中，“-”表示波沿x軸正方向傳播；“+”

3、表示波沿x軸負方向傳播。波函數是x和t的函數。給定x，表示x處質點的振動，即給出x處質點任意時刻離開自己平衡位置的位移；給定t，表示t時刻的波形，即給出t時刻質點離開自己平衡位置的位移。7波的能量 波動中的動能與勢能之和，其特點是同體積元中的動能和勢能相等。任意體積元的8平均能量密度、能流密度 一周期內垂直通過某一面積能量的平均值是平均能量密度，用表示。單位時間內，通過垂直于波傳播方向單位面積的平均能量，叫做波的能流密度，用表示。其中，9波的衍射 波在傳播過程中遇到障礙物時，其傳播方向發生改變，并能繞過障礙物而繼續向前傳播，這種現象稱為波的衍射（繞射）。10波的干涉 幾列波疊加時產生強度穩定分

4、布的現象稱為波的干涉現象。產生波的相干條件是：頻率相同、振動方向相同、相位差恒定的兩列波的疊加。加強和減弱的條件，取決于兩波在相干點的相位差， 時，合振幅達到極大，稱為干涉相長振幅為極小，稱為干涉相消。11駐波 它由兩列同振幅的相干波在同一直線上沿相反方向傳播時疊加而成。駐波方程：。12半波損失 波由波疏介質行進到波密介質，在分界面反射時會形成波節，相當于反射波在反射點損失了半個波長的過程。13多普勒效應 因波源或觀察者相對于介質運動，而使觀察者接收到的波的頻率與波源的振動頻率不同的現象。5.3基本規律圖5-11惠更斯原理 介質中波動傳到的各點均可看做能夠發射子波的新波源，此后的任一時刻，這些

5、子波的包跡就是該時刻的波前。據此，只要知道了某一時刻的波面，就可用幾何作圖的方法決定下一時刻的波面。因而惠更斯原理在很廣泛的范圍內解決了波的傳播問題。下面通過球面波的傳播來說明惠更斯原理的應用。如圖5-1所示，t時刻的波面是半徑為R1的球面 S1，按惠更斯原理，S1上的每一點都可以看成發射子波的點波源。以 S1面上各點為中心，以為半徑作半球面，這些半球面就是這些新的子波的波前，它們的包絡面S2就是（t+t）時刻的波面。2多普勒效應 當觀察者和波源之間有相對運動時，觀察者所測到的頻率和波源的頻率不相同的現象稱為多普勒效應。當波源與觀察者在同一直線上運動時，二者關系為。u：機械波在介質中的傳播速度

6、：波源相對于介質的速度：觀察者相對于介質的速度為觀察者接近波源時，前取“+”號，遠離時，則取“-”號；波源朝向觀察者運動時，前取“-”號，遠離時，則取“+”號。 5.4學習指導1重點解析下面將討論本章的習題分類及解題方法：（1）已知波動表達式求有關的物理量，如振幅、周期、波長、質元間的相位差等.通常采用比較法，即將已知的波動表達式與標準的波動表達式進行比較，從而找出相應的物理量；也可以根據各物理量的關系，通過運算得到結果。（2）已知波動的有關物理量，建立波動表達式基本步驟如下：（a）由題給條件寫出波源或傳播方向上某一點的振動表達式。(b)在波線上建立坐標后，任取一點P，距原點為x，計算出p點的

7、振動比已知點的振動在時間上超前或落后。設超前或落后的時間為t，將原振動表達式中加上或減去t，即得該波的表達式。也可計算出P點振動相位比已知點超前或落后，設超前或落后相位為，則將原振動表達式中的相位加上或減去。注意：超前為加，落后為減。為方便起見，有時常把波線上的已知點選為坐標原點。（3）已知波形曲線，建立波動表達式從波形曲線上確定有關的物理量。如波長、振幅等，特別要注意從曲線上確定某點（如原點）的振動相位，這可用旋轉矢量法或解析法確定，然后寫出該點的振動表達式，再根據傳播方向寫出波動表達式。例1 已知一平面波在t=0s時的波形曲線如圖5-2所示，波沿x軸正向傳播，已知波的周期.求（1）該波的波

8、函數；（2）點P處質元的振動方程。圖5-2分析：首先要選一個參考點，如坐標原點，求出該點處質元的振動方程，因此必須求出振動的特征量、。然后由圖中信息求出波長或波速，再根據波的傳播方向，寫出波函數。將P點x坐標值代入波函數即可求P處質元的振動方程。解：選坐標原點為參考點，由圖可知振幅，則圓頻率波沿x軸正向傳播，顯然，利用旋轉矢量法，畫出t=0時刻對應的旋轉矢量圖如圖5-3所示，則，于是原點處質元的振動方程為為求波函數，要求出波長或波速。先設波函數為由波形曲線可知t=0時刻，x=0.4m處，,代入波函數得所以波函數為（2）P點 x=0.8m代入波函數即可求P處質元的振動方程是（4）波的干涉和駐波波

9、的干涉問題主要是計算相干波在空間各處相遇是增強還是減弱，這可通過二者相位差或波程差來確定。駐波問題中，波腹和波節的位置是計算問題的重點，而寫出反射波是關鍵。例2 兩波在一根很長的弦線上傳播，其波動方程分別為求(1)兩波的頻率、波長、波速(2)兩波節疊加后的節點位置(3)疊加后振幅最大的那些點的位置解：（1）與標準的波動方程比較可得：頻率、波長、波速。（2）節點位置則有：（3）波腹位置：則有：（5）多普勒效應求解多普勒效應問題時，首先要分析波源和觀察者的運動情況，以便應用不同公式進行處理。應特別注意公式中符號規則。對于有反射面的情況，反射面相當于一個“觀察者”，分析反射波時相當于一個“波源”。2

10、難點釋疑疑難點1. 如何理解駐波，“半波損失”。兩列振幅相同、振動方向相同、頻率相同的相干波沿相反方向傳播時，就疊加形成駐波。其表達式為：波節位置：波腹位置：相鄰兩波節或波腹之間的距離為，相鄰波節間各點振動同相位，波節兩側范圍內媒質的振動相位差為。駐波沒有能量和相位的傳播，這就是駐波中“駐”字的含義。但不斷進行著動能和勢能的相互轉換，以及能量從波節到波腹和從波腹到波節的轉移。半波損失是指波由波疏介質進入波密介質時，在反射點處，反射波與入射波疊加形成波節。相對于入射波，反射波相位突變，相當于出現了半個波長的波程差。疑難點2. 波動過程任一體積元的機械能不守恒。圖5-4理想的諧振動系統是一個孤立系

11、統，在振動過程中，質點受保守力作用，系統的動能、勢能相互轉換，總機械能保持不變。波動過程中，雖然質元也在做簡諧振動，但質元振動的動能和勢能卻同時達到最大，同時減小變為零,和諧振動系統有著明顯的不同。在學習過程中，很多學生感到很困惑，這是學習中的一個難點。問題的關鍵是要理解勢能產生的原因：具有形變因而產生勢能。從圖5-4中可明確看到，質元在最大位移處幾乎沒有形變，在平衡位置處形變最大，故勢能最大。5.5習題解答5.1 一平面簡諧波在彈性媒質中傳播時，某一時刻在傳播方向上介質中某質元在負的最大位移處，則它的能量 (A) 動能為零，勢能最大(B) 動能為零，勢能為零(C) 動能最大，勢能最大(D)

12、動能最大，勢能為零解析：正確答案（B）介質中某質元的動能表達式，質元的彈性勢能，所以在波動傳播的介質中，任一體積元的動能、勢能均隨作周期性變化，且變化是同相位的。體積元在平衡位置時，動能、勢能和總機械能均最大。體積元的位移最大時，三者均為零。習題5.2圖5.2 一平面簡諧波的波動方程為y = 0.1cos(3ptpx+p) (SI)t = 0 時的波形曲線如圖所示，則 (A) O點的振幅為0.1m (B) 波長為3m (C) a、b兩點間相位差為p/2 (D) 波速為9m/s 解析：正確答案（C）波動方程的一般表達式是，對比所給波動方程可知：各個質點的振幅都是0.1m，波長，角頻率，所以波速。

13、a、b兩點間距離差是，對應的相位差是。5.3 某平面簡諧波在t = 0.25s時波形如圖所示,則該波的波函數為 Oy(cm)x(cm)t=0.25s0.5u=8cm/s習題5.3圖(A)(B)(C)(D)解析：正確答案（A）波動方程的一般表達式是，由圖可知，A=0.5cm , 所以x 前系數取負值。t=0.25s時，此時的相位是已知條件代入方程可得：所以，波的波函數為5.4 一余弦波沿x軸負方向傳播，已知x=-1m處振動方程為，若波速為，則波動方程為 (A) (B)(C) (D)解析：正確答案（C）沿x軸負方向傳播的波動方程的一般表達式是，本題中x=-1m處的相位是，相位差與波程差之間的關系是

14、，可知任意x處的相位比x=-1m的相位多，所以任意x處的相位是。5.5 頻率為100Hz，傳播速度為的平面簡諧波，波線上距離小于波長的兩點振動的相位差為，則此兩點相距 (A)1.5m (B)2.19m (C)0.5m (D)0.25m解析：正確答案（A）相位差與波程差之間的關系是，本題中，。5.6 兩列相干波沿同一直線反向傳播形成駐波,則相鄰波節間各質點的振動 (A)振幅相同,相位相同(B)振幅不全相等,相位相同(C)振幅相同,相位不同(D)振幅不全相等,相位不同解析：正確答案（B）駐波方程為，因此根據其特點，兩波節間各點運動振幅不同，但相位相同。5.7 在波長為的駐波中，兩個相鄰波腹之間的距

15、離為 (A) (B) (C) (D) 解析：正確答案（B）駐波方程為，波腹處質點就滿足條件是：，相鄰波腹間的距離是波長的一半，為。5.8 一機車汽笛頻率為750 Hz，機車以時速90公里遠離靜止的觀察者，觀察者聽到的聲音的頻率是（設空氣中聲速為） (A)810 Hz (B)699 Hz (C)805 Hz (D)695 Hz。 解析：正確答案（D）本題是多普勒效應的應用，機車汽笛是一個聲源，觀察者靜止。所以觀察者聽到的聲音的頻率可用公式：。選（D）5.9 t=0時刻波形曲線如左圖所示，此時a點運動方向 ，b點運動方向 ，坐標為x的質點振動曲線如右圖所示時，則a時刻運動方向 ，b時刻運動方向 。

16、習題5.9圖解析：-y,y, y,-y本題給出了兩個很相似的曲線圖，但本質卻完全不同。求解本題要弄清波動圖和振動圖的不同的物理意義。左圖是波形曲線，由波型狀態和傳播方向可知，a點運動方向是沿y軸負向，b點運動方向是沿y軸正向。右圖是振動曲線，由曲線和傳播方向可知，a點運動方向是沿y軸正向，b點運動方向是沿y軸負向。5.10 一橫波波函數為m，則頻率= ，波長= ,初相= 。 解析：100HZ,0.2m,波動方程的一般表達式是，對比將已知波的表達式，可知頻率=100HZ, 波長=0.2m, 初相=5.11波相干的條件是 。解析：兩列波相干的條件是頻率相同、振動方向相同、相位差恒定。5.12頻率為

17、500Hz的波，其波速為，相位差為的兩點間距離為 。解析：0.23m相位差與波程差之間的關系是，本題中，。5.13 沿x軸正向傳播的波，波速為，原點振動方程為，試求(1) 此波的波長。(4m)(2)波函數。(3)同一質元在1s末和2s末這兩個時刻的相位差(rad)(4),處兩質元在同一時刻的相位差解析：（1）由原點的振動方程知，振動周期T=2s .所以此波的波長是（2）由原點的振動方程可得波函數（3）同一質元在兩個時刻的相位差為（4）波線上兩點在同一時刻的相位差為B點比A點滯后。5.14 一橫波波函數為，求：(1) 振幅、波長、頻率和初相位(2)x=2m處質點在t=2s時振動的位移(3)傳播方

18、向上時間間隔為1s的兩質點的相位差解析：（1）將給定的方程化為與標準形式的波動方程比較，可得振幅A=0.5m，波長，角頻率，頻率，初相位（2）把x=2m，t=2s代入波函數，可得振動的位移。（3）本題目中，傳播方向上時間間隔為1s的兩質點之間的距離是兩個波長。對應的相位差是5.15 一波源位于坐標原點向x軸正方向發射一橫波，周期T=1s，波長=10m，振幅A=0.5m，當t=0s時刻波源振動位移恰好為正方向最大值，求：（1）波函數；（2）t1=0.25s時，x=2.5m處質點位移；（3）t2=0.5s時，x=2.5m處質點的振動速度。解析：波函數動方程一般形式是，要求波函數只要求振幅、波長、角

19、頻率和初相位。（1）振幅A=0.5m，波長=10m，角頻率，當t=0s時刻波源振動位移恰好為正方向最大值,可知此時對應的的相位是0，即是初相位。波函數是（2）t1=0.25s時，x=2.5m代入波函數，即可得質點位移（3）t2=0.5s時，x=2.5m處質點的振動速度習題5.16圖5.16 如圖所示為一平面簡諧波在t=0時刻的波形圖，設此簡諧波的頻率為250Hz，且此時質點P的運動方向向下，求(1) 該波的波動方程。(2) 在距原點為100m處質點的振動方程的表達式。 解析：由P點的運動方向，可判定該波向左傳播。對坐標原點處質元，t=0時的位置，有，所以原點的振動方程為波動方程為（2）在距原點

20、為100m處質點的振動方程是5.17 如圖所示為平面簡諧波在時的波形曲線，求該波的波動方程。 習題5.17圖解析：設x=0處質元的振動方程是由圖可知：A=0.1m,時，速度方向為+y方向，原點處質元的振動方程是該波的波動方程為5.18 一平面簡諧波以u=0.8ms-1的速度沿x軸負方向傳播。已知距坐標原點x=0.4m處質點的振動曲線如圖所示。試求：(1) x=0.4m處質點的振動方程(2) 該平面簡諧波的波動方程(3) 畫出t=0時刻的波形圖習題5.18圖解析：（1）振動方程的表達式，由圖可知振幅A=0.05m，T=1s,角頻率，t=0s時，位移是正的最大可知初相位。所以振動方程是（2）沿x軸

21、負方向傳播的平面簡諧波的波動方程的表達式其中A=0.05m，角頻率，波長，所以波動方程可寫成由x=0.4m處質點的振動方程可知，當t=0s, x=0.4m處質點的的相位是0， t=0s, x=0.4m代入波動方程可得相位表達式波動方程是（3）t=0代入波動方程可得。圖略5.19一平面波在介質中以u沿x軸正方向傳播，已知A點振動方程，A、B兩質點相距為d，xA<xB，求：（1）以A點為坐標原點寫出波動方程；（2）以B點為坐標原點寫出波動方程。解析：A點振動方程，將t換成就得到以A為原點的波動方程(2) 令x=d就得到B點振動方程,將式中t換成就得到以B為原點的波動方程5.20 一平面簡諧波

22、,頻率為300Hz,波速為340ms1,在截面積為3.00×102m2的管內空氣中傳播,若在10s內通過截面的能量為2.70×102J,求(1) 通過截面的平均能流；(2) 波的平均能流密度；(3) 波的平均能量密度.解析：（1）通過該截面的平均能流（2）波的平均能流密度（3）波的平均能量密度由于所以 5.21 一正弦波沿直徑為d的圓柱傳播，波的平均能量密度為，頻率為200Hz，波速為200ms-1，求：（1）波的平均強度；（2）每兩個相鄰相面波帶中含能量，求d。解析：本題要求能正確的理解波的平均能量密度、波的平均強度，及相互之間關系。（1）（2），可得CAB習題5.22圖

23、5.22 湖面上方 h=0.5m 處有一電磁波接收器,當某射電星從地面上漸漸升起時,接收器可測得一系列波強的極大值。已知射電星所發射的電磁波的波長=20cm,求第一個極大值時射電星的射線與鉛垂線夾角。(湖水可看作電磁波的反射體。電磁波的干涉與機械波的干涉有同樣的規律,電磁波從空氣射向水面而反射時有半波損失)解析：接收器測得的電磁波是射電星所發射的信號直接到達接收器的部分與經湖面反射的部分相互干涉的結果。解 計算波程差極大時，取k=1，習題5.23圖5.23 圖示為聲音干涉儀,用以演示聲波的干涉。 S 為受電磁鐵影響而振動的薄膜, D為聲音探測器,如耳機或話筒。路徑 SBD的長度可以變動,而路徑

24、 SAD 的長度是固定的, 干涉儀內是空氣。現測知聲音強度在 B的第一位置時為極小值100單位, 而漸增至 B 距第一位置為1.65×10- 2m 的第二位置時, 有極大值900單位。求:(1) 聲源發出的聲波頻率:(2) 抵達探測器的兩波的相對振幅。(空氣中聲速設為)解析：聲波沿路徑 SBD和路徑 SAD分別分別傳到D處時產生干涉。產生極小值時波程差產生極大值時波程差根據條件可知,k=k+1所以（2）抵達探測器的兩波的相對振幅是2習題5.24圖5.24 如圖所示，S1和S2為相同的聲源，當L1L2時，P點聽到了較大的聲音，若隨著L1逐漸增加，當L1-L2為20.0cm,60.0cm

25、和100.0cm時，在P點聽到的聲音最弱。求聲源的頻率。已知聲速為。解析：當L1L2時，P點聽到了較大的聲音，說明S1和S2為同相位的聲源。當S1和S2中一方為波峰另一方為波谷到達P點，聲音最弱。故L1L2為，等時，聲音最弱。所以P點連續兩次聲音最小時，L1增加的距離為，由已知數據得。聲源頻率為 5.25如圖所示，原點O是波源，振動方向垂直于紙面，波長是。AB為波的反射平面，反射時無相位突變。O點位于A點的正上方，AO=h。ox軸平行于AB。求ox軸上干涉加強點的坐標。（限于x>0）習題5.25圖解析：沿ox軸傳播的波與從AB面上的P點反射來的波在x處相遇，兩波的波程差是代入干涉加強的條件，有可得（當x=0時，由，可得）5.26 如圖，一角頻率為，振幅為A的平面簡諧波沿x軸正方向傳播。設在t=0時該波在原點O處引起的振動使介質質點由平衡位置向y軸的負方向運動。M 是垂直于x軸的波密介質反射面。已知，（為該波波長），設反射波不衰減，求：（1）入射波與反射波的表達式；（2）P點的振動方程。習題5.26圖解析：平面簡諧波的波動方程的表達式，對于入射波，x前系數取負號，反射波取正號。題目已知條件是：t=0時該波在原點O處引起的振動使介質質點由平衡位置向y軸的負方向運動，由旋轉矢量法可知相位是，即是初相位