1、-16 -中考數學幾何模型11 :阿氏圓最值模型名師點睛 撥開云霧開門見山在前面的 胡不歸”問題中，我們見識了 “kPA+PB最值問題，其中P點軌跡是直線，而當 P點軌跡變為 圓時，即通常我們所說的阿氏圓”問題.【模型來源】“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點，點P滿足PA: PB=k ( kl),則滿足條件的所有的點P的軌跡構成的圖形為圓這個軌跡最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱“阿氏圓”【模型建立】2如圖1所示，O O的半徑為R,點A、B都在O O夕卜，P為O O上一動點，已知R=-52 連接PA PB,則當“ PA+PB”的值最小時，P點的位置如何確定？5OB,2

2、2解決辦法：如圖2,在線段 0B上截取0C使0C= R，則可說明 BPO與厶PCO相似，則有PB=PC。552故本題求“ PA+PB ”的最小值可以轉化為 “PA+PC ”的最小值，其中與A與C為定點，P為動點，故當A、5P、C三點共線時，“ PA+PC”值最小。【技巧總結】計算PA kgPB的最小值時，利用兩邊成比例且夾角相等構造母子型相似三角形問題：在圓上找一點 P使得PA kgPB的值最小，解決步驟具體如下：1. 如圖，將系數不為1的線段兩端點與圓心相連即 OP，OBOP2. 計算出這兩條線段的長度比kOB OCpc3. 在OB上取一點C,使得k ,即構造 POMBOP，貝yk , PC

3、 kgPBOPPB4. 則PA kgPB=PA PC AC，當A、P、C三點共線時可得最小值典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，在 RtAABC中，/ C=90 , AC=4 , BC=3，以點C為圓心，2為半徑作圓 C,分別交AC、BC 于D、E兩點，點P是圓C上一個動點，則 丄PA PB的最小值為2變式練習>>>APBP,1. 如圖1,在RTA ABC中，/ ACB=90, CB=4, CA=6,圓C的半徑為2,點P為圓上一動點，連接11求AP -BP，2AP BP，AP BP ,AP 3BP的最小值23AB5例題2.如圖，點C坐標為（2,5），點A的坐標為（7,0）

4、,O C的半徑為.10 ,點B在O C上一動點，OB的最小值為.變式練習>>>2. 如圖，在平面直角坐標系xoy中，A(6,-1), M(4,4)，以M為圓心，2 2為半徑畫圓，O為原點,例題3.如圖，半圓的半徑為1,AB為直徑，AC、BD為切線，AC= 1, BD = 2, P為上一動點，求PC+PD的最小值.變式練習>>>3. 如圖，四邊形 ABCD為邊長為4的正方形，O B的半徑為2, P是OB上一動點，則PDPC的最小值 為；: PD+4PC的最小值為 .AD1例題4.如圖，已知正方 ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則 P

5、D - PC的2最大值為.變式練習>>>4. (1)如圖1,已知正方形 ABCD的邊長為9，圓B的半徑為6,點P是圓B上的一個動點，那么PD的最小值為，PD -諛的最大值為.(2)如圖2,已知菱形 ABCD的邊長為4, / B = 60°圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，那么 丄二的最大值為 .1例題5.如圖，拋物線 y=- x2+bx+c與直線AB交于A (- 4, - 4), B (0, 4)兩點，直線 AC: y=- x- 62交y軸于點C.點E是直線AB上的動點，過點 E作EF丄x軸交AC于點F,交拋物線于點 G.(1 )求拋物線y= - x2+bx+

6、c的表達式；(2)連接GB, E0,當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點 G的坐標；(3)在y軸上存在一點H,連接EH, HF,當點E運動到什么位置時，以 A, E, F, H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點 E, H的坐標；在的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點 M為O E上一動變式練習>>>5. 如圖1,拋物線y= ax2+ (a+3) x+3 (a0與x軸交于點 A (4, 0)，與y軸交于點B,在x軸上有一 動點E (m, 0) (Ov mv 4),過點E作x軸的垂線交直線 AB于點N ,交拋物線于點 P,過點P作PM丄AB 于點M .(1) 求a的值和直線A

7、B的函數表達式；(2) 設厶PMN的周長為Ci, AEN的周長為C2，若，求m的值；(3) 如圖2，在(2)條件下，將線段 0E繞點0逆時針旋轉得到 0E',旋轉角為a ( 0°< aV 90° ,連 接E A、EB，求EA+Ze'B的最小值.3領悟提升強化落實達標檢測1.如圖，在RTAABC中，/ B=90°, AB=CB=2,以點B為圓心作圓與 AC相切，圓C的半徑為、2，點P為圓B上的一動點，貝U AP子PC的最小值OO, P是O O上一動點，則 2PA+PB的最小值為6,內切圓記為 O O, P是O O上一動點，則2PB+PC的最小值

8、為AP - PB24. 如圖，在Rt ABC中，/ C=90° CA=3, CB=4, e C的半徑為2，點P是e C上的一動點，則象限內的5.如圖，在平面直角坐標系中，A 2,0，B 0,2 ，C 4,0 ，D 3,2，P是厶AOB外部第一動點，且/ BPA=135°，則2PD PC的最小值是多少？6. 如圖，Rt ABC, / ACB = 90° AC= BC= 2，以C為頂點的正方形 CDEF (C、D、E、F四個頂點按逆 時針方向排列)可以繞點 C自由轉動，且 CD =.-：,連接AF , BD(1)(2)當正方形CDEF有頂點在線段AB上時，直接寫出 BDAD的值;直接寫出正方形 CDEF旋轉過程中，BD+ ：(3)AD的最小值.求證： BDCAFC ;7. (1)如圖1，在 ABC中，AB= AC, BD是AC邊上的中線，請用尺規作圖做出AB邊上的中線 CE，并證明BD = CE :(2) 如圖2