1、5.阻尼振動的動力學(xué)方程為第九章基本知識小結(jié)L物體在線性回復(fù)力 F = - kx ,或線性回復(fù)力矩° = - c（f）作用下,2的運動就是簡諧振動，其動力學(xué)方程為粵 o2x 0,（x表dt2示線位移或角位移）；彈簧振子：02 o2=k/m,單擺：02 o2=g/l,扭擺： 3 02=C/I.2 .簡諧振動的運動學(xué)方程為 x = Acos（ co ot+ a ）;圓頻率、頻率、 周期是由振動系統(tǒng)本身決定的，co o=2兀/T=2tiv;振幅A和初相a 由初始條件決定。3 .在簡諧振動中，動能和勢能互相轉(zhuǎn)換，總機械能保持不變；對于彈簧振子，Ek Ep 2kA2 gm 02A2。4 .兩個

2、簡諧振動的合成1 2.d x . dx2dt2 dt其運動學(xué)方程分三種情況：在弱阻尼狀態(tài)（3 V 3 o）,振動的方向變化有周期性，x Ae t cos（ 't ）,' y o22 ,對數(shù)減縮=3 T'.在過阻尼狀態(tài) （3 >3 o）,無周期性，振子單調(diào)、緩慢地回到 平衡位置。臨界阻尼狀態(tài)（3 =coo）,無周期性，振子單調(diào)、迅速地回到 平衡位置6.受迫振動動力學(xué)方程g 2 包o2x focos t；dt dt其穩(wěn)定解為 x Ao cos（ t ） , 3是驅(qū)動力的頻率，Ao和（f）也不分振動特點合振動特點方1可相同，頻率相同與分振動頻率相同的簡諧振動A a -

3、± 2n兀合振幅取大A a =±（2n+1）兀 合振幅最小方1可相同，頻率小同，頻 率成整數(shù)比不是簡諧振動，振動周期等于分振動 周期的最小公倍數(shù)方1可相同，頻率小同，頻 舉較局，又非常接近出現(xiàn)拍現(xiàn)象，拍頻等于分振動頻率之 差方向垂直，頻率相同運動軌跡一般為橢圓A a =± 2n兀簡諧振動（I出象限）A / =±（2n+1）兀簡諧振動（n IV象限）方向垂直，頻率小向，頻 率成整數(shù)比利薩如圖形，花樣與振幅、頻率、初 相啟美是由初始條件決定，Aotg2_2,o 2 時,22 2.22o )4發(fā)生位移共振。9.2.1 一剛體可繞水平軸擺動。已知剛體質(zhì)量為 m,

4、其重心C和軸O間的距離為h,剛體對轉(zhuǎn)動軸線的轉(zhuǎn)動慣量為I。問剛體圍繞平衡位置的微小擺動是否是簡諧振動？如果是，求固有頻率，不計一 切阻力。解：規(guī)定轉(zhuǎn)軸正方向垂直紙面向外，忽 略一切阻力，則剛體所受力矩t= - mghsin()因為是微小擺動，sin()(),.'. = = - mgh(), 即剛體是在一線性回復(fù)力矩作用下在平衡位 置附近運動，因而是簡諧振動。由轉(zhuǎn)動定理：mgh22Id /dt設(shè)m向下偏離平衡位置 x,彈簧1伸長A L，彈簧2 伸長A L2, AL1+AL2 = x (1);由于忽略彈簧質(zhì)量， 兩個彈簧連接點處所受的兩個彈力等大反向，即匕k1AL1 = k2AL2 (2)

5、;由、解得：L2 /x,所以-所受的回復(fù)力 Fk2 L2$4x,k kk1 k 2由牛頓二定律;k1k2_ d2xFx m不k1 k20- m(k1 k2),未串聯(lián)前頻率mgh-T 0mghT，0mghIk1 k2m(% k2)9.2.2輕彈簧與物體的連接如圖所示,物體質(zhì)量為m,彈簧的勁度系數(shù)為ki和k2,支承面為理想光滑面，求系統(tǒng)振動的固有頻率。解：以平衡位置為原點建立 坐標o-xo設(shè)m向右偏離平衡位 置x,則彈簧1被拉長x,彈簧2kik2m o(ki被壓縮x, m所受的合力(即回復(fù)力)k2)x.由牛頓第二定律：(k1 k2)xYx 02 k1 k20mk1 k2m9.2.3 一垂直懸掛的彈

6、簧振子，振子質(zhì)量為m,彈簧的勁度系數(shù) 為k1.若在振子和彈簧k1之間串聯(lián)另一彈簧，使系統(tǒng)的頻率減少一半。 問串聯(lián)上的彈簧的勁度系數(shù) k2應(yīng)是k1的多少倍？解：以兩個彈簧串聯(lián)后 m的平衡位置為原點建立圖示坐標o-x,即¥益三:后，可求得:k24k19.2.4單擺周期的研究：單擺懸掛于以加速度 a沿水平方向直 線行駛的車廂內(nèi)；單寸g懸掛于以加速度a上升的電梯內(nèi)；單擺懸掛于以加速度a (a<g)下降的電梯內(nèi)。求此三種情況下單擺的周 期，擺長為I.解：以車為參考系，單擺受力如圖示, 設(shè)平衡位置與豎直線成“角，由平衡條件：T sin ma,T cos mg, tg a/g設(shè)單擺偏離平衡位

7、置角位移為0mgl sin( ) mal cos(mlg(sin cos(0<5° ),單擺所受回復(fù)力矩:)cos sin ) a(cos cos5 , cos 1, sin , g sin mlg(sin cos ) a(cos ml(g cos a sin )a cossin )由轉(zhuǎn)動定理:2 d2ml主sin sin )ml(gcos a sin ),d2 g cos asin m l0, cos2222 g cos asina g0l-1-12_1108 10 313 2k 2 m 026.02 1023(210 )354N / ma / , a2以上求解較為麻煩，我們

8、可以用另外一種簡捷的思路和方法：在重力場中單才g的周期為 T 2 J/ , g是重力場強度現(xiàn)在單擺在力場 mg' mg f * mg ma中振動，力場強度:g' g a, g' g2 a2,T 2 . g, 2 汽g a以電梯為參考系，平衡位置仍然在鉛直方向，由轉(zhuǎn)動定理：(mg ma)l sinm(g a)l ml2$d2 g a dt70,同樣可以認為單擺在力場mg' mg ma中振動，力場強度:9.2.6 一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為k=9.8N/m,物體的質(zhì)量為200g,現(xiàn)將彈簧自平衡位置拉長 2丁2 cm并給物體一遠離平衡位置的 速度，其大小為7.0cm

9、/s,求該振子的運動學(xué)方程(SI)。解：彈簧振子的圓頻率0 忑 v,H7.設(shè)振子的運動學(xué)方程為 x Acos(7t ) (1), v f 7Asin(7t ) (2).據(jù)題意，t=0時，x 2衣 10 2m,v 7.0 102m/s,代入、 中，有 2.2 10 2 Acos (1)',7.0 10 2 7Asin (2)' 由、可解得：A=3X10-2m； cos2j2/3,sin1/3,a o = - 0.34rad.代入(1)中，振子的運動學(xué)方程為：x = 3X 10-2 cos (7t - 0.34).與前面分析完全相同,WWWg' g a, T 2 / 2 人

10、9.2.5在通常溫度下，固體內(nèi)原子振動的頻率數(shù)量級為1013X1023個原子，現(xiàn)僅考慮一列原子， 且假設(shè)只有一個原子以上述頻率振 動，其它原子皆處于靜止，計算一根彈簧的勁度系數(shù)。解：利用9.2.2題的結(jié)果：kkk1 k2-2k匚0, m mx 103x 106dyn/cm的彈簧下面，求其振動的周期；在 t=0 時，物體距平衡位置的位移為+0.5cm,速度為+15cm/s,求運動學(xué)方程。解：以平衡位置為坐標原點，建立圖示坐標o-x0 HJ61山石OT “102 100.199s設(shè)運動學(xué)方稱為x Acos(10. 10t)10v110Asin(10v10t) x i0-2,v=15 x 10-2

11、代入，有0.5 10 2 Acos ，3 10 2/(2%，而)Asin 2+2,可求得 A2X10-4X10-3m,將a值代入、中得：cos 0.726, sin 0.688,0.759 rad所以，運動學(xué)方程為：x 6.89 10 3 cos(10，. 10t 0.759)9.2.8 一簡諧振動的規(guī)律為 x=5cos(8t+兀/4)，若計時起點提前0.5s,其運動學(xué)方程如何表示？欲使其初相為零，計時起點應(yīng)提前或推遲若干？一簡諧振動的運動學(xué)方程為x=8sin(3t-兀，若計時起點推遲1s,它的初相是多少？欲使其初相為零，應(yīng)怎樣調(diào)整計時起點？畫出上面兩種簡諧振動在計時起點改變前后t=0時旋轉(zhuǎn)矢

12、量的位置。解：設(shè)計時起點提前t0秒，則t'=t+t0,將t=t'-t0代入原方程得x=5cos(8t'-8t 0+ 兀 /4).當 t0=0.5s 時，x=5cos(8t'-4+ 兀/4)=5cos(8t'-184o)=5cos(8t'+176o)若使初相為零，令-8t0+兀/4=0,得t0=Tt/32,即計時起點提前兀/32秒可使初相為零。原方程x=8sin(3t-兀)=8cos(3t-3兀/2).設(shè)計時起點推遲t0秒，則 t'=t-t °,將 t=t'+t 0 代入原方程得 x=8cos(3t'+3t 0-3

13、 兀 /2).當 t0=1s 時，x=8cos(3t'+3-3 兀/2)=8cos(3t'-98o),，t0=1s 時，初相a = (3-3 兀/2) rad=-98o若使初相為零，令3t0-3兀/2=0,得t0=7t/2,即計時起點推遲兀/2秒可使初相為零。t=09.2.9 畫出某簡諧振動的位移-時間曲線，其振動規(guī)律為x=2cos2 兀(t+1/4) (SI 制).解：由運動學(xué)方程可知：A=2m, co 0=2 it ,T=2 tt /co 0=1s, a =兀/2.方法一：根據(jù)余弦函數(shù)圖像規(guī)律：相位=0,兀/2,兀，3兀/2,2兀時，其對應(yīng)的位移為 A,0,-A,0,A.因

14、此只要求出對應(yīng)的時間t即可畫出x-t圖像。令 2兀(t+1/4)=0,兀/2,兀，3兀/2,2兀；可求得對應(yīng)的時間為 -1/4,0,1/4,2/4,3/4.找出這些特殊點，即可畫出 x-t曲線。方法二：令t'=t+1/4得x=2cos2兀t',以1/4秒為t軸的時間單位， 先畫出它的x-t'圖像。然后根據(jù)t=t'-1/4，將o-x軸右移1/4即得到x-t 圖像。9.2.10 半徑為R得薄圓環(huán)靜止于刀口 O上，令其在自身平面內(nèi) 作微小的擺動。求其振動的周期。求與其振動周期相等的單擺 的長度。將圓環(huán)去掉2/3而刀口支于剩余圓環(huán)的中央，求其周期與整圓環(huán)擺動周期之比。解

15、：如圖示，t o=-mgRsin()-mgR() 由平行軸定理，Io=mR2+mR2=2mR2；據(jù)轉(zhuǎn)動2 d2Omgth理。o=lo3 ,mgR 2mR 正，即單擺的周期為T 2 藍與薄圓環(huán)振動周期相等的單擺的擺長L=2R.o設(shè)剩余圓環(huán)的質(zhì)心在c處，質(zhì)量為T7 曠 , , ,、一oo T C1' cm/3.據(jù)平行軸 te 理：Io=Ic+mr2/3;Io = mR2/31=I c+m(R-r) 2/3, . Ic=mR2/3-m(R-r) 2/3=2mRr/3-mr 2/3o1代入前式得Io=2mRr/3.設(shè)余環(huán)擺角為九則r o= - mgr()o o=Io 3 o,有 -mgr()/

16、3=(2mRr/3)d 2 4 /dt2,即*親 0, oJ崇T27 2，號.由于和剩余環(huán)的大小無關(guān)，可知，無論剩余環(huán)多大，只要刀口支于剩余環(huán)的中央, 其振動周期就和整個圓環(huán)的振動周期相等。9.2.11 1m長的桿繞過其一端的水平軸作微小的擺動而成為物理 擺。另一線度極小的物體與桿的質(zhì)量相等，固定于桿上離轉(zhuǎn)軸為h的地方。用T0表示未加小物體時日f子的周期，用T表示加上小物體以后的周期。求當h=50cm和h=100cm時的比值T/T。.是否存在 某一 h值，可令T=T。,若有可能，求出h值并解釋為什么h取此值時 周期不變。解：為簡便起見，借用 9.2.1題中求得的結(jié)果，物理擺的周期T 2 %；擊

17、 (1),其中hc為擺質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離。 mg“c_2 _ 2 .I 3m0lm0h 代入(1)中 T 2 ；rn). 上胃獷T0l2 2hl_22當時，/0.9354當 l=1m,h=l=1m 時，To； 1 11.155令 T=T0,即 l2 3h2 l2 2hl, h(3h 2l) 0 ,解得: h=0, h=2l/3 .在h=0處加小物體，即把物體放在轉(zhuǎn)軸處，對擺的擺動毫無影響，故周期不變。由T02 可知，此物理擺的等效單擺長度為3l ,因此，在h -fl處加小物體，相當于只增加單擺的質(zhì)量，沒有 改變單擺的長度，故周期不變。9.2.12天花板下以0.9m長的輕線懸掛一個質(zhì)量為 0.9k

18、g的小 球。最初小球靜止，后另一質(zhì)量為0.1kg的小球沿水平方向以 1.0m/s 的速度與它發(fā)生完全非彈性碰撞。求兩小球碰后的運動學(xué)方程。解：設(shè) m=0.9kg,m 2=0.1kg,碰前 m2的速度 為v20=1.0m/s,碰后兩球的共同速度為vo.由動量守恒，有m2V20(m1 m2)v0未加小物體時：m m0, I12m0l2 m0(；)2 |m0l2Vom2 V20ml m20.1 1.00.9 0.10.1m/shc匕代入(1)中To 2 £加小物體后： m 2m0, hc (m0h m0 )/ 2m0匕學(xué)方程 x Acos(3.3t)(1),v *3.3Asin(3.3t)

19、 (2)碰后兩球構(gòu)成一個單擺，圓頻率 0 g V1-83.3.設(shè)運動將 t=0 時,x=0,v=0.1 代入，得:0=Acos a 'a 'a要同時滿足，只有取a =-兀/2;代入得A = 0.03.所以運動學(xué)方程為：x 0.03cos(3.3t )9.2.13 質(zhì)量為200g的框架，用一彈簧懸掛起來，使彈簧伸長10cm,今有一質(zhì)量為200g的鉛塊在高30cm處從靜止開始落進框架,求鉛快落進框架后的運動學(xué)方程。解：設(shè)a為彈簧自由伸長時框架的位置，b為碰前框架的平衡位置，o為碰后平衡位置并取作坐標原點。據(jù)題意：x 9.8/0.1=19.6N/m,設(shè)碰后鉛塊與框架獲得的共同速度為v

20、',由動9.2.14 質(zhì)量為200g的框架，用一彈簧懸掛起來，使彈簧伸長 10cm,框架下方有一質(zhì)量為 20g的小球豎直向上飛來，與框架發(fā)生 完全彈性碰撞，已知小球碰前速度為 10m/s,求碰后框架的運動學(xué)方 程。解：以框架平衡位置為坐標原點，據(jù)題意：k 0.2 9.8/0.1 19.6,。總泮 9.9設(shè)小球質(zhì)量為 m',小球碰前速度為 vo',小球碰后速 度為v',框架碰前靜止，碰后速度為vo由動量守恒：m'v0' mv0 m'v',由牛頓碰撞公式：Vo vVo2m'vo'2 OS (10)20由此求語.vomm

21、' 0.2 0.02111 .82m/ s設(shè)運動學(xué)方程 x Acos(9.9t ),v9.9Asin(9.9t)量守回：m . 2gh 2mv',v'2gh/22 9.8 0.3/2 1.21代入初始條件：0 Acos ，1.82 9.9Asin 碰后框架與鉛塊振動的圓頻率0 d*、需 7,設(shè)振動的運動學(xué)方程為 x Acos(7t), v 7Asin(7t)，將振動的初始條件：t=0時,x = -0.1, v = v'=1.21代入，有：0.1 Acos,1.217Asin，即 0.173 Asin ，2,得：A2( 0.1)2 ( 0.173)20.04, A

22、 0.2m,將 A值代入、中得：cos a = -0.5, sin a = -0.865, a = -120° = -2 兀 /3所以，運動學(xué)方程為：x 0.2cos(7t f )3由知a =±兀/2,為滿足式，取a =兀/2,代入所以，運動學(xué)方程為：x 0.184cos(9.9t/)9.2.15 質(zhì)量為m的物體自傾角為。的光滑斜面頂點處由靜止而 滑下，滑行了 l遠后與一質(zhì)量為 m'的物體發(fā)生完全非彈性碰撞。m'與勁度系數(shù)為k的輕彈簧相連。碰撞前m'靜止于斜面上，如圖所示。 問兩物體碰撞后作何種運動，并解出其運動學(xué)方程。 已知m=m =5kg, k=

23、490N/m, 0 =30o,l=0.2m.解：設(shè)a為彈簧自由 伸長處，b為只有m'時的 平衡位置，。為m與m'粘 在一起時的平衡位置.以。 為原點，建立圖示 o-x坐標。由平衡條件有：m'g sin kab, (m m')g sin kao .ob ao ab mg sin / k 5 9.8 0.5/490 0.05m2設(shè)m與 m碰刖速度為 vi,由能量守恒，mglsinmv1 ,v1J2gl sinv2 9.8 0.2 0.5 1.4 .設(shè) m 與 m'碰后共同速度為 vo,由動量守恒 mv, (m m')v0,v0 m、 4 0.7m/s

24、顯然，碰撞后兩小球在平衡位置。附近作簡諧振動，其圓頻率o J蟲 %；黑7.設(shè)運動學(xué)方程為x Acos(7t )(1),速度v祟 7Asin(7t ) (2).將初始條件t 0,x0.05,v 0.7 代入得： 0.05 Acos (1), 0.77Asin(2)'可解得：A=0.1118m, a = - 1.107rad.，x 0.1118cos(7t 1.107)o,求其周期和振動的總能量，重球最低處勢能為零。解：T 2吠 2 3.1%陪8 16.7s；根據(jù)能量守恒，振動 的總能量等于擺在最高點時的勢能E mgl(1 cos max) 28 9.8 69(1 cos5 ) 72 j9

25、.3.2 彈簧下面懸掛質(zhì)量為 50g的物體，物體沿豎直方向的運動 學(xué)方程為x=2sin10t,平衡位置為勢能零點(時間單位：s,長度單位；cm).求彈簧的勁度系數(shù)，求最大動能，求總能。解：:02 M k m 02 0.05 102 5N/m v W 20cos10t, vmax 20cm/s 0.2m/sEkmax 4 mvmax20.5 0.05 0.22 1.0 10 3 jk max 2 max X 10-3j9.3.3 若單擺的振幅為。，試證明懸線所受的最大拉力等于mg(1+ 0 02)證明：單擺的運動學(xué)方程為：0 cos( 0t )角速度 d /dt 0 0sin( 0t在法向方向應(yīng)

26、用牛頓第二定律:T mgcos man m 2l22T mgcos ml 0 0 sin( 0t)2 g5 , cos 1, 07，0 t2 時)T 最大22、所以,Tmax mg mg ° mg(1 ° )9.4.1在電子示波器中，由于互相垂直的電場的作用，使電子在熒光屏上的位移為x = Acos w t, y = Acos( 3 t+ a ).求出a =0,兀/3,兀/2時的軌跡方程并畫圖表示。y解：a =0時，軌跡方程y=x,如圖a所示。J a =兀 /3 時， x = Acos w t,-Jo *xy = Acos( co t+ 兀 /3)= A(cos w t c

27、os 兀 /3 sin w t sin 兀 /3)=A( cos t *sin t) x 號 JA2x2 .由上式可得x 2y < 3(A2 x2),兩邊平方可得 x2 y2 xy A20令 x x'cos45 y'sin 45 , yx'sin 45 y'cos45 .代入上式可得 x'2 /(v'!a)2y'2/(或 A)2其軌跡為如圖所示的斜橢圓。兀 /2 時，x Acos t,y Acos(則 x2 y2A2 ,其軌跡是半徑為 A的圓。9.6.1某阻尼振動的振幅經(jīng)過一周期后減為原來的 頻率比振動系統(tǒng)的固有頻率少幾分之幾？（弱

28、阻尼狀態(tài)）1/3,問振動解：對于弱阻尼振動：x Ae t cos（ 't），,2220由題意Aet / Ae(t T')3,兩邊取對數(shù)得T'ln 3,T'小/T'2/ln3,0,22,(2 /ln3)2 1(2 /ln 3)2 1 2 /ln3,(2 /ln3)2 11.49%第十章波動基本知識小結(jié)l平面簡諧波方程y Acos （t合）Acos（ t kx）；9.6.2阻尼振動起初振幅A0=3cm ,經(jīng)過t=10s后振幅變?yōu)锳1=1cm ,問經(jīng)過多長時間，振幅將變?yōu)锳2=0.3cm?（弱阻尼狀態(tài)）解：弱阻尼狀態(tài)運動學(xué)方程為： xAet cos（'

29、t）t 0,Ao A 3;t 10, AAe101,lnln310,ln3/10.設(shè) t=t2時，振幅變?yōu)锳2Ae t20.3,lneln3t2t2ln10/10ln10/ln3 21.0s9.7.1某受迫振動與驅(qū)動力同相位，求驅(qū)動力的頻率。解：tg 一。即為受迫振動與驅(qū)動力的相差，。 二0, 0tg。=0，而3為有限值，一 0.2.彈性波的波速僅取決媒質(zhì)性質(zhì)：彈性體中橫波的波速 v v n /,彈性體中縱波的波速 v YTT ,流體中縱波波速v 了k廠，繩波波速v JT廠。3.波的平均能量密度 m2A2,波的平均能流密度A=0.1cm,波長 1m,周期為 10-2s,9m和10m兩波面上的相

30、位差是o-x軸沿波傳播方向，則波方y(tǒng) Acos (t 弋)A cos 2G -) 10 3 cos2 (100t x)I 12A2V。4 .波由波密射向波疏媒質(zhì)，在邊界處，反射波與入射波相位相 同；波由波疏射向波密媒質(zhì)，在邊界處，反射波比入射波相位落后 兀，相當損失半個波長；例如：在自由端無半波損失，在固定端有 半波損失。5 .振動方向相同、頻率相同、位相差恒定的二列波叫相干波， 相干波疊加叫波的干涉。6 .振幅相同、傳播方向相反的兩列相干波疊加產(chǎn)生駐波現(xiàn)象；駐波方程 y 2Acos x cos t；波節(jié)兩邊質(zhì)元振動相位相反，兩個波節(jié)之間質(zhì)元振動相位相同；相鄰波節(jié)或相鄰波腹間距離為入/2,相鄰

31、波腹波節(jié)間距離為入/4。7.多普勒公式：v' VVV,在運用此公式時，以波速V為正方 向，從而確定V0、Vs的正負。10.2.1頻率在20至20000Hz的彈性波能使人耳產(chǎn)生聽到聲音的 感覺。0oC時，空氣中的聲速為331.5m/s,求這兩種頻率聲波的波長。解： V v , V/v, 1V/V1 需 16.58m32 V/v2 331.5/20 16.58 10 m10.2.2 一平面簡諧聲波的振幅，頻率為 1483Hz,在20oC的水 中傳播，寫出其波方程。解：查表可知，波在 20oC的水中傳播，其波速 V=1483m/s.設(shè) o-x軸沿波傳播方向，x表示各體元平衡位置坐標，y表示各

32、體元相對平衡位置的位移，并取原點處體元的初相為零，則：y Acos2 v(t 力 0.001cos(2966 t 2 x)10.2.3 已知平面簡諧波的振幅 寫出波方程(最簡形式).又距波源 多少？解：取坐標原點處體元初相為零, 程的最簡形式為2 (100t 9) 2 (100t 10) 210.2.4 寫出振幅為A,頻率v=f,波速為V=C,沿o-x軸正向傳播的 平面簡諧波方程.波源在原點o,且當t=0時，波源的振動狀態(tài)是位移 為零，速度沿o-x軸正方向。解：設(shè)波源振動方程為y Acos( t ). t=0 時，y Acos 0, u-dyAsin 0,1波方程 y Acos2 v(t =)

33、, Acos2 f(t )510.2.5已知波源在原點(x=0)的平面簡諧波方程為y Acos(bt cx), A,b,c均為常量.試求：振幅、頻率、波速和波長；寫出在傳播方向上距波源l處一點的振動方程式，此質(zhì)點振動的初相位如何？解：將y Acos(bt cx)與標準形式y(tǒng) Acos( t kx)比較，w =b,k=c,，振幅為 A,頻率v=co/2兀=b/2兀，波速V= w /k=b/c,波長 入=V/ v=2 兀 /c.令x=l,則y Acos（bt cl）,此質(zhì)點振動初相為-cl.解：波方程 S rcos2 （4 3） 0.01cos2 （電備）10.2.6 一平面簡諧波逆x軸傳播，波方

34、程為y Acos2 v（t VX 3）,試利用改變計時起點的方法將波方程化 為最簡形式。解：令t' =t+3!Uy Acos2 v（t'楙），即將計時起點提前3s,即可把方程化為如上的最簡形式。10.2.7 平面簡諧波方程y 5cos2 （t分，試用兩種方法畫出t|s時的波形圖（SI）。解：由波方程可知：A=5, v=4, v=1,入=v/v=4t |s時，y 5cos2 （3 力 5cos萬（x 券）方法一：令x' x 11,先畫出y 5cos工x'的波形圖，然后將y軸右移1|即可。方法二：找出x、y的對應(yīng)點，根據(jù)余弦函數(shù)規(guī)律描出。x（m）10.2.8 對于平

35、面簡諧波 S r cos2 什 *）中，r=0.01m,T=12s,入=0.30m,畫出處體元的位移-時間曲線。畫出t=3s,6s時的波形圖。令，S 0.01cos2 & 43）0.01cos飛（t 8）；令 t'=t-8,根據(jù)T=12s及余弦曲線的規(guī)律，先畫出S' 0.01 cos-61'的S'-t曲線,0.01cos當（x 等）.令x' x亮，根據(jù) 0.3 4喘m及余弦曲線的規(guī)律，先畫出S' 0.01 cos x'的S'-x'曲線，再把S'軸向左移動3/40m,即得S-x曲線。祖m） .S't=

36、6s時的波形圖，可把t=3s時的波形圖左移需0.3喘m,即1個單位，就是t=6s時的波形圖（虛線所示）10.2.9兩圖分別表示向右和向左傳的平面簡諧波在某一瞬時的解：根據(jù) y Acos (t VX)，uAsin （t 6）及波形圖隨103kg/m3,銅的波形圖，說明此時 Xi,X2,X3以及E 1, E 2,衛(wèi)3各質(zhì)元的位移和速度為正還是為負？它們的相位如何？（對于X2和衛(wèi)2只要求說明其相位在第幾像限）時間t的移動方向，可做出如下判斷:X1X2X3E 1E 2E 3位移正取人負0正取人-負0速度0負負最大0正正取人相位0或2兀n像限兀/20或2兀出像限-Tt/2中傳播縱波和橫波時的波速各為多少

37、？銅的密度為x楊氏模量為12 X 109N/m 2.解：縱波波速V 丫 12% 1.16 103m/s.VI 8.3 10銅絲的線密度's 8.9 103 1.0 10 6 8.9 10 3kg/m,銅絲中傳播的橫波是繩波，橫波波速V jH :10 6m/s8.9 10 已知某種溫度下水中聲速為x103m/s,求水的體變模量。解：:水中聲波速度 V / 水的體變模量k V 2 1.0 103 （1.45 103）22.10 109PaA=2m,入=2m.由圖（a）,原點處質(zhì)元t=0時,圖（b）max2 A max 3 105J/m3相鄰?fù)辔徊骈g的距離為10.3.1有

38、一圓形橫截面的銅絲，受張力 1.0N,橫截面積為2求其譙 1m , 其間總能量為10.2.10圖（a）、（b）分別表示t=0和t=2s時的某一平面簡諧波 的波形圖。試寫出平面簡諧波方程。解：由波形圖知：y=A,可判斷其初相為零.比較 （a）、（b）兩圖，（b）圖可看作（a）圖向右移動彳#到。0V A3 =2兀V/入=2兀X兀y 2cos （t Vx）2cos0.25 （t 0X5）2cos （0.25t x）10.4.1在直彳仝為14cm管中傳播的平面簡諧波，平均能流密度為2, v=300Hz, V=300m/s.求最大能量密度和平均能量密度，求相 鄰?fù)辔徊骈g的總能量。解：平均能流密度 I

39、 -22A2V 9 10 3 J /s.m2二,能量密度2A2 sin2 （t方），.最大能量密度2A2 為 毛薩 6 105J/m3.平均能量密度管的橫截面積s R2 3.14 (R02)2 1.54 10 2m2,E - s 3 10 5 1 1.54 10 2 4.6 10 7 J10.4.3 面向街道的窗口面積約40m2侑道上的噪聲在窗口的聲強級為60dB,問有多少聲功率傳入室內(nèi)？（即單位時間進入多少聲 能）解：據(jù)聲強級定義：Il 101gt 60, lg 6, I 106I0,所以傳入室內(nèi)的聲功率 W IS 106 10 12 40 4.0 10 5W10.4.4 距一點聲源10m的

40、地方，聲音的聲強級為 20dB,求： 距聲源5m處的聲強級；距聲源多遠就聽不見1000Hz的聲音了？解：設(shè)r=r二5m時，聲強為Ii,聲強級為ILi；r=r2=10m時，聲強為I2,聲強級為IL222r, oIi4 PiI24 r2 , Ii I2得）2,用聲強級,2,一表示：101gm 101g 潦2 101g ? 10ig（7r）r- 2即 IL1IL2 101gD 20 101g4 20 6.02 26.02dB設(shè)r=r3時聽不到聲音，即對應(yīng)的聲強級IL3=0101g3 101g名 101g T IL2 IL320 0, 1g£ 2十 102L4 r22134 r32r （晟）

41、2,% 而 10 10 100m10.5.1聲音干涉儀用于顯示聲波白干涉，見圖。薄膜 S在電磁 鐵的作用下振動，D為聲音檢測器，SBD長度可變，SAD長度固定， 聲音干涉儀內(nèi)充滿空氣。當B處于某一位置時，在 D處聽到的聲強為100單位的最小聲音，將B移動則聲音加大，當B移動1.65cm時 聽到強度為900單位的最強音。求：聲波的頻率；解：D處聽到的聲強是由SAD和SBD傳過來的兩列相干波疊 加結(jié)果；聲強最小，說明兩列相干 波在D處的相位相反，合振幅為兩 個分振幅之差；聲強最大，說明兩 列相干波在D處相位相同，合振幅為兩個分振幅之和；兩列波在D處的相位差由相反變?yōu)橄嗤辔徊罡淖優(yōu)樨＃虼藘闪胁?/p>

42、傳播距離的改變?yōu)槿?2,有：22 1.65 10 2,6.6 10 2m,v - 714冷 5188Hz26.6 10 I1/I2 A2/A22,A/A2 J/I2.100/900 1/310.5.2 兩個波源發(fā)出橫波，振動方向與紙面垂直，兩波源具有 相同的相位，波長 0.34m.至少求出三個 x數(shù)值使得在P點合振動 最強，求出三個 x數(shù)值使得在P點的合振動最弱。解：由于兩個波源的相位相同，因而二波在P點引起的兩個分振動的匚 1相位差 ！_122 士當 2 士 2n （n 0,1,2 ）時，合振動最強。取 n=0,1,2,得 X1=0, x2= = =0.34m, X3=2 入當2 -（2n

43、1） （n 0,1,2）時，合振動最弱。取n=0,1,2,得 X1=入/2=0.17m, X2=3 入/2=0.51m, X3=5 入10.5.3 試證明兩列頻率相同，振動方向相同、傳播方向相反而 振幅大小不同的平面簡諧波相疊加可形成一駐波與一行波的疊加。證明；設(shè)滿足要求的兩列平面簡諧波的波方程為：yiAi cos( t kx), y2 A2 cos( t kx), A Ay A1 cos( t kx) A2 cos( t kx)(A A2 A2) cos( t(A1 A2)cos( t kx)(A1 A2)cos( t kx)(應(yīng)用三角函數(shù)公式：coskx) A2 cos( t kx)A2c

44、os( t kx) cos( t kx) 2A2 coskxcos tcos 2 cos cos )10.5.6 10.5.7圖表示某一瞬時入射波的波形圖，分別畫出在固定端反射和在自由端反射時，反射波的波形圖，無振幅損失。解：x/m顯然，前一項表示一行波，后一項為一駐波10.5.4入射波y 10 104cos2000 （t爵）在固定端反射，坐標原點與固定端相距 0.51m,寫出反射波方程.無振幅損失.（SI）解：反射波的振幅、頻率、波速均與入射波相同；反射波傳播方向與入射波傳播方向相反；入射波在原點處振動初相為零，設(shè)反射波在坐標原點處振動初相為4,固定端反射有半波損失，所以0 入2,（二 1）

45、（耳 1）61 .綜合以上考慮，反射波方程為y 10 104cos2000 （t僉）61 10 10 4cos2000 （t 焉）方法：可先把界面后邊的入射波補畫上去，如圖1;固定端反射時，損失半個波長，可把界面后邊的波形去掉半個波長，然后把剩余波形映射過去即可，如圖 2;自由端反射，無半波損失，直接把界面后邊的波形映射過去即可，如圖3。10.5.8 一平面簡諧波自左 向右傳播，在波射線上某質(zhì)元 A的振動曲線如圖示。后來此 波在前進方向上遇一障礙物而 反射，并與該入射平面簡諧波 疊加而成駐波，相鄰波節(jié)波腹距離為 3m,以質(zhì)元A的平衡位置為o-y軸原點，寫出該入射波波方程。解：二.相鄰波節(jié)波腹間距離是入/4=3, .入=12m,k=2兀/入=兀/6;10.5.5入射波方程為y Acos2件 /），在x=0處的自由端反射，求反射波的波方程。無振幅損失。解：反射波的振幅、周期、波長與入射