1、241拋物線及其標準方程學習目標：1.掌握拋物線的定義及焦點、準線的概念.(重點)2.掌握拋物線的標準方程及其推導過程.(易錯點)3.明確p的幾何意義，并能解決簡單的求拋物線標準方程問題.(難點)自主預習探新知1.拋物線的定義平面內與一個定點F和一條定直線1(1不經過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線I叫做拋物線的準線.思考 1:拋物線的定義中，若點F在直線I上，那么點的軌跡是什么?提示點的軌跡是過點F且垂直于直線I的直線.2拋物線的標準方程圖形標準方程焦點坐標準線方程12y= 2px(p0)賂0)pX一252y=- 2px(p0)t10 丿px- 22x= 2py

2、(p0)F(0，2)py=-22x=- 2py(p0)Ft0，2 卩)y / y 2思考 2: (1)拋物線方程中p(p0)的幾何意義是什么？(2)根據拋物線方程如何確定焦點的位置？提示(1)p的幾何意義是焦點到準線的距離.(2)根據拋物線方程中一次式2px,2py來確定焦點位置，x,y”表示焦點在x軸或y軸上，系數“2p”的正負確定焦點在坐標軸的正半軸或負半軸上.基礎自測1.思考辨析(1) 并非所有二次函數的圖象都是拋物線.()(2) 拋物線是雙曲線的一支.()(3) 拋物線的標準方程有四種不同的形式，它們的共同點為“頂點在原點，焦點在坐標答案X x V2.拋物線y2=- 8x的焦點坐標是(

3、 )A. (2,0)B. ( 2,0)C. (4,0)D. ( 4,0)B 拋物線y2= 8x的焦點在x軸的負半軸上，且 2= 2,因此焦點坐標是(一 2,0).23拋物線y= 8x的焦點到準線的距離是()A. 1 B . 2 C . 4D. 8C 由y2= 8x得p= 4，即焦點到準線的距離為4.4 拋物線x= 4y2的準線方程是()【導學號：46342105】x= 8C 由x= 4y2得y2= x,故準線方程為x= .合作探究攻重難1類婁丁求拋物線的標準方程例根據下列條件分別求出拋物線的標準方程:(1)準線方程為y= |；(2)焦點在y軸上，焦點到準線的距離為 5;經過點(一 3, 1);

4、焦點為直線 3x 4y 12= 0 與坐標軸的交點.分情況討論寫出拋物線寫出焦點坐標焦點的位置的標準方程解因為拋物線的準線交y軸于正半軸，且 2=2,則p=3,所以所求拋物線的標2已知拋物線的焦點在y軸上，可設方程為x= 2mym0),由焦點到準線的距離為 5,思路探究(1)(2)由題意可確定方程形式-吋-寫標拋物線- - 的標準方程設出拋物線的標準方程代入點的坐標求參數寫出拋物線 的標準方程C .x=知|m| = 5, mF 土 5,所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為x2= 10y和x2=-10y.(3)I點(3, - 1)在第三象限，設所求拋物線的標準方程為y2=- 2px(

5、p0)或x2=2py(p0) 221若拋物線的標準方程為y= 2px(p0)，則由(1) = 2pX( 3)，解得p=石；229若拋物線的標準方程為x= 2py(p0)，則由(3) = 2px( 1)，解得p=-.1所求拋物線的標準方程為y2= TX或x2= 9y.3對于直線方程 3x 4y 12= 0，令x= 0，得y= 3;令y= 0，得x= 4,拋物線的焦點為(0， 3)或(4,0) 當焦點為(0， 3)時，2= 3,.p= 6，此時拋物線的標準方程為x2= 12y;當焦點為(4,0)時，2= 4,.p= 8,此時拋物線的標準方程為y2= 16x.所求拋物線的標準方程為x2= 12y或y

6、2= 16x.規律方法1.用待定系數法求拋物線標準方程的步驟拋物線的定義的應用(1)已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點Mm 3)到焦點的距離為 5,求m的值、拋物線方程和準線方程.(2)已知拋物線y2= 4x的焦點是F,點P是拋物線上的動點，對于定點A(4,2)，求|PA+ |PF的最小值，并求出取最小值時的P點坐標【導學號：46342106】(3)已知動圓M與直線y= 2 相切，且與定圓 C:x2+ (y+ 3)2= 1 外切，求動圓圓心M的 軌跡方程.思路探究(1)利用拋物線定義先求拋物線的方程，再求m和準線方程.(2)利用拋物線的定義，把|PF|轉化為到準線的距離.2解法

7、一：設所求拋物線方程為X= 2py(p0)，將點(1，- 3)代入方程，21 、21得(1) = 2p( 3)，解得p=召，所以所求拋物線方程為x= y.2法二：由已知，拋物線的焦點在y軸上，因此設拋物線的方程為x=mym0).又拋物121線過點(一 1， 3)，所以 1 =nr( 3)，即 rn= 3，所以所求拋物線方程為x= y.22(2)法一：設所求拋物線方程為y= 2px(p 0)或x= 2py(p 0)，將點(4 , 8)代入y2= 2px,得p= 8;將點(4 , 8)代入x2= 2py,得p= 1.所以所求拋物線方程為y2= 16x或x2= 2y.法二：當焦點在x軸上時，設拋物線

8、的方程為y2=nx(nz0)，又拋物線過點(4 , 8),2所以 64= 4n,即n= 16,拋物線的方程為y= 16x；當焦點在y軸上時，設拋物線的方程為x2=my(nZ0)，又拋物線過點(4 , 8)，所以16= 8m即 m= 2，拋物線的方程為x2= 2y.綜上，拋物線的標準方程為y2= 16x或x2= 2y.所以所求拋物線的焦點坐標為 (0， 2)或(4,0)p2當焦點為(0， 2)時，由 2= 2,得p= 4，所以所求拋物線方程為x2= 8y;當焦點為p2(4,0)時，由 2= 4，得p= 8，所以所求拋物線方程為y= 16x.綜上所述，所求拋物線方程為x2= 8y或y2= 16x.

9、|S2|_(3)由 F -0,x 2y 4=0,得廣0，y= 2,y=0,x 2y 4 =0,/曰y=0,x= 4.-卜例利用|MC的長度比點M到直線y= 2 的距離大 1 求解.解(1)設所求拋物線方程為x2=- 2py(p0)，由 2+ 3 = 5 得p= 4，因此拋物線方程為x2=- 8y，其準線方程為y= 2，由mi= 24 得 mi=2寸 6.(2)如圖，作PNL I于NI為準線)，作AB I于B,則|PA+1PF=|PA+1PN丨AB,當且僅當P為AB與拋物線的交點時，取等號(IPA+ |PF|)min= |AB=4+ 1 = 5.此時yp= 2，代入拋物線得XP=1, R1,2)

10、.設動圓圓心為Mx,y)，半徑為r,則由題意可得M到圓心 Q0, 3)的距離與直線y= 3 的距離相等.由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以qo ,- 3)為焦點，以y= 3 為準線的一條拋物線，其方程為x2=- 12y.規律方法拋物線定義的兩種應用(1) 實現距離轉化根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線 的距離，因此，由拋物線定義可以實現點點距與點線距的相互轉化，從而簡化某些問題.(2) 解決最值問題在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋 物線的定義進行轉化，即化折線為直線解決最值問題.跟蹤訓練2. (1)已知點P是拋物線y2= 2x上的一個動點，

11、則點P到點A(0,2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為()D.A.172B. 3A 由拋物線的定義可知，拋物線上的點到準線的距離等于到焦點的距離由圖可得,1點P到準線x=- 2 的距離d= IPF,易知點A(0,2)在拋物線y2= 2x的外部，連接AF,交y2= 2x于點P,欲使所求距離之和最小，只需A, P,F共線，其最小值為IAF=寸2j+(2 _ 0)2=痹y1(2)若位于y軸右側的動點M到F2, 0 的距離比它到y軸的距離大求點M的軌跡方 幺丿2程.解由于位于y軸右側的動點M到F2, 0 的距離比它到y軸的距離大 2 所以動點M到F1, 0 的距離與它到直線I:x=_舟的距

12、離相等由拋物線的定義知動點M的軌跡是以幺丿2F為焦點，I為準線的拋物線(不包含原點)，其方程應為y2= 2px(p0)的形式，而號=所2以p= 1,2p= 2,故點M的軌跡方程為y= 2x(x豐0).僕靈2 3 4 5設此時船面寬為AA，貝UA(2 ,yA),2165拋物線的實際應用探究問已知拋物線，如何建系，才能使拋物線方程為標準方程？提示：以拋物線的頂點為坐標原點，以拋物線的對稱軸為坐標軸建系.例河上有拋物線型拱橋，當水面距拱頂5 米時，水面寬為 8 米，一小船寬 4 米，3高 2 米，載貨后船露出水面上的部分高4 米，問水面上漲到與拋物線拱頂相距多少米時，小船開始不能通航？思路探究|建系

13、| |設方程|解方程求出相關量解決問題解如圖，建立坐標系，設拱橋拋物線方程為x2=_ 2py(p0)，由題意，將 巳 4 , _82165)代入方程得p=，拋物線方程為x=匚y.55由 2 yA, 得yA=.5433又知船露出水面上部分為 4 米，設水面與拋物線拱頂相距為h,則h= |yA| + 4= 2(米)，即水面上漲到距拋物線拱頂2 米時，小船不能通航.規律方法 求拋物線實際應用的五個步驟(1) 建立適當的坐標系.(2) 設出合適的拋物線標準方程.(3) 通過計算求出拋物線的標準方程.(4) 求出需要求出的量.(5) 還原到實際問題中，從而解決實際問題.跟蹤訓練3.如圖 2-4-1 是拋

14、物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面 2 米，水面寬 4 米，若水面下降 0.42 米后，則水面寬為()I I I I I I I I I I4圖 2-4-1A. 2.2 米 B . 4.4 米 C . 2.4 米 D . 4 米B 如圖建立直角坐標系，設拋物線方程為x2=my將A(2， 2)代入x=my得 m= 22 x= 2y，代入B(Xo, 2.42)得Xo= 2.2 ,故水面寬為 4.4 m，故選 B.當堂達標固雙基1 準線方程為y= |的拋物線的標準方程為()B由準線方程為y=3 知拋物線焦點在y軸負半軸上，且p=3，則p=善故所求拋物線距離為由點M 9,y）在拋物線上，得y= 6,

15、故點M的坐標為（一 9,6）或（一 9, 6）.2 求拋物線的標準方程時需注意的三個問題(1) 把握開口方向與方程間的對應關系.2 2(2) 當拋物線的類型沒有確定時，可設方程為y=mx或x=ny,這樣可以減少討論情況的個數.(3) 注意p與 2 的幾何意義.跟蹤訓練A.宀B. x2=83yc.D.28y=3X的標準方程為3y.2.12一拋物線y= 4X的焦點坐標是(A.B.C.3.(0,1)拋物線的標準方程為x2= 4y,拋物線y= 24ax(a0)上有一點D. (1,0)從而焦點坐標為(0,1)M它的橫坐標是 3,它到焦點的距離是5,則拋物線的方程為()y2= 8xA.C.B. y2= 12xD. y2= 20 x1由題意知 6a+ 3= 5,解得a=3,因此拋物線方程為2y= 8x.4.已知拋物線y2= 2px(p 0)的焦點Fi，若點A(2 , 4)在拋物線上，則點A到焦點的【導學46342107】1.根據下列條件確定拋物線的標準方程.(1) 關于y軸對稱且過點(1, 3)；(2)