1、1第一章 集合與函數(shù)概念課時一：集合有關(guān)概念1. 集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東 西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。2.一般的研究對象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。3.集合的中元素的三個特性：(1 )元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于例：世界上最高的山、中國古代四大美女、教室里面所有的人(2) 元素的互異性：一個給定集合中的元素是唯一的，不可重復的。例：由 HAPPY 的字母組成的集合H,A,P,Y(3) 元素的無序性：集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合例：a,b,c和a,c

2、,b是表示同一個集合3、集合的表示：女口： 我校的籃球隊員, 太平洋，大西洋印度洋,北冰洋(1 )用大寫字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B二123,4,5(2 )集合的表示方法：列舉法與描述法。1)列舉法：將集合中的元素一一列舉出來a,b,c2 )描述法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合。x R| x-32 ,x| x-321語言描述法：例：不是直角三角形的三角形2Venn 圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。4、 集合的分類：(1) 有限集：含有有限個元素的集合(2) 無限集：含有無限個元素的集合(3) 空集：不含任何元素的集合 例：x|x2= 55、 元素與集合

3、的關(guān)系：2(1)元素在集合里，則元素屬于集合，即：a A(2 )元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a A注意：常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：N 正整數(shù)集 N*或 N+整數(shù)集 Z有理數(shù)集 Q實數(shù)集 R課時二、集合間的基本關(guān)系1“包含”關(guān)系一子集（1 ）定義：如果集合 A 的任何一個元素都是集合 B 的元素，我們說這兩個集合有 包含關(guān)系，稱集合 A 是集合 B 的子集。記作：A B（或BA）注意：A B有兩種可能（1 ） A 是 B 的一部分，；（2）A 與 B 是同一集合。反之：集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,記作 A B 或 B A2 .“相等”

4、關(guān)系：A=B （5 5，且 5W5，則 5=5）實例：設 A=x|x2-仁 0 B 二-1,1“元素相同則兩集合相等”即:任何一個集合是它本身的子集。A Ac2真子集:如果 A B,且 A B 那就說集合 A 是集合 B 的真子集，記作AB（或nB A）或若集合 A B,存在 x B 且 xA，則稱集合 A 是集合 B 的真子集。3如果 A B, B C ,那么 A C4如果 A B 同時 B A 那么 A=B33.不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 個元素的集合，含有 2n個子集，2n-1個真子集課時三、集合的運算4運算類型交集并集

5、補集定義由所有屬于A且屬于B 的元素所組成的集合，叫 做 A,B的交集.記作 A B (讀作 A交 B), 即 A B= x|x A，且 x B.由所有屬于集合 A 或?qū)?于集合 B 的元素所組成 的集合， 叫做A,B的并 集.記作：A B (讀作A 并 B),即卩 A B=x|x A，或 x B).全集：一般，若一個集合漢語我 們所研究問題中這幾道的所有 元素，我們就稱這個集合為全 集，記作：U設 S 是一個集合，A 是 S 的一個 子集，由 S 中所有不屬于 A 的元 素組成的集合，叫做 S 中子集 A 的補集(或余集)記作CsA，CsA= x| x S,且 x A韋恩圖示CAM。圖1CA

6、3圖2UD性質(zhì)AnA=AAno=A nB=B AA nBAAnBBAUA=AAU=AAUB=BUAAUBAAUB B(CuA)n(CuB)= Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= Cu(A AB)AU(CuA)=UAn(CuA)=.課時四：函數(shù)的有關(guān)概念1.函數(shù)的概念：設 A、B 是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關(guān)系f,使對于集合 A 中的任意一個數(shù) x，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對應， 那么就稱 f: A - B 為從集合 A 到集合 B 的一個函數(shù).記作： y=f(x) , x (1)其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域；(2)與 x 的值

7、相對應的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| x A 叫做 函數(shù)的值域.2.函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應法則3.函數(shù)的表示方法：(1)解析法：明確函數(shù)的定義域5(2)圖想像：確定函數(shù)圖像是否連線，函數(shù)的圖像可以 是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點等等。(3)列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應定義 域的特征。4、函數(shù)圖象知識歸納(1) 定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x) , (x A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點 P(x,y)的集合 C,叫做函數(shù)y=f(x),(x A)的圖象.C 上每一點的坐標(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿 足y=f(x)的

8、每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x,y)，均在 C 上.(2) 畫法A、描點法：B、圖象變換法：平移變換；伸縮變換；對稱變換。(3 )函數(shù)圖像變換的特點：1)函數(shù)y=f(x)關(guān)于X軸對稱y=-f(x)2)函數(shù)y=f(x)關(guān)于丫丫軸對稱y=f(-x)3)函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點對稱y=-f(-x)課時五：函數(shù)的解析表達式，及函數(shù)定義域的求法1、函數(shù)解析式子的求法(1)、函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域(2)、求函數(shù)的解析式的主要方法有：1 )代入法：2)待定系數(shù)法：3 )換元法：4)拼湊法：62 .定義域：能使

9、函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3) 對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4) 指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5) 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6) 指數(shù)為零底不可以等于零，(7) 實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義3、 相同函數(shù)的判斷方法： 表達式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān))；定義域一致(兩點必須同時具備)4、 區(qū)間的概念：(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間(2 )無

10、窮區(qū)間(3 )區(qū)間的數(shù)軸表示課時六：1 .值域:先考慮其定義域(1 )觀察法：直接觀察函數(shù)的圖像或函數(shù)的解析式來求函數(shù)的值域；(2)反表示法：針對分式的類型，把 Y 關(guān)于 X的函數(shù)關(guān)系式化成 X 關(guān)于 Y的函數(shù)關(guān)系式，由 X 的范圍類似求 Y 的范圍。(3)配方法：針對二次函數(shù)的類型，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)來確定函數(shù)的值 域，注意定義域的范圍。7(4)代換法(換元法)：作變量代換，針對根式的題型，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的類 型。課時七1. 分段函數(shù)(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。(2 )各部分的自變量的取值情況.(3) 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.補充

11、：復合函數(shù)如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),則 y=fg(x)=F(x)(x A) 稱為 f、g的復合函數(shù)。(4 )常用的分段函數(shù)1) 取整函數(shù)：2) 符號函數(shù)：3) 含絕對值的函數(shù)：2 .映射一般地，設 A、B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則 f,使 對于集合A 中的任意一個元素 x,在集合 B 中都有唯一確定的元素 y 與之對應， 那么就稱對應 f: AB 為從集合 A 到集合 B 的一個映射。記作“ f (對應關(guān)系)： A (原象) B (象)”對于映射f:AB來說，則應滿足：(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；集合A中不同的元

12、素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。注意：映射是針對自然界中的所有事物而言的，而函數(shù)僅僅是針對數(shù)字來說的。8所以函數(shù)是映射，而映射不一定的函數(shù)課時八函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))及最值1、 增減函數(shù)(1)設函數(shù) y=f(x)的定義域為 I， 如果對于定義域 I 內(nèi)的某個區(qū)間 D 內(nèi)的任 意兩個自變量 X1，X2，當 X1X2時，都有 f(Xl)f(X2)，那么就說 f(X)在 區(qū)間 D 上是增函數(shù)區(qū)間 D 稱為 y=f(X)的單調(diào)增區(qū)間.(2 )如果對于區(qū)間 D 上的任意兩個自變量的值X1，X2，當 X1f(X2),那么就說f(X)在這個區(qū)間上是減

13、函數(shù)區(qū)間 D 稱為 y=f(X)的 單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種2、圖象的特點如果函數(shù)y=f(X)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(X)在這一區(qū)間 上具有(嚴格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù) 的圖象從左到右是下降的.3、 函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法：O任取 X1, X2 D，且 X11,且nN當 n 是奇數(shù)時， 正數(shù)的 此時，a 的 n 次方根用符號當 n 為偶數(shù)時， 正數(shù)的 的正的 n 次方根用符號方根與負的 n 次方根可以合并成注意：負數(shù)沒有偶次方根；n n當n是奇數(shù)時，

14、n 次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的 n 次方根是一個負數(shù)。表示。n 次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)。此時正數(shù)a表示，負的 n 的次方根用符號（a0 ）。0 的任何次方根都是 0，記作 當n是偶數(shù)時，nan|a|表示。正的 n 次a a，0。(a 0)(a 0)式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，a 叫做被開方數(shù)。分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的mT n m*an、a （a 0, m, n N ,n1)，a1*-(a 0, m,n N ,nn ma0 的正分數(shù)指數(shù)冪等于man0，0 的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義1)4、有理數(shù)指數(shù)米的運算性質(zhì)(1 )rrr sa a a(a0,r,sR）；(2)(a ) a(a0,r

15、,sR)；(3)rr s(ab) a a(a0,r,sR).5、無理數(shù)指數(shù)冪1415一般的，無理數(shù)指數(shù)冪aa(a0,a 是無理數(shù))是一個確定的實數(shù)。有理數(shù)指數(shù) 冪的運算性質(zhì)同樣使用于無理數(shù)指數(shù)冪。課時十五：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其特點(1)1、 指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y ax(a 0,且 a 1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量,函數(shù)的定義域為 R.注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和1 .為什么？2、 在同以坐標平面內(nèi)畫出下列函數(shù)的圖像：(1)(2)(3)(4)(5)圖像特征圖像特征a1a10a1向X、Y軸正負方向無限延伸函數(shù)的疋義域為 R圖像關(guān)于原點和丫軸不對稱非奇非偶函數(shù)

16、函數(shù)圖像都在 X 軸的上方函數(shù)的值域為 R+函數(shù)圖象都過定點(0, 1 )a0=1自左向右看圖像逐漸 上升。自左向右看圖像逐漸 上升。增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)圖像縱 坐標都大于 1。在第一象限內(nèi)圖像縱 坐標都大于 1。x0,ax1x0,ax1在第二象限內(nèi)圖像縱 坐標都小于 1。在第二象限內(nèi)圖像縱 坐標都大于 1。x0,ax1x1圖像上升的趨勢愈來 愈陡。圖像上升的趨勢愈來 愈陡。函數(shù)值開始增加較慢，到了某一值后增長速 度極快。函數(shù)值開始減小極快， 到了某一值后減小速 度較慢。課時十六：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其特點(1) 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a10a 0值域 y0在 R 上單調(diào)遞增在 R 上單調(diào)遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點(0, 1)函數(shù)圖象都過定點(0 , 1)注意：禾 I用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：(1) 在a，b上，值域是f(a),f(b)或f(b),f(a)；(2)若 x0，則f (x) 1；f (x)取遍所有正數(shù)當且僅當 x R ；(3) 對于指數(shù)函數(shù)f(x) ax(a 0 且 a 1)，總有f(1) a；(4 )當 a1 時，若 X110a0定義域 x 0值域為 R值域為 R在 R 上遞增在 R 上遞減函數(shù)圖