1、精選優質文檔-傾情為你奉上第五節 測量誤差基礎知識一、測量誤差概述1測量誤差產生的原因 測量時，由于各種因素會造成少許的誤差，這些因素必須去了解，并有效的解決，方可使整個測量過程中誤差減至最少。實踐證明，產生測量誤差的原因主要有以下三個方面。（1）人為因素。由于人為因素所造成的誤差，包括觀測者的技術水平和感覺器管的鑒別能力有一定的局限性，主要體現在儀器的對中、照準、讀數等方面。（2）測量儀器的原因。由于測量儀器的因素所造成的誤差，包括測量儀器在構造上的缺陷、儀器本身的精度、磨耗誤差及使用前未經校正等因素。 （3）環境因素。外界觀測條件是指野外觀測過程中，外界條件的因素，如天氣的變化、植被的不同

2、、地面土質松緊的差異、地形的起伏、周圍建筑物的狀況，以及太陽光線的強弱、照射的角度大小等。測量時受環境或場地之不同，可能造成的誤差有熱變形誤差和隨機誤差為最顯著。熱變形誤差通常發生于因室溫、人體接觸及加工后工件溫度等情形下，因此必須在溫濕度控制下，不可用手接觸工件及量具、工件加工后待冷卻后才測量。但為了縮短加工時在加工中需實時測量，因此必須考慮各種材料之熱脹系數 作為補償，以因應溫度材料的熱膨脹系數 不同所造成的誤差。在實際的測量工作中，大量實踐表明，當對某一未知量進行多次觀測時，不論測量儀器有多精密，觀測進行得多么仔細，所得的觀測值之間總是不盡相同。這種差異都是由于測量中存在誤差的緣故。測量

3、所獲得的數值稱為觀測值。由于觀測中誤差的存在而往往導致各觀測值與其真實值（簡稱為真值）之間存在差異，這種差異稱為測量誤差（或觀測誤差）。用L代表觀測值，X代表真值，則誤差=觀測值L真值X，即 （5-1）這種誤差通常又稱之為真誤差。由于任何測量工作都是由觀測者使用某種儀器、工具，在一定的外界條件下進行的，所以，觀測誤差來源于以下三個方面：觀測者的視覺鑒別能力和技術水平；儀器、工具的精密程度；觀測時外界條件的好壞。通常我們把這三個方面綜合起來稱為觀測條件。觀測條件將影響觀測成果的精度：若觀測條件好，則測量誤差小，測量的精度就高；反之，則測量誤差大，精度就低；若觀測條件相同，則可認為精度相同。在相同

4、觀測條件下進行的一系列觀測稱為等精度觀測；在不同觀測條件下進行的一系列觀測稱為不等精度觀測。由于在測量的結果中含有誤差是不可避免的，因此，研究誤差理論的目的不是為了去消滅誤差，而是要對誤差的來源、性質及其產生和傳播的規律進行研究，以便解決測量工作中遇到的一些實際問題。例如：在一系列的觀測值中，如何確定觀測量的最可靠值；如何來評定測量的精度；以及如何確定誤差的限度等。所有這些問題，運用測量誤差理論均可得到解決。二、測量誤差的分類測量誤差按其性質可分為系統誤差和偶然誤差兩類：（一）系統誤差在相同的觀測條件下，對某一未知量進行一系列觀測，若誤差的大小和符號保持不變，或按照一定的規律變化，這種誤差稱為

5、系統誤差。例如水準儀的視準軸與水準管軸不平行而引起的讀數誤差，與視線的長度成正比且符號不變；經緯儀因視準軸與橫軸不垂直而引起的方向誤差，隨視線豎直角的大小而變化且符號不變；距離測量尺長不準產生的誤差隨尺段數成比例增加且符號不變。這些誤差都屬于系統誤差。系統誤差主要來源于儀器工具上的某些缺陷；來源于觀測者的某些習慣的影響，例如有些人習慣地把讀數估讀得偏大或偏小；也有來源于外界環境的影響，如風力、溫度及大氣折光等的影響。系統誤差的特點是具有累積性，對測量結果影響較大，因此，應盡量設法消除或減弱它對測量成果的影響。方法有兩種：一是在觀測方法和觀測程序上采取一定的措施來消除或減弱系統誤差的影響。例如在

6、水準測量中，保持前視和后視距離相等，來消除視準軸與水準管軸不平行所產生的誤差；在測水平角時，采取盤左和盤右觀測取其平均值，以消除視準軸與橫軸不垂直所引起的誤差。另一種是找出系統誤差產生的原因和規律，對測量結果加以改正。例如在鋼尺量距中，可對測量結果加尺長改正和溫度改正，以消除鋼尺長度的影響。（二）偶然誤差在相同的觀測條件下，對某一未知量進行一系列觀測，如果觀測誤差的大小和符號沒有明顯的規律性，即從表面上看，誤差的大小和符號均呈現偶然性，這種誤差稱為偶然誤差。例如在水平角測量中照準目標時，可能稍偏左也可能稍偏右，偏差的大小也不一樣；又如在水準測量或鋼尺量距中估讀毫米數時，可能偏大也可能偏小，其大

7、小也不一樣，這些都屬于偶然誤差。產生偶然誤差的原因很多，主要是由于儀器或人的感覺器官能力的限制，如觀測者的估讀誤差、照準誤差等，以及環境中不能控制的因素如不斷變化著的溫度、風力等外界環境所造成。偶然誤差在測量過程中是不可避免的，從單個誤差來看，其大小和符號沒有一定的規律性，但對大量的偶然誤差進行統計分析，就能發現在觀測值內部卻隱藏著一種必然的規律，這給偶然誤差的處理提供了可能性。測量成果中除了系統誤差和偶然誤差以外，還可能出現錯誤（有時也稱之為粗差）。錯誤產生的原因較多，可能由作業人員疏忽大意、失職而引起，如大數讀錯、讀數被記錄員記錯、照錯了目標等；也可能是儀器自身或受外界干擾發生故障引起的；

8、還有可能是容許誤差取值過小造成的。錯誤對觀測成果的影響極大，所以在測量成果中絕對不允許有錯誤存在。發現錯誤的方法是：進行必要的重復觀測，通過多余觀測條件，進行檢核驗算；嚴格按照國家有關部門制定的各種測量規范進行作業等。在測量的成果中，錯誤可以發現并剔除，系統誤差能夠加以改正，而偶然誤差是不可避免的，它在測量成果中占主導地位，所以測量誤差理論主要是處理偶然誤差的影響。下面詳細分析偶然誤差的特性。三、偶然誤差的特性偶然誤差的特點具有隨機性，所以它是一種隨機誤差。偶然誤差就單個而言具有隨機性，但在總體上具有一定的統計規律，是服從于正態分布的隨機變量。在測量實踐中，根據偶然誤差的分布，我們可以明顯地看

9、出它的統計規律。例如在相同的觀測條件下，觀測了217個三角形的全部內角。已知三角形內角之和等于180°，這是三內角之和的理論值即真值X，實際觀測所得的三內角之和即觀測值L。由于各觀測值中都含有偶然誤差，因此各觀測值不一定等于真值，其差即真誤差。以下分兩種方法來分析：（一）表格法由（5-1）式計算可得217個內角和的真誤差，按其大小和一定的區間（本例為d=3），分別統計在各區間正負誤差出現的個數k及其出現的頻率k/n（n=217），列于表5-1中。從表5-1中可以看出，該組誤差的分布表現出如下規律：小誤差出現的個數比大誤差多；絕對值相等的正、負誤差出現的個數和頻率大致相等；最大誤差不超

10、過27。實踐證明，對大量測量誤差進行統計分析，都可以得出上述同樣的規律，且觀測的個數越多，這種規律就越明顯。表5-1 三角形內角和真誤差統計表誤差區間d正 誤 差負 誤 差合 計個 數k頻 率k/n個 數k頻 率k/n個 數k頻 率k/n0336699121215151818212124242727以上3021151412852100.1380.0970.0690.0650.0550.0370.0230.0090.00502920181610862000.1340.0920.0830.0730.0460.0370.0280.00900594133302216114100.2720.1890.1

11、520.1380.1010.0740.0510.0180.0050合 計1080.4981090.5022171.000（二）直方圖法為了更直觀地表現誤差的分布，可將表5-1的數據用較直觀的頻率直方圖來表示。以真誤差的大小為橫坐標，以各區間內誤差出現的頻率k/n與區間d的比值為縱坐標，在每一區間上根據相應的縱坐標值畫出一矩形，則各矩形的面積等于誤差出現在該區間內的頻率k/n。如圖5-1中有斜線的矩形面積，表示誤差出現在+6+9之間的頻率，等于0.069。顯然，所有矩形面積的總和等于1。可以設想，如果在相同的條件下，所觀測的三角形個數不斷增加，則誤差出現在各區間的（5-2）頻率就趨向于一個穩定值

12、。當n時，各區間的頻率也就趨向于一個完全確定的數值概率。若無限縮小誤差區間，即d0，則圖5-1各矩形的上部折線，就趨向于一條以縱軸為對稱的光滑曲線（如圖5-2所示），稱為誤差概率分布曲線，簡稱誤差分布曲線，在數理統計中，它服從于正態分布，該曲線的方程式為（5-3）式中：為偶然誤差；（0）為與觀測條件有關的一個參數，稱為誤差分布的標準差，它的大小可以反映觀測精度的高低。其定義為：在圖5-1中各矩形的面積是頻率k/n。由概率統計原理可知，頻率即真誤差出現在區間d上的概率P（），記為（5-4）根據上述分析，可以總結出偶然誤差具有如下四個特性：（1） 有限性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超

13、過一定的限值；（2） 集中性：即絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現的概率大；（3） 對稱性：絕對值相等的正誤差和負誤差出現的概率相同；（4） 抵償性：當觀測次數無限增多時，偶然誤差的算術平均值趨近于零。即 （5-5）式中 在數理統計中，也稱偶然誤差的數學期望為零，用公式表示為E（）=0。圖5-2中的誤差分布曲線，是對應著某一觀測條件的，當觀測條件不同時，其相應誤差分布曲線的形狀也將隨之改變。例如圖5-3中，曲線I、II為對應著兩組不同觀測條件得出的兩組誤差分布曲線，它們均屬于正態分布，但從兩曲線的形狀中可以看出兩組觀測的差異。當=0時，。、是這兩誤差分布曲線的峰值，其中曲線I的峰值較曲線I

14、I的高，即12，故第I組觀測小誤差出現的概率較第II組的大。由于誤差分布曲線到橫坐標軸之間的面積恒等于1，所以當小誤差出現的概率較大時，大誤差出現的概率必然要小。因此，曲線I表現為較陡峭，即分布比較集中，或稱離散度較小，因而觀測精度較高。而曲線II相對來說較為平緩，即離散度較大，因而觀測精度較低。第二節評定精度的指標研究測量誤差理論的主要任務之一，是要評定測量成果的精度。在圖5-3中，從兩組觀測的誤差分布曲線可以看出：凡是分布較為密集即離散度較小的，表示該組觀測精度較高；而分布較為分散即離散度較大的，則表示該組觀測精度較低。用分布曲線或直方圖雖然可以比較出觀測精度的高低，但這種方法即不方便也不

15、實用。因為在實際測量問題中并不需要求出它的分布情況，而需要有一個數字特征能反映誤差分布的離散程度，用它來評定觀測成果的精度，就是說需要有評定精度的指標。在測量中評定精度的指標有下列幾種：一、 中誤差由上節可知（5-3）式定義的標準差是衡量精度的一種指標，但那是理論上的表達式。在測量實踐中觀測次數不可能無限多，因此實際應用中，以有限次觀測個數n計算出標準差的估值定義為中誤差m，作為衡量精度的一種標準，計算公式為 （5-6）【例5-1】有甲、乙兩組各自用相同的條件觀測了六個三角形的內角，得三角形的閉合差（即三角形內角和的真誤差）分別為：甲：+3、+1、-2、-1、0、-3；乙：+6、-5、+1、-

16、4、-3、+5。試分析兩組的觀測精度。【解】用中誤差公式（5-6）計算得：從上述兩組結果中可以看出，甲組的中誤差較小，所以觀測精度高于乙組。而直接從觀測誤差的分布來看，也可看出甲組觀測的小誤差比較集中，離散度較小，因而觀測精度高于乙組。所以在測量工作中，普遍采用中誤差來評定測量成果的精度。注意：在一組同精度的觀測值中，盡管各觀測值的真誤差出現的大小和符號各異，而觀測值的中誤差卻是相同的，因為中誤差反映觀測的精度，只要觀測條件相同，則中誤差不變。在公式（5-2）中，如果令f（）的二階導數等于0，可求得曲線拐點的橫坐標=±m。也就是說，中誤差的幾何意義即為偶然誤差分布曲線兩個拐點的橫坐標

17、。從圖5-3也可看出，兩條觀測條件不同的誤差分布曲線，其拐點的橫坐標值也不同：離散度較小的曲線I，其觀測精度較高，中誤差較小；反之離散度較大的曲線II，其觀測精度較低，中誤差則較大。二、相對誤差真誤差和中誤差都有符號，并且有與觀測值相同的單位，它們被稱為“絕對誤差”。絕對誤差可用于衡量那些諸如角度、方向等其誤差與觀測值大小無關的觀測值的精度。但在某些測量工作中，絕對誤差不能完全反映出觀測的質量。例如，用鋼尺丈量長度分別為100 m和200 m的兩段距離，若觀測值的中誤差都是±2 cm，不能認為兩者的精度相等，顯然后者要比前者的精度高，這時采用相對誤差就比較合理。相對誤差K等于誤差的絕

18、對值與相應觀測值的比值。它是一個不名數，常用分子為1的分式表示，即式中當誤差的絕對值為中誤差m的絕對值時，K稱為相對中誤差。 （5-7）在上例中用相對誤差來衡量，則兩段距離的相對誤差分別為1/5000和1/10000，后者精度較高。在距離測量中還常用往返測量結果的相對較差來進行檢核。相對較差定義為 （5-8）相對較差是真誤差的相對誤差，它反映的只是往返測的符合程度，顯然，相對較差愈小，觀測結果愈可靠。三、極限誤差和容許誤差（一）極限誤差由偶然誤差的特性一可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是極限誤差。在一組等精度觀測值中，絕對值大于m（中誤差）的偶然誤差，其

19、出現的概率為31.7%；絕對值大于2m的偶然誤差，其出現的概率為4.5%；絕對值大于3m的偶然誤差，出現的概率僅為0.3%。根據式（5-2）和式（5-4）有上式表示真誤差出現在區間（-，+）內的概率等于0.683，或者說誤差出現在該區間外的概率為0.317。同法可得上列三式的概率含義是：在一組等精度觀測值中，絕對值大于的偶然誤差，其出現的概率為31.7%；絕對值大于2的偶然誤差，其出現的概率為4.5%；絕對值大于3的偶然誤差，出現的概率僅為0.3%。在測量工作中，要求對觀測誤差有一定的限值。若以m作為觀測誤差的限值，則將有近32%的觀測會超過限值而被認為不合格，顯然這樣要求過分苛刻。而大于3m

20、的誤差出現的機會只有3，在有限的觀測次數中，實際上不大可能出現。所以可取3m作為偶然誤差的極限值，稱極限誤差，。（二）容許誤差在實際工作中，測量規范要求觀測中不容許存在較大的誤差，可由極限誤差來確定測量誤差的容許值，稱為容許誤差，即當要求嚴格時，也可取兩倍的中誤差作為容許誤差，即如果觀測值中出現了大于所規定的容許誤差的偶然誤差，則認為該觀測值不可靠，應舍去不用或重測。第三節 誤差傳播定律前面已經敘述了評定觀測值的精度指標，并指出在測量工作中一般采用中誤差作為評定精度的指標。但在實際測量工作中，往往會碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接觀測的，而由一些可以直接觀測的量，通過函數關系間接計算得出

21、，這些量稱為間接觀測量。例如用水準儀測量兩點間的高差h，通過后視讀數a和前視讀數b來求得的，h=ab。由于直接觀測值中都帶有誤差，因此未知量也必然受到影響而產生誤差。說明觀測值的中誤差與其函數的中誤差之間關系的定律，叫做誤差傳播定律，它在測量學中有著廣泛的用途。一、 誤差傳播定律設Z是獨立觀測量x1，x2，xn的函數，即(a) 式中：x1，x2，xn為直接觀測量，它們相應觀測值的中誤差分別為m1，m 2，mn，欲求觀測值的函數Z的中誤差mZ。設各獨立變量xi（i=1，2，n）相應的觀測值為Li，真誤差分別為xi，相應函數Z的真誤差為Z。則因真誤差xi均為微小的量，故可將上式按泰勒級數展開，并舍

22、去二次及以上的各項，得:（a）減去（b）式，得（b）上式即為函數Z的真誤差與獨立觀測值Li的真誤差之間的關系式。式中為函數Z分別對各變量xi的偏導數，并將觀測值（xi=Li）代入偏導數后的值，故均為常數。若對各獨立觀測量都觀測了k次，則可寫出k個類似于（c）式的關系式將以上各式等號兩邊平方后再相加，得上式兩端各除以k，因各變量xi的觀測值Li均為彼此獨立的觀測，則xixj當ij時，亦為偶然誤差。根據偶然誤差的第四個特性可知，上式的末項當k時趨近于0，即故上式可寫為 根據中誤差的定義，上式可寫成當k為有限值時，即 （5-9）或 （5-10）式中為函數Z分別對各變量xi的偏導數，并將觀測值（xi=

23、Li）代入偏導數后的值，故均為常數。公式（5-9）或（5-10）即為計算函數中誤差的一般形式。從公式的推導過程，可以總結出求任意函數中誤差的方法和步驟如下：1列出獨立觀測量的函數式：2求出真誤差關系式。對函數式進行全微分，得因dZ、dx1、dx2、都是微小的變量，可看成是相應的真誤差Z、x1、x2、，因此上式就相當于真誤差關系式，系數均為常數。3求出中誤差關系式。只要把真誤差換成中誤差的平方，系數也平方，即可直接寫出中誤差關系式：按上述方法可導出幾種常用的簡單函數中誤差的公式,如表5-2所列,計算時可直接應用。表5-2 常用函數的中誤差公式函 數 式函 數 的 中 誤 差倍數函數和差函數線性函

24、數若時二、 應用舉例誤差傳播定律在測繪領域應用十分廣泛，利用它不僅可以求得觀測值函數的中誤差，而且還可以研究確定容許誤差值。下面舉例說明其應用方法。【例5-2】在比例尺為1：500的地形圖上，量得兩點的長度為d=23.4 mm，其中誤差md=±0.2 mm，求該兩點的實際距離D及其中誤差mD。解：函數關系式為D=Md，屬倍數函數，M=500是地形圖比例尺分母。兩點的實際距離結果可寫為11.7 m±0.1 m。【例5-3】水準測量中，已知后視讀數a=1.734 m，前視讀數b=0.476 m，中誤差分別為ma=±0.002 m，mb=±0.003 m，試求

25、兩點的高差及其中誤差。解：函數關系式為h=a-b，屬和差函數，得兩點的高差結果可寫為1.258 m±0.004 m。【例5-4】在斜坡上丈量距離，其斜距為L=247.50 m，中誤差mL=±0.05 m，并測得傾斜角=10°34，其中誤差m=±3，求水平距離D及其中誤差mD。解：首先列出函數式水平距離這是一個非線性函數，所以對函數式進行全微分，先求出各偏導值如下：寫成中誤差形式故得D=243.30 m±0.06 m。【例5-5】圖根水準測量中，已知每次讀水準尺的中誤差為mi=±2 mm，假定視距平均長度為50 m，若以3倍中誤差為容許

26、誤差，試求在測段長度為L km的水準路線上，圖根水準測量往返測所得高差閉合差的容許值。解：已知每站觀測高差為：則每站觀測高差的中誤差為：因視距平均長度為50 m，則每公里可觀測10個測站，L公里共觀測10L個測站，L公里高差之和為：L公里高差和的中誤差為：往返高差的較差（即高差閉合差）為：高差閉合差的中誤差為：以3倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許值為：在前面水準測量的學習中，我們取（mm）作為閉合差的容許值是考慮了除讀數誤差以外的其它誤差的影響（如外界環境的影響、儀器的i角誤差等）。三、 注意事項應用誤差傳播定律應注意以下兩點：（一）要正確列出函數式例：用長30 m的鋼尺丈量了10個尺段

27、，若每尺段的中誤差為ml=±5 mm，求全長D及其中誤差mD。全長，為倍乘函數。但實際上全長應是10個尺段之和，故函數式應為（為和差函數）。用和差函數式求全長中誤差，因各段中誤差均相等，故得全長中誤差為若按倍數函數式求全長中誤差，將得出按實際情況分析用和差公式是正確的，而用倍數公式則是錯誤的。（二）在函數式中各個觀測值必須相互獨立，即互不相關。如有函數式 （a） （b）若已知x的中誤差為mx，求Z的中誤差mz。若直接用公式計算,由（a）式得： （c）而 將以上兩式代入（c）式得但上面所得的結果是錯誤的。因為y1和y2都是x的函數，它們不是互相獨立的觀測值，因此在（a）式的基礎上不能應

28、用誤差傳播定律。正確的做法是先把(b)式代入(a)式，再把同類項合并，然后用誤差傳播定律計算。第四節 等精度直接觀測平差當測定一個角度、一點高程或一段距離的值時，按理說觀測一次就可以獲得。但僅有一個觀測值，測的對錯與否，精確與否，都無從知道。如果進行多余觀測，就可以有效地解決上述問題，它可以提高觀測成果的質量，也可以發現和消除錯誤。重復觀測形成了多余觀測，也就產生了觀測值之間互不相等這樣的矛盾。如何由這些互不相等的觀測值求出觀測值的最佳估值，同時對觀測質量進行評估，即是“測量平差”所研究的內容。對一個未知量的直接觀測值進行平差，稱為直接觀測平差。根據觀測條件，有等精度直接觀測平差和不等精度直接

29、觀測平差。平差的結果是得到未知量最可靠的估值，它最接近真值，平差中一般稱這個最接近真值的估值為“最或然值”，或“最可靠值”，有時也稱“最或是值”，一般用x表示。本節將討論如何求等精度直接觀測值的最或然值及其精度的評定。一、等精度直接觀測值的最或然值等精度直接觀測值的最或然值即是各觀測值的算術平均值。用誤差理論證明如下：設對某未知量進行了一組等精度觀測，其觀測值分別為L1、L 2、Ln，該量的真值設為X，各觀測值的真誤差為1、2、n，則i=Li-X（i=1，2，n），將各式取和再除以次數n，得即根據偶然誤差的第四個特性有所以由此可見，當觀測次數n趨近于無窮大時，算術平均值就趨向于未知量的真值。當

30、n為有限值時，算術平均值最接近于真值，因此在實際測量工作中，將算術平均值作為觀測的最后結果，增加觀測次數則可提高觀測結果的精度。二、評定精度（一） 觀測值的中誤差1由真誤差來計算當觀測量的真值已知時，可根據中誤差的定義即由觀測值的真誤差來計算其中誤差。2由改正數來計算在實際工作中，觀測量的真值除少數情況外一般是不易求得的。因此在多數情況下，我們只能按觀測值的最或然值來求觀測值的中誤差。（1）改正數及其特征最或然值x與各觀測值Li之差稱為觀測值的改正數，其表達式為 （5-11）在等精度直接觀測中，最或然值x即是各觀測值的算術平均值。即顯然 （5-12）上式是改正數的一個重要特征，在檢核計算中有用。（2）公式推導已知，將此式與式（5-8）相加，得 （a）令，則 （b）對上面各式兩端取平方，再求和 （c）而根據偶然誤差的特性，當n時，上式的第二項趨近于零；當n為較大的有限值時，其值遠比第一