1、11.2.3.4.5.6.2004 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工類）（福建卷）第I巻選擇題共 60 分）、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 項是符合題目要求的.復(fù)數(shù)（口）10的值是1 +iA . 1tan15 +cot15B . 1的值是B . 2+ v3命題命題已知p :右 a、5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有C. 32C. 4b R,則|a|+|b|1 是|a+b|1 的充分而不必要條件;32q :函數(shù) y=| X -1| -2的定義域是(g,1 U3 , +g).則p 或 q”為假B.“ p 且 q”為真p 真 q 假D. p 假 q 真Fi、F2是橢圓

2、的兩個焦點，過Fi且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于 ABF2是正三角形，則這個橢圓的離心率是已知 m、1若2若3若4若B 兩點,可2C.2n 是不重合的直線,ma ,n/ am/ a ,m/ 3a A 3=n,m/m a ,m丄3其中真命題的個數(shù)是A . 0a、3是不重合的平面，有下列命題: ，貝 U m / n;，則a/3； n,貝 U m /a且 m /，則a/3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入班安排 2 名，則不同的安排方案種數(shù)為C. 24 名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每2312 2B.Afc：2一 1 一 1 7.已知函數(shù) y=log2x 的反函數(shù)是 y=f (x),則函數(shù)

3、 y= f (1 x)的圖象是2 2A .A6C42 2C.A6A4D.2A：J01(B)(D)(O& 已知 a a、b b 是非零向量且滿足(a a 2b b)JIJIA .B .63丄 a a, (b b 2 a a)丄 b b,2兀則 a a 與 b b 的夾角是C .3119.若(1-2)9展開式的第 3 項為 288，則lim (- -yx xC .-248n的球面上三點， ,O 為球心，則直線 : )B . arccos_?10 .如圖，A、B、C 是表面積為AB=2 , BC=4，/ ABC=60 與截面 ABC 所成的角是OAarcsinarcsin3D. arccos

4、33)的值是D.11.定義在 R 上的函數(shù)JIf(x)滿足 f(x)=f(x+2),當(dāng) x 3, 5時，f(x)=2- |x-4|,則(JIA. f(sin)f(cos )6 6 2兀2兀C . f(cos )f(cos1)f(cos2)f(si n2)QA . (2 . 7 2)a 萬元B . 5a 萬元4C. (2.7+1) a 萬元D. (2 . 3 +3) a 萬元第H卷(非選擇題共 90 分)二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置13 .直線 x+2y=0 被曲線 x2+y2 6x 2y 15=0 所截得的弦長等于 _.15.某射手射

5、擊 1 次，擊中目標(biāo)的概率是 互之間沒有影響.有下列結(jié)論：1他第 3 次擊中目標(biāo)的概率是 0.9;2他恰好擊中目標(biāo) 3 次的概率是 0.93X0.1 ；3他至少擊中目標(biāo) 1 次的概率是-04.其中正確結(jié)論的序號是 _(寫出所有正確結(jié)論的序號).16.如圖 1,將邊長為 1 的正六邊形鐵皮的六個角各 切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一 個無蓋的正六棱柱容器.當(dāng)這個正六棱柱容器的底面邊長為_ 時，其容積最大 三、解答題：本大題共 6 小題，共 74 分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.(本小題滿分 12 分)設(shè)函數(shù) f(x)=a a b b,其中向量 a a=(2cosx,1)

6、, b b=(cosx,(I)若 f(x)=1. 3 且 x33T(H)若函數(shù) y=2sin2x 的圖象按向量 c c=(m, n)(|m|)平移后得到函數(shù) y=f(x)的圖象,2求實數(shù) m、n 的值.14.設(shè)函數(shù)FX 一 1f X 二 xIa x =0 .在x =0處連續(xù),則實數(shù)a 的值為JI，求x;09 他連續(xù)射擊 4 次，且各次射擊是否擊中目標(biāo)相518(本小題滿分 12 分)甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的 10 道試題中，甲能答對其中的 6 題， 乙能答對其中的 8 題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3 題進(jìn)行測試， 至少答對 2 題才算合格.(I)求甲答對試題數(shù)E的概率

7、分布及數(shù)學(xué)期望；(n)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率619.(本小題滿分 12 分)在三棱錐 SABC 中， ABC 是邊長為SA=SC=2 .3 , M、N 分別為 AB、SB 的中點.(I)證明：AC 丄 SB;(H)求二面角 N CM B 的大小；(川)求點 B 到平面 CMN 的距離.720.（本小題滿分 12 分）某企業(yè) 2003 年的純利潤為 500 萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20 萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金 600 萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n 年（今年為1第一年）

8、的利潤為 500（1+-）萬元（n 為正整數(shù)）.2（I）設(shè)從今年起的前 n 年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤為A-萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤為Bn萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求 An、Bn的表達(dá)式；（H）依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤？821 .(本小題滿分 14 分)2x - a已知 f(x)=2(x R)在區(qū)間1, 1上是增函數(shù)x +2(I)求實數(shù) a 的值組成的集合 A;1(H)設(shè)關(guān)于 x 的方程 f(x)= 的兩個非零實根為 X1、X2.試問：是否存在實數(shù) m,使得不x等式 m2+tm+1 兇X2|對任意

9、a A 及 t 1,1恒成立？若存在，求 m 的取值范圍；若不 存在，請說明理由922.(本小題滿分 12 分)1如圖，P 是拋物線 C: y= x2上一點，直線 I 過點 P 且與拋物線 C 交于另一點 Q.2(I)若直線 I 與過點 P 的切線垂直，求線段 PQ 中點 M 的軌跡方程；(H)若直線 I 不過原點且與 x 軸交于點 S,與 y 軸交于點 T,試求口的取|SP| |SQ|102004 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)答案(理工類)(福建卷)、1.A2.C3.D 4.A5.B6.B7.C8.B9.A10.D11.D12.B13. 4 .514.1/215.1,316.2/317

10、.本小題主要考查平面向量的概念和計算，三角函數(shù)的恒等變換及其圖象變換的基本技能,考查運算能力滿分 12 分.解：(I)依題設(shè)，f(x)=2cos2x+ . 3 sin2x=1+2sin(2x+).6二二.3由1+2sin(2x+)=1 ：j3，得 sin(2 x +)=.662二二二二5 -二二-wxW，一w2x+w，2x+= 一3326663n即 x=-4(H)函數(shù) y=2sin2x 的圖象按向量c=(m , n)平移后得到函數(shù) y=2sin2(x m)+n 的圖象, 即函數(shù)y=f(x)的圖象.由(I)得 f(x) =2si n2(x+ )+1.12JIJIT|m|3 ,0),AC= ( 4

11、, 0, 0) ,SB= AC 丄 SB.0),MN= ( 1, 0，丁2).設(shè) n n= (x, y, z)為平面 CMN 的一個法向量,廣CM n n =3x+ % %3 3y=0 ,二面角（川） 在Rt NEF 中，NF=. EF2EN2SCMN= CM NF= -.3 , SCMB= BM2 - -2設(shè)點 B 到平面 CMN 的距離為h.TVB-CMN=VN-CMB,NE丄平面.1CMB，一 SCMN3NE，. h=ScMBNE=2.即點S.CMN34.2B 到平面CMN的距離為3/ ACSB= ( 4 , 0 , 0) (0,2.3, 2.2) =0,連結(jié) OS、OB.(0,()由(

12、I)得CM= (3,2. 3, 2 .2),N(0 ,3,、2).14取 z=1,則 x= . 2 , y= 6,15MN n n= x+ . 2 z=0,二n=(2，一 .6 ,1),又OS=(0 , 0, 2、.2)為平面 ABC 的一個法向量, cos(n n,OS)=-OS=1.|n I OS 13二面角1N CM B 的大小為 arccos-3(川)由(I)(n)得MB=(1, J3 ,0),n n=( J2 , y6 ,1)為平面 CMN 的一個法向量，-Lr點 B 到平面 CMN 的距離 d=| n MB 1=4-2|n |3=10 n2+10n 500 100=10 n(n+1

13、)2n50因為函數(shù) y=x(x+1) - 10 在(0, +8)上為增函數(shù),2x5050當(dāng) 1wnw3 時，n(n +1) 10W12100.2-16僅當(dāng) n4 時，BnAn.至少經(jīng)過 4 年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利 潤.21.本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.滿分 14 分.20.本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、 數(shù)列求和、 不等式的等基礎(chǔ)知識， 考查運用數(shù)學(xué)知識解 決實際問題的能力 解：(I)依題設(shè)，1Bn=500(1+)+(1+2)+ +(1 +2 2 2(n

14、)BnAn=(500n一n-100)2.滿分 12 分.2An=(500 20)+(500 40)+ +(500 20n)=490n 10n ；11500)600=500n n2(490n 10n )色10.2-16解:(I)f7(x)=o4 2ax - 2x(x22)22-2(x-ax-2)17 f(x)在1 , 1上是增函數(shù), f / (x) 0 對 x 1, 1恒成立，即 x2 ax 20 對 x 1, 1恒成立設(shè):(x)=x2 ax 2,方法一：;:(1)=1 a 2 0,1 a 1,:(1)=1 + a 2 |X1 X2|對任意 a A 及 t 1, 1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) m2+tm+

15、1 3 對任意 t 1, 1恒成立，即 m +tm 20 對任意 t 1, 1恒成立.、rr22設(shè) g(t)=m +tm 2=mt+(m 2),方法一：2P( 1)=m m 2 0,二 y2g(1)=m +m 2 0,二 m2 或 mw2.所以，存在實數(shù) m,使不等式 m2+tm+1 兇x?對任意 a A 及 t 1, 1恒成立，其 取值范圍是m|m 2，或 mw2.1)=1 + a2w00waw1 (1)=1a2w01wa0,m 0(1)=m2+m 2 0二 m2 或 mW 2.所以，存在實數(shù) m,使不等式 m2+tm+1 |xi x?|對任意 a A 及 t -1, 1恒成立，其取 值范圍

16、是m|m 2，或 mW 2.22.本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本 思想和綜合解題能力滿分 12 分.解：(I)設(shè) P(X1,y1),Q(X2,y2),M(X0,yo)，依題意 X1*0,y10,y20.1由 y=-x2,2得 y / =x.過點 P 的切線的斜率 k 切=X1,TX1=0 不合題意，X1工 0X1X2廣 X0=-2121yo=X1 (xox1).2 x121消去 X1,得 y=xo+2+1(x0* 0),2X01 PQ 中點 M 的軌跡方程為 y=x2+2+1(x*0).2x2方法二：/ M 是 PQ 的中點191212X1X2田

17、y1= X1, y2=X2,X0=2 2 2/曰12121得 yi y2= X1 X2= (Xi+X2)(Xix2)=X0(Xix2),2 2 21X1= ,Xo將上式代入并整理，得2yo=xo+2+1(xo* 0),2Xo1 PQ 中點 M 的軌跡方程為 y=x2+-+1(X0).2X(n)設(shè)直線 l:y=kx+b，依題意 k豐0,0,則 T(0,b).分別過 P、Q 作 PP/丄X軸，QQ/丄 y 軸，垂足分別為 P/、Q,則l_ST| LSLI |OT | . |OT |b | |b|SP| |SQ|PP| |Q Q| |y1| |y2l2y1+y2=2(k +b),y1y2=b2.方法= |b|(丄+丄) 2|b|丄=2 冋擋 =2.y1y2yM b y1、y2 可取一切不相等的正數(shù),瞬+需的取值范圍是(2,-)方法則X0=y1-y2X1- X2=ki= 1X1y=2Xy=kx+b消去X,得 y2 2(k2+b)y+b2=0.|ST| .|ST|SP|201ST |SP|竺=|b|SQ|yiy2yy=|b|2(k2b)當(dāng) b0 時,| ST| | ST| 2(k2b) 2(k2b) 2k2=b2=-| SP| |SQ| b2bb當(dāng) b0 ,于是 k2+2b0，即 k2 - 2b.所以