1、個人購房按揭貸款的還款方案探討一、摘 要最近，關于個人購房按揭貸款的還款方式引起了社會各界的關注。銀行目前有等額本息還款法和等本不等息遞減還款法（簡稱等額本金還款法）兩種還款方式，且一般推薦提供等額本息還款法。在合理假設的前提下，運用等差數列求和設計等額本金還款法償還貸款本息和每月還款額的模型，運用迭代和等比數列求和兩種不同方法從不同角度推導等額本息還款法償還貸款本息和每月還款額的模型，通過計算討論比較兩者償還貸款本息的多少，得出等額本金還款法的利息比等額本息還款法償還貸款本息少，在貸款人具有還貸能力的條件下比較省錢。再在前兩個靜態模型的基礎上建立考慮未來現金的折現的動態模型，進一步說明結果，

2、更具實際性。從靜態模型特點得出，兩者償還貸款本息的多少和本金無關，并且相同還款方式下，年數越小，利率越低，償還貸款本息越少，我們取貸款月利率為4.4125, (年利率/12),貸款20萬，得到兩種方式償還貸款本息關于年數的關系式，選取典型年數，運用excel計算選取各年數的償還貸款本息，并據此作出折線圖進行擬和，得出總體趨勢，各年數下，等本不等息遞減還款法計算得到的償還貸款本息比等額本息還款法少，隨著年數增加，兩者償還貸款本息都增加，同時差額不斷增加。為提高科學性，從三個方面進行驗證：第一，分析其對利率的靈敏度，改變利率，其他不變，進行重新計算，得到兩者償還貸款本息增加，但是數據和圖表的趨勢和

3、原先相同。第二，取20年的房貸，其他條件不變，運用matlab作兩種方法每月還款額的的圖，比較其金額大小，通過對圖形的分析得出，雖然等本金法在前期每月還款多，但是線形下降的，最后總償還貸款本息比等額本息還款法少。第三、通過計算得出如果提前還貸，償還貸款本息等本金法比等額本息還款法少。對問題二，設計了雙周還款法，套用靜態模型，通過計算20萬貸款，與原先方式進行比較，得到結果是貸款年數在一年內，采用雙周法償還貸款本息會比較少。文章最后對模型進行了評價和推廣，在投資理財方面都可以進行運用二、 問題重述最近，關于個人購房按揭貸款的還款方式引起了社會各界的關注。銀行目前有等額本息還款法和等本不等息遞減還

4、款法兩種還款方式，且一般推薦提供等額本息還款法。有人認為一筆20萬元、20年的房貸，兩種還款方式的差額有1萬多元，認為銀行在隱瞞信息，賺消費者的錢。所謂等額本息還款法，即每月以相等的額度平均償還貸款本息，直至期滿還清；而等本不等息遞減還款法（簡稱等額本金還款法），即每月償還貸款本金相同，而利息隨本金的減少而逐月遞減，直至期滿還清。1請你建立數學模型討論這兩種房貸還款方式是否有好壞之分；2是否可以設計一些其它房貸還款方式，并作討論；3給報社寫一篇稿子，介紹你的研究成果。三、基本假設與符號說明基本假設：1、貸款月利率不變(查資料得目前個人房貸5-30年的貸款年利率為4.95%)r=4.95%/12

5、=4.125每月還息近似用月利率按月計算計算，不到5年的也近似用該利率計算2、先不考慮現金凈現值（時間因素）3、每月近似按四周算4、貸款人有足夠能力支付每月房貸5、銀行儲蓄利率比貸款率要低6、現金折算率近似銀行儲蓄利率符號說明：a=貸款本金n=房貸年數r=貸款月利率s=現金折現率x=總利息（按到期日計算）w=總償還貸款本息（按到期日計算）b=每月付款（等額法）a(i)=第i月歸還本金 （i=1,2,3）x(i)=第i月償還的利息y(i)=第i月欠銀行的錢w1=等本金法總付房貸款w2=等本息法總付房貸款 等本金法總付房貸款現值 等本息法總付房貸款現值a=W=a+x等額本金還款

6、法簡稱等本金法等額本息還款法簡稱等本息法注：其他符號文中出現時再給定說明四、問題的分析及模型建立銀行目前有等額本息還款法和等本不等息遞減個人購房按揭貸款的還款方式，無論哪種還款方式，都有一個共同點，就是每月的還款額（也稱月供）中包含兩個部分：本金還款和利息還款：月還款額=當月本金還款+當月利息 式1其中本金還款是真正償還貸款的。每月還款之后，貸款的剩余本金就相應減少：當月剩余本金=上月剩余本金-當月本金還款直到最后一個月，全部本金償還完畢。利息還款是用來償還剩余本金在本月所產生的利息的。每月還款中必須將本月本金所產生的利息付清：當月利息=上月剩余本金×月利率 式2其中月利率=年利率&

7、#247;12。由上面利息償還公式中可見，月利息是與上月剩余本金成正比的，由于在貸款初期，剩余本金較多，所以可見，貸款初期每月的利息較多，月還款額中償還利息的份額較重。隨著還款次數的增多，剩余本金將逐漸減少，月還款的利息也相應減少，直到最后一個月，本金全部還清，利息付最后一次，下個月將既無本金又無利息，至此，全部貸款償還完畢。兩種貸款的償還原理就如上所述。上述兩個公式是月還款的基本公式.其他公式都可由此導出。要比較兩種方法的好壞，是在相同房貸年數的前提下比較在同一時間點上兩者所付給銀行總本金和利息的多少，省錢的就比較好，這里我們選取比較有代表性的貸款發生和結束時為計算還款的共同時間點。(1)&

8、#160;以還清貸款日為計算總償還貸款本息共同時間點，建立靜態模型：建立模型1:等額本金還款方式,每次還款的本金還款數是一樣的。 為還款年數，按月歸還貸款，所以還款次數為當月本金還款=總貸款數÷還款次數當月利息=上月剩余本金×月利率=總貸款數×（1（還款月數-1）÷還款次數）×月利率所以第i月還利息為：( =1,2, )易見 是一個以 為首項的等差數列,方差為當月還款額=當月本金還款當月利息所以,第i月還款為：總利息所有利息之和根據等差數列求和:即:總利息=總貸款數×月利率×

9、（還款次數1）÷2總償還貸款本息本金總利息：由于等額本金還款每個月的本金還款額是固定的，而每月的利息是遞減的，因此，等額本金還款每個月的還款額是不一樣的。開始還得多，而后逐月遞減。2. 等額本息還款方式按模型1的等額本息還款方式的公式推導見附錄一下面我們從另一個角度建立模型來求解總償還貸款本息模型2:第i月欠銀行的錢數(i=0,1,2, )， 為每月償還的貸款，剛開始欠銀行錢：當月欠銀行錢=上月欠銀行錢當月償還的錢：化簡得： =( - )即 =( - )最后一年欠款為零:所以 ( - 

10、) =0= = =五、模型化簡求解和驗證顯然兩種方式償還貸款本息與本金無關，因此比較w大小主要和年數n和利率r有關。我們不妨設a=200000元，先假設月利率為 4.125，將模型化簡。得到兩種方式償還貸款本息關于年數的關系式。(1) 研究w和n 關系，即不同年限兩種方法的還款額各為多少，通過excel制得圖表總還貸額（元）房貸年數n等本金法w1等本息法w21234567891015203050圖表根據這些數據繪制的圖表2如下：注：系列1代表w2, 系列2代表w1圖表2說明：由于人年滿18周歲才可申請房貸，一般還貸最后期限不會超過退休年齡，所以

11、n取到50年，當n超過一年時,年限一般取整,這符合普通大眾實際情況。從數據可以看出在年限相同時w1總比w2要小，因此雖然年數沒有用窮舉法，但已經揭示了其規律，不影響科學性，并且通過圖表更形象看出其趨勢。剛開始兩者差距不大，但是從n=10時開始差距逐漸拉大.。當n=20時 所以兩種還款方式的差額有1萬多元,等額本金法較省錢。驗證一：當r變化時w的變化趨勢，假設r=4.3,其他假設不變，通過excel制得圖表2房貸年數等本金法等本息法等本金法等本息法12234567891015203038450圖表3根據這些數據繪制的圖表如下：圖表顯然在年限相同時w1總比w2要小當n=20時w1303630驗證二

12、：a=200000元等本金法b當n=20時，每月還款額圖表5如下:等本息法b圖表5由圖分析可知，兩種方法在前幾個月每月還款等本金法比等本息法要多，在后期等本金法每月還款下降很快，從圖的面積可看出，總額等本金法較少。驗證三：以貸款20萬元、期限20年、月利率4.2來計算，可算出，依舊是本金還款法利息少。假如5年后，市民提前一次性還清貸款，根據本息還款法計算，5年中，已還本金49457元，已還利息69733元，需一次性付清所剩的本金250543元；根據本金還款法計算，5年中，已還本金75000元，已還利息66308元，再一次還款225000元就行了。兩種還款方法比較之下，本金還款法所支付利息比本息

13、還款法少3425元。(2) 以貸款日為計算總償還貸款本息共同時間點，考慮時間價值,對模型1，2進行改進，以月利率s=/12=2.775(3.33%為當前年銀行存款利率),將兩種還款方式下每月還本付息折現到貸款發放日，建立動態模型:改進模型1  = +a/12n，根據現值計算公式化為:改進模型2：同理可得說明：顯然兩種方式好壞與本金無關，因此比較w大小主要和年數n和利率r有關。我們不妨設a=200000元，假設月利率為 4.125， n=20,a=200000,用matlab求解ww1,ww2,程序源代碼見附錄二說明：差額并沒有原先模型那樣大，但等本金法仍比等額法還

14、款少。(3) 其他模型的建立（不考慮折現）:由于本金是一定要還的,各種方法的本金都是一樣的,因此我們研究其他還款方式因著重考慮利息,根據w1,w2公式和圖表2看出 ,相同還款方式利率越低,年限越少,還款總額越少,因此已經貸款的可以考慮提前還貸，每種還款方式都是根據借款人剩余本金的多少計算利息的。不同的是，有的還款方式歸還本金的速度比較快，有的則較慢，由此導致不同還款方式總利息的不同。根據貸款償還原理根和圖表1可知，還款年數少，前期還本金多比較核算。假設現在按雙周還款 R=r/2=0.004125/2=0.002，www1,www2分別為等本金法和等本息法的總還款額，改進模型1和模型2，得到模型

15、3：n=20， a=200000，R=0.002,用excel得到：房貸年數等本金法w1等本金法www1等本息法w2等本息法www212023456789101520299,43050圖表6由表可得出在一年內，雙周法比較合算。銀行推出不同的房貸方式，只是為了滿足收入情況不同的各種借款人的需要。雖然理論上總還款額比較少的比較核算，實際生活中要看是否適合自己的經濟狀況。選擇還款方式的關鍵是要與自己的收入趨勢相匹配，盡量使收入曲線和供款相一致。在有還貸能力情況下盡量選擇總還款額比較少。等額本金還款:適合目前收入較高的人群。借款人在開始還貸時，每月負擔比等額本息要重。隨著時間推移，還款負擔便會逐漸減輕

16、。這種還款方式相對同樣期限的等額本息法，總的利息支出較低。等額本息還款法的特點是每個月歸還一樣的本息和，容易作出預算。還款初期利息占每月供款的大部分，隨本金逐漸返還供款中本金比重增加。等額本息還款法更適用于現期收入少，預期收入將穩定或增加的借款人，或預算清晰的人士和收入穩定的人士，固定利率:進入加息周期較合算目前國內借款人與銀行已簽訂的房貸合同都是浮動利率的，央行每一次加息，借款人的月供就要有相應地增加。在貸款合同簽訂時，即設定好固定的利率，不論貸款期內利率如何變動，借款人都按照固定的利率支付利息，但風險較大。按期付息還本:適合房產投資客，借款人通過和銀行協商，為貸款本金和利息歸還制訂不同還款

17、時間單位。即自主決定按月、季度或年等時間間隔還款。實際上，就是借款人按照不同財務狀況，把每個月要還的錢湊成幾個月一起還。還可以有遞增法，氣球貸等等，核心都是根據貸款人經濟實力制定不同時期的本金和利息的還款額，理論上占用時間越少越省錢。六、模型的優缺點與改進方向1、模型的優點：（1）采用的數學模型有成熟的理論基礎，可信度較高。（2）本文建立離的模型有相應的軟件支持，推光容易。（3）本文建立的模型與實際緊密聯系，考慮現實情況的多樣性，從而使模型更貼近實際，更實用。（4）本文用數學工具，嚴密對模型求解，具有科學性。（5）為了更貼近實際，在靜態模型的的基礎上，考慮未來現金折現對模型進行改進，加以驗證。

18、（6）借助圖表，比較形象直觀，從多方面對結果進行驗證。2、模型缺點：（1）模型復雜因素較多，不能對其進行全面考慮。（2）利率的精確度不同可能造成一定誤差（3）經濟社會中隨機因素較多，使模型不能將其準確反應出來3、模型的改進（1）考慮通貨膨脹等市場經濟中的因素（2）考慮國家政策、重大事件比如加息對人們還貸行為的影響（3）對利率有更準確的計算方法（4）考慮不同人群的消費觀念和收入水平4、模型的推廣可以用文中所用到模型計算各期應還貸款，可以用于計算公司的投資收益，凈現金流。證券和房地產投資方面也可以很好的進行評估。六、參考文獻1 吳建國.數學建模案里例精編.北京：中國水利水電出版社, p289-p3

19、09,20062 馮偉，黃力偉，王勤，尹成義.數學建模原理與案例：科學出版社，p204-p233,20073 周開利，鄧春暉.MATLAB基礎及其應用教程：北京大學出版社，p185-194,20074 Mark M.Meerschaert.Mathematical Modeling(Second Edition)：機械工業出版社，p43-p50,2005七、附錄附錄一 等額本息還款方式的公式推導設：總貸款額 a還款次數=n還款月利率r月還款額b當月本金還款y(i)（i還款月數）第一個月，當月本金為全部貸款額a，因此：第一個月的利息ar第一個月的本金還款額Y(1)b第一個月的利息bar第一個月剩

20、余本金總貸款額第一個月本金還款額a（bar）a×（r）b第二個月，當月利息還款額上月剩余本金×月利率第二個月的利息（a×（r）b）×r第二個月的本金還款額Y(i)b第二個月的利息b（a×（r）b）×r第二個月剩余本金第一個月剩余本金第二個月本金還款額a×（r）b（b（a×（r）a）×r）a×（r）bb（a×（r）b）×ra×（r）2a（r）×b(1+r)2表示(1+r)的2次方第三個月的利息第二個月剩余本金×月利率第三個月的利息（a×（

21、r）2a（r）×b）×r第三個月的本金還款額Y(3)b第三個月的利息b（a×（r）2b（r）×b）×r第三個月剩余本金第二個月剩余本金第三個月的本金還款額a×（r）2b（r）×b（a（a×（r）2b（r）×b）×r）a×（r）2b（r）×b（b（a×（r）2×rb（r）×b）×r）a×（r）2×（r）（bb（r）×b×（r）a×（r）3b（r）×b（r）2×b上式可以

22、分成兩個部分第一部分：a×（r）3第二部分：b（r）×b（r）2×bb×（r）（r）2通過對前三個月的剩余本金公式進行總結，我們可以看到其中的規律：剩余本金中的第一部分總貸款額×（月利率）的次方，（其中還款月數）剩余本金中的第二部分是一個等比數列，以（月利率）為比例系數，月還款額為常數系數，項數為還款月數。推廣到任意月份：第月的剩余本金a×（r）b×s()（s(n)為（r）的等比數列的前項和）根據等比數列的前項和公式：zz2z3z（z）（z）可以得出b×s(n)b×（r）（r）b×（r）r所以，

23、第月的剩余本金a×（r）b×（r）r由于最后一個月本金將全部還完，所以當等于還款次數時，剩余本金為零。剩余本金a×（r）nb×（r）n）r0從而得出月還款額ba×r×（r）n÷（r）n）總貸款額×月利率×（月利率）還款次數÷（月利率）還款次數附錄二“等額本金還款法” 的還款總額的計算源代碼：M-file:function s = summ1( n )%SUMM1 Summary of this function goes here% Detailed explanation goes heres

24、 = 0;a = 200000;r = 0.0042;d = 0.0025;for i = 1:ndb = (a ./ n + (a - (i - 1) .* a) ./ n) .* r) ./ (1 + d) . i);s = s + db;endinput:>> summ1(240)output:ans =2.3582e+005“等額本息還款法” 的還款總額的計算源代碼：M-file:function s = summ2( n )%SUMM2 Summary of this function goes here% Detailed explanation goes heres

25、= 0;a = 200000;r = 0.0042;d = 0.0025;for i = 1:ndb = (a .* (r .* (1 + r) . n) / (1 + r) . n - 1) / (1 + d) . i);s = s + db;endinput:>> summ(240)output:ans =2.3879e+00附錄三給報社寫一篇稿子，介紹研究成果唯有適合的才是最好的如何選擇住房貸款還款方式親愛的讀者朋友:你們好!最近，關于個人購房按揭貸款的還款方式引起了社會各界的關注。銀行目前有等額本息還款法和等本不等息遞減還款法兩種還款方式，且一般推薦提供等額本息還款法。有人

26、認為一筆20萬元、20年的房貸，兩種還款方式的差額有1萬多元，認為銀行在隱瞞信息，賺消費者的錢。所謂等額本息還款法，即每月以相等的額度平均償還貸款本息，直至期滿還清；而等本不等息遞減還款法（簡稱等額本金還款法），即每月償還貸款本金相同，而利息隨本金的減少而逐月遞減，直至期滿還清。盡管等額本金還款法被炒得沸沸揚揚，但是很多市民還是不太清楚自己究竟適合哪種還款方式。從測算的結果來看，等額本金還款方式肯定要比等額本息方式支付的利息少。借款人可根據自己的經濟狀況和還款意愿自主選擇還貸方式。一、等額本息還款法與等額本金還款法的比較分析假定借款人從銀行獲得一筆20萬元的個人住房貸款，貸款期限20年，貸款月

27、利率4.125，每月還本付息。不考慮時間因素，將每月還本付息額簡單累加，在整個還款期內，等額本金還款法下借款人共付本息299,412.50元，而等額本息法共付利息315,454.45元，兩者相比，等額本金還款法少付17406.68元。考慮時間因素，以折現率2.275計算,等額本金還款法下借款人共付本息 元，而等額本息法共付利息 元，兩者相比，等額本金還款法少付3650元。二、提前還貸：還是“本金法”省錢有些市民在買房后，可能會提前還貸，那么，在這種情況下，哪種還款法省錢呢？仍以貸款20萬元、期限20年、月利率4.2來計算，可算出，依舊是本金還款法利息少。假如5年后，市民提前一次性還清貸款，根據本息還款法計算，5年中，已還本金49457元，已還利息69733元，需一次性付清所剩的本金250543元；根據本金還款法計算，5年中，已還本金75000元，已還利息66308元，再一次還款225000元就行了。兩種還款方法比較之下，本金還款法所支付利息比本息還款法少3425元