1、2.7隱函數的微分法一、 一個方程的悄形二、 方程組的惰形三、 小結預備知識：隱函數的概念設有方程F( (n,x“)=o,如果存在一個4元函數V=/(旺，兀2,X“) )，使得F(xpx2, XW,/(XPX2XH)SO,則稱y= /(曲,兀2,x“)是由方程F(xpx2-,xw, j) = 0所確定的隱函數。例如，y= V1 x是由方程 l+ y 1 =0所確定的隱函數c2.7.1由一個方程確定的隱函數的微分法1. F(x,) = 隱函數存在定理1設函數在點的某一鄰域內具有 連續的偏導數，且尸( (Uo) )=。，竹(斗)0) )工0 則方程F(x,j) = 0在點P(x0,j0)的某一鄰域

2、內 恒能唯一確定一個單值連續且具有連續導數的 函數y = f(x),它滿足條件J0= /(x0),并有dy Fx石=-可隱函數的求導公式如果F(x,j)的二階偏導數連續，則可求y對x的二階 導數：例2. 52證方程x2+y2-1 = 0在點,1)的菓鄰域內能唯一確定一個單值可導、J&x=O = 1的隱函 數=/( (x),并求這函數的一階和二階導數在 的值.解 令F(x,j) = x2+j2 1則Fx= 2x,竹=2幾均連續。兀0= 0=l.F(O,1) = O, FyM) = 20,依定理知方程+ ,2 _ 1 = 0在點(0J)的某鄰 域內能唯一確定一個單值可導、且時J = 1的函

3、J&J = /( (X) ).函數的一階和二階導數為X + yy-x2. F(x,j,z) = O隱函數存在定理2設函數F(x.j,z)在點P(x0.yzQ)的某一鄰域 內有連續的偏導數，且F(xo,yo,zo) = O, F；( (x) )o S) )工則方程F(x.y.z)= ”在點 尸(AT。,兒,)的某一鄰域內恒能唯一確定一個 單值連續且具有連續偏導數的函數;:=/(x,j),它滿足條件5=/(兀0兒)，并有 更=_竺，dz =_ dx Fzdy Fz例2已知用公式求字xax解 令v) = In Jx2+ y2arctan,xJ x2+y2a_ ” + y XX2InJx2y2

4、arctanxV-xx2+y2設0)具有連續的一階偏導數.方程p(cx-azcy-fe) = 0確定了函婁如=z(x).求az”+bj 解 令-cx-azyv =cy-te,顯然復合函數qAcx-az cy-bz)有對r,y,z的連續偏導數“ 而化=p (cx-az)x+02-反)=Pc,而理=9 (cx-az)z+(-加)二=3(F) +處(),同理，5=-冬=-絲化一dp -b(p2a、+ 碣己知X =Inz，求血，求血.zy厶xzX解設F(xyz) =-In =-Inz 4-Inyy貝ijz y z所以區二丄(二亠亠,dx Fzzzz z + x& 竹1 X 1z2故“冇+hzv

5、=a7S+-a(p_b(p、aP+化a(px+bp、= /(- ) =-QyFzy z z y(z + x)解二利用全微分形式的不變性，兩端求全微分得77整理即得dz =-(dxddy).Z +xy設門“宀W) )具有連續偏導數，方程八X + ”y+Z,Z + x) =()確定了函數Z =2( (幾刃求5心解一直接利用求導公式得- fx/ri + /2o+/3i/, 4-/3z -=- =- ,xfz刀0 + /2 i + Zr】+A牙1 + /2 1 + Zrf+兀fz/| -0 + /21 4-/3-lf2+/3解二 方/(x + y,y+ z,z + x) = O兩端對x求導，同時 注意

6、z是r, y的函數，有所以Nz=(dx + dy).Z + X y/|+厶3+人U+z*) = O,所以_AA,力+同理可得一餡.解三 利用全微分形式不變性，兩端求全微分，得f(兀 + 刃 + 幾rf(z + x) = O,f (dx+dy) + f (dy +dz、+f、(dz+dx、=O,所以dz = _心厶心-心厶分.f2七f3兀+/*3因此設z = /(x + y + z.xyz)令F(x.z) = z-/(x + y+ z xyz). = x + y + z,v = xyz F =z /(w,v)(X0, J*( (rHo,V()的某一鄰域內恒能唯一確定一 組單值連續且典有連續偏導數

7、的函數“= “()arardudvdGdC；ditdr0(,Gd(uv)下面推導公式:現即,等式兩邊對兀求導,Glx.y,u(x.y).vx.y)=OF(X,JUGV) = ()G(“S) )= O確定了 ()，()A西+尸西Mdxvdx唸 5吿卜 5 鑒+化尋duDjId(AG)dv21a( (AG)ctrDJd(xv)9dxDJd(ux)(Fx.y.u(x.y)v(x.y)=OGx, j,w(x, j),v(x)= 0等式兩邊對y求導，得關于等，等的線性方程組。 解方程組得特別地，(定理2 13)方程組JFgy,z) = uIG(x,y,z) = O可以確定函數y = y(x), z= z(x),且d(F.G)dyd(x9z)GxGzdx d(F.G) d(y9z)a( (F,G)Fy Fxdz3(y,x)by G*厶 _d(F.G) _|竹巧 d(y9z)bv G.y z類似，對3“ _10(F-G)dy J西二1 3(FQdy Jd(uy)(2 x)g(mczMoJIIN32Z存I c I (9 = )2ZHXoizH(z,r) )= O所確定，其甘均可微，且/=創)工求包.3(z,f)dy對方程組中