1、空間向量在立體幾何中的應用考情分析考點新知理解直線的方向向量與平面的法向量的意義；會用待定系數法求平面的法向量能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直和平行關系體會向量方法在研究幾何問題中的作用能用向量方法判斷一些簡單的空間線面的平行和垂直關系；能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題.1. (選修21P97習題14改編)若向量a(1，2)，b(2，1，2)且a與b的夾角的余弦值為，則_答案：2或解析：由已知得， 83(6)，解得2或.2. (選修21P89練習3)已知空間四邊形OABC，點M、N分別是OA、BC的中點，且 a, b, c，用a，b，c表示向量 _答案：(bca)解析：如

2、圖， ( )·( )( )( 2 )( )(bca)3. (選修21P101練習2改編)已知l，且l的方向向量為(2，m，1)，平面的法向量為，則m_.答案：8解析：(2，m，1)·0，得m8.4. (選修21P86練習3改編)已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)，若a、b、c三個向量共面，則實數等于_答案：解析：由于a、b、c三個向量共面，所以存在實數m、n使得cmanb，即有(7，5，) m(2，1，3)n(1，4，2)，即(7，5，)(2mn，m4n，3m2n)， 解得m，n，.5. (選修21P110例4改編)在正方體ABCDA1B1C1D1中，點

3、E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為_答案：解析：以A為原點建立平面直角坐標系，設棱長為1，則A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)， (0，1，1)，設平面A1ED的法向量為n1(1，y，z)，則 n1(1，2，2) 平面ABCD的一個法向量為n2(0，0，1)，cosn1，n2.即所成的銳二面角的余弦值為.1. 直線的方向向量與平面的法向量(1) 直線l上的向量e以及與e共線的向量叫做直線l的方向向量(2) 如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面，那么稱向量n垂直于平面，記作n.此時把向量n叫做平面的法向量2. 線面關系的判定直線l1的方向向量為

4、e1(a1，b1，c1)，直線l2的方向向量為e2(a2，b2，c2)，平面的法向量為n1(x1，y1，z1)，平面的法向量為n2(x2，y2，z2)(1) 如果l1l2，那么e1e2e2e1a2a1，b2b1，c2c1(2) 如果l1l2，那么e1e2e1·e20a1a2b1b2c1c20(3) 若l1，則e1n1e1·n10a1x1b1y1c1z10(4) 若l1，則e1n1e1kn1a1kx1，b1ky1，c1kz1(5) 若，則n1n2n1kn2x1kx2，y1ky2，z1kz2(6) 若，則n1n2n1·n20x1x2y1y2z1z203. 利用空間向量

5、求空間角(1) 兩條異面直線所成的角范圍：兩條異面直線所成的角的取值范圍是.向量求法：設直線a、b的方向向量為a、b，其夾角為，則有cos|cos|.(2) 直線與平面所成的角范圍：直線和平面所成的角的取值范圍是.向量求法：設直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為，a與u的夾角為，則有sin|cos|或cossin.(3) 二面角二面角的取值范圍是0，二面角的向量求法：() 若AB、CD分別是二面角l的兩個面內與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量AB與CD的夾角(如圖)() 設n1、n2分別是二面角l的兩個面、的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)的大小就是

6、二面角的平面角的大小(如圖)備課札記題型1空間向量的基本運算例1如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點若a，b，c，則_.答案：abc解析：abc.已知空間三點A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)設a，b.(1) 求a和b的夾角；(2)若向量kab與ka2b互相垂直，求k的值解：A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，a，b，a(1，1，0)，b(1，0，2)(1)cos，a和b的夾角為arccos.(2)kabk(1，1，0)(1，0，2)(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)，且(kab)(ka2b)，(k1，k，2)&

7、#183;(k2，k，4)(k1)(k2)k282k2k100，解得k或2.題型2空間中的平行與垂直例2如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是線段EF的中點求證：(1) AM平面BDE；(2) AM平面BDF.證明：(1) 建立如圖所示的空間直角坐標系，設ACBDN，連結NE.則N，E(0，0，1)，A(，0)，M. ，. 且NE與AM不共線 NEAM. NE平面BDE，AM平面BDE， AM平面BDE.(2) 由(1)知， D(，0，0)，F(，1)， (0，1)， ·0， AMDF.同理AMBF. 又DFBFF， AM平面BDF.如右圖，

8、在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，G為BC1D的重心，(1) 試證：A1、G、C三點共線；(2) 試證：A1C平面BC1D；證明：(1) ，可以證明：()， ，即A1、G、C三點共線(2) 設a，b，c，則|a|b|c|a，且a·bb·cc·a0， abc，ca， ·(abc)·(ca)c2a20， ，即CA1BC1，同理可證：CA1BD，因此A1C平面BC1D.題型3空間的角的計算例3(2013·蘇錫常鎮二模)如圖，圓錐的高PO4，底面半徑OB2，D為PO的中點，E為母線PB的中點，F為底面圓周上一點，滿足EFDE.(1

9、) 求異面直線EF與BD所成角的余弦值；(2) 求二面角OOFE的正弦值解：(1) 以O為原點，底面上過O點且垂直于OB的直線為x軸，OB所在的線為y軸，OP所在的線為z軸，建立空間直角坐標系，則B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)設F(x0，y0，0)(x0>0，y0>0)，且xy4，則(x0，y01，2)，(0，1，0)， EFDE，即，則·y010，故y01. F(，1，0)，(，0，2)，(0，2，2)設異面直線EF與BD所成角為，則cos.(2) 設平面ODF的法向量為n1(x1，y1，z1)，則即令x11，得y1，平面ODF的

10、一個法向量為n1(1，0)設平面DEF的法向量為n2(x2，y2，z2)，同理可得平面DEF的一個法向量為n2.設二面角ODFE的平面角為，則|cos|. sin.(2013·江蘇卷)如圖所示，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點D是BC的中點(1) 求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2) 求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值解：(1) 以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以(2，0，4)，(1，1，4)

11、因為cos，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.(2) 設平面ADC1的法向量為n1(x，y，z)，因為(1，1，0)，(0，2，4)，所以n1·0，n1·0，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2，1)是平面ADC1的一個法向量取平面AA1B的一個法向量為n2(0，1，0)，設平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|cos|，得sin.因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.1. 設A1、A2、A3、A4、A5是空間中給定的5個不同的點，則使0成立的點M的個數為_答案：1 個解析：設A1、A2、A3、A4、A5坐標分別

12、為(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)，(x3，y3，z3)，(x4，y4，z4)(x5，y5，z5)，設M坐標為(x，y，z)由0得方程(x1x)(x2x)(x3x)(x4x)(x5x)0，(y1y)(y2y)(y3y)(y4y)(y5y)0，(z1z)(z 2z)(z3z)(z4z)(z5z)0，解得x，y，z.故有唯一的M滿足等式2. (2013·連云港模擬)若平面的一個法向量為n(4，1，1)，直線l的一個方向向量為a(2，3，3)，則l與所成角的正弦值為_答案：解析：cosn，a.又l與所成角記為，即sin |cosn，a|.3. (2013·新課標全國卷)

13、如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分別是AB、BB1的中點，AA1ACCBAB.(1) 證明：BC1平面A1CD；(2) 求二面角DA1CE的正弦值(1) 證明：連結AC1交A1C于點F，則F為AC1中點又D是AB中點，連結DF，則BC1DF.因為DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2) 由ACCBAB得ACBC. 以C為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.設CA2，則D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，(1，1，0)，(0，2，1)，(2，0，2)設n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即可

14、取n(1，1，1)同理，設m為平面A1CE的法向量，則可取m(2，1，2)從而cosn，m，故sinn，m.即二面角D-A1C-E的正弦值為.4. (2013·重慶)如圖所示，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F為PC的中點，AFPB.(1) 求PA的長；(2) 求二面角B-AF-D的正弦值解：(1) 如圖，連結BD交AC于O，因為BCCD，即BCD為等腰三角形，又AC平分BCD，故ACBD.以O為坐標原點，、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系Oxyz，則OCCDcos1，而AC4，得AOACOC3.又ODCDsin，故A(

15、0，3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(，0，0)因為PA底面ABCD，可設P(0，3，z)，由F為PC邊中點，得F，又，(，3，z)，因AFPB，故·0，即60，z2(舍去2)，所以|2.(2) 由(1)知(，3，0)，(，3，0)，(0，2，)設平面FAD的法向量為n1(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量為n2(x2，y2，z2)由n1·0，n1·0，得因此可取n1(3，2)由n2·0，n2·0，得故可取n2(3，2)從而向量n1，n2的夾角的余弦值為cosn1，n2.故二面角B-AF-D的正弦值為.5. (2013

16、3;連云港調研)在三棱錐SABC中，底面是邊長為2的正三角形，點S在底面ABC上的射影O恰是AC的中點，側棱SB和底面成45°角(1) 若D為側棱SB上一點，當為何值時，CDAB；(2) 求二面角S-BC-A的余弦值大小解：以O點為原點，OB為x軸，OC為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標系O-xyz.由題意知SBO45°，SO3.O(0，0，0)，C(0，0)，A(0，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)(1) 設(01)，則(1)(3(1)，0，3)，所以(3(1)，3)因為(3，0)，CDAB，所以·9(1)30，解得.故時， CDAB.(2) 平面ACB

17、的法向量為n1(0，0，1)，設平面SBC的法向量n2(x，y，z)，則n2·0，n2·0，則解得取n2(1，1)，所以cosn1，n2.又顯然所求二面角的平面角為銳角，故所求二面角的余弦值的大小為.1. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA12，底面是邊長為1的正方形，E、F分別是棱B1B、DA的中點(1) 求二面角D1-AE-C的大小；(2) 求證：直線BF平面AD1E.(1) 解：以D為坐標原點，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系如圖則相應點的坐標分別為D1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，(0，0，2)

18、(1，1，1)(1，1，1)，(1，1，1)(1，0，0)(0，1，1)，(0，1，0)(1，0，0)(1，1，0)設平面AED1、平面AEC的法向量分別為m(a，b，1)，n(c，d，1)由由m(2，1，1)，n(1，1，1)，cosm，n0，二面角D1AEC的大小為90°. (2) 證明：取DD1的中點G，連結GB、GF.E、F分別是棱BB1、AD的中點，GFAD1，BED1G且BED1G，四邊形BED1G為平行四邊形，D1EBG.又D1E、D1A平面AD1E，BG、GF平面AD1E，BG平面AD1E，GF平面AD1E.GF、GB平面BGF，平面BGF平面AD1E.BF平面AD1

19、E，直線BF平面AD1E.(或者：建立空間直角坐標系，用空間向量來證明直線BF平面AD1E，亦可)2. (2013·蘇州調研)三棱柱ABCA1B1C1在如圖所示的空間直角坐標系中，已知AB2，AC4，A1A3.D是BC的中點(1) 求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；(2) 求二面角B1-A1D-C1的正弦值解：(1) 由題意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3).(1，2，3)，(0，4，0). 設平面A1C1D的一個法向量為n(x，y，z) n·x2y3z0，n

20、3;4y0. x3z，y0.令z1，得x3.n(3，0，1)設直線DB1與平面A1C1D所成角為， (1，2，3)， sin|cos·n|.(2) 設平面A1B1D的一個法向量為m(a，b，c)(2，0，0)， m·a2b3c0，m·2a0， a0，2b3c.令c2，得b3.m(0，3，2)設二面角B1A1DC1的大小為， |cos|cos|m，n|，則sin. 二面角B1A1DC1的正弦值為. 3. (2013·南通二模)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B平面ABC，ABAC，且ABACA1B2.(1) 求棱AA1與BC所成的角的大小；(2)

21、在棱B1C1上確定一點P，使二面角PABA1的平面角的余弦值為.解：(1) 如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，2，2)，B1(0，4，2)，(0，2，2)，(2，2，0)cos，故AA1與棱BC所成的角是.(2) P為棱B1C1中點，設(2，2，0)，則P(2，42，2)設平面PAB的法向量為n1(x，y，z)，(2，42，2)，則故n1(1，0，)，而平面ABA1的法向量是n2(1，0，0)，則cosn1，n2，解得，即P為棱B1C1中點，其坐標為P(1，3，2)4. (2013廣東韶關第二次調研)如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知A45°，C90°，ADC105