1、2007 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)n卷)數(shù)學(xué)(理)試題(必修+選修n)第I卷(選擇題)本卷共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的.參考公式：如果事件 A、B 互斥，那么P (A+B ) =P (A) +P (B) 如果事件 A、B 相互獨(dú)立，那么P (A -B) =P ( A) P ( B)球的表面積公式S=4：；R其中 R 表示球的半徑,球的體積公式如果事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P, 那么-二R3V=3,n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k 次的概率knkPn(k)=CnP (1 - P)其中R 表示球的半徑、選擇題si

2、n 210二(C.2.函數(shù)y = sinx的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是(C.1+2i3 .設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i，則zA .-2 iB.-2 - i4.下列四個(gè)數(shù)中最大的是(C.2-i2A.(ln 2)B.In(ln 2)C.In ,2In 25 .在ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)， 若ADC.1 = 2DB,CDCA (B，則=()32D .36.不等式x -1x2-4-0 的解集是(B .(2,：)C .(21)U(2, * ：) D . (一： ：，一2)U(1,： ： )7.已知正三棱柱ABC - A B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等， 則AB1與側(cè)面ACC1A所成角的C. 1星期六、星期日參加公益活動(dòng)，

3、每人一天，要求 1人參加， 則不同的選派方法共有（C. 100 種2x11.設(shè)F,F2分別是雙曲線a且AF1= 3 AF2，則雙曲線的離心率為（正弦值等于（8. 已知曲線2xy3ln x的一條切線的斜率為4，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（.102C.752D. 、5212 .設(shè)F為拋物線yFA FB-(=4x的焦點(diǎn),C.B,C為該拋物線上三點(diǎn)，若FA FB F 0,第H卷 （非選擇題）本卷共 10 題， 共 90 分 二、填空題：本大題共4 小題，每小題 5 分，共 20 分.（1 F13 .（1+2X2）.X-丄 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為I x丿.（用數(shù)字作答）14 .在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（1

4、,匚2）（二0）.若在（0,1）內(nèi)取值的概率為 0.4,則在（0,2）內(nèi)取值的概率為 _ .15 . 一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm 的球面上.如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1cm,那么該棱柱的表面積為 _ cm2.9. 把函數(shù)y二ex的圖像按向量a二（2,3）平得到y(tǒng) = f （x）的圖像，則f （x）二xJ3e 2B .ex 3-2C.ex3D .ex 2-310 .從 5 位同學(xué)中選派 4 位同學(xué)在星期五、星期五有 2 人參加，星期六、星期日各有A. 40 種B. 60 種D . 120 種2b2的左、右焦點(diǎn),若雙曲線上存在點(diǎn)A，使一F1AF2二907.已知正三棱柱ABC - A B

5、1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等， 則AB1與側(cè)面ACC1A所成角的16已知數(shù)列的通項(xiàng)an =-5n 2，其前n項(xiàng)和為Sn，則lim 2二nFn三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分 10 分)在厶ABC中，已知內(nèi)角，邊BC =2、3設(shè)內(nèi)角B=x，周長(zhǎng)為y3(1)求函數(shù)y = f (x)的解析式和定義域;(2 )求y的最大值.18.(本小題滿分 12 分)從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1 件，假設(shè)事件A:取出的 2 件產(chǎn)品中至多有 1 件是二等品”的概率P(A)=0.96.(1) 求從該批產(chǎn)品中任取 1 件是二等品

6、的概率p;(2) 若該批產(chǎn)品共 100 件，從中任意抽取 2 件，表示取出的 2 件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求的分布列.19.(本小題滿分 12 分)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱 別為AB, SC的中點(diǎn).(1) 證明EF/平面SAD;(2) 設(shè)SD=2DC，求二面角A-EF-D的大小.20.(本小題滿分 12 分)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線x - . 3y = 4相切.(1) 求圓O的方程；(2)圓O與x軸相交于A, B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使PA ,PO , PB成等比數(shù)列，求SD丄底面ABCD，E，F(xiàn)分SC21.(本小題滿分 12 分)3 _ a設(shè)數(shù)列a

7、n的首項(xiàng)(0,), an咚,n =2,3,4,2(1 )求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn二an. 3 _2an，證明bn : bn !，其中n為正整數(shù).22.(本小題滿分 12 分)已知函數(shù)f(x)=x3-x.(1)求曲線y = f(x)在點(diǎn)M(t,f (t)處的切線方程;(2)設(shè)a 0,如果過點(diǎn)(a, b)可作曲線y = f (x)的三條切線，證明：-a：b：f (a).一、選擇題1答案：D1解析：sin210=_sin30，選 D。22答案：C3IT 解析：函數(shù) f(x)=|sinx|的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是,)，選 C。23答案：C1+ 2ia= 2解析：設(shè)復(fù)數(shù) z=a bi, (a, b R

8、)滿足- =i,1 2i = ai -b,，二 z =2- i,zp = 1選 C。4答案：D2l 1解析：T 0：In2 : 1, . ln(ln2)0 , (ln2) |n2 ,而 In 2= In20,x -413 1=一 X - 一 = 一，解得 x=3 或 x=2x 22 個(gè)單位，向上平移 3 個(gè)單位,解析：設(shè) F1, F2分別是雙曲線務(wù)壬=1的左、右焦點(diǎn)。若雙曲線上存在點(diǎn)A，使a b(2)/FIAF2=90O，且|AFI|=3|AF2|，設(shè) |AF2|=1 , |AFi|=3，雙曲線中2a=|AR| | AF?|=2,2c - |AF“I2|AF2離心率e二，選 B。 212答案：

9、B解析：設(shè) F 為拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)，A、B、C 為該拋物線上三點(diǎn)，若FA FB - FC= 0,則 F ABC 的重心， A、B、C 三點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為 F 點(diǎn)橫坐標(biāo)的 3 倍，即等于 3, |FA|+|FB|+|FC|=(XA1) (XB1) (XC16，選 B二、 填空題13.-42解析：(1+2X2)(X-1)8的展開式中常數(shù)項(xiàng)為1 C842 C；(-1)3= - 42。14.0.8解析：在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布 N (1, 0),正態(tài)分布圖象的對(duì)稱軸為 x=1 , 在(0, 1)內(nèi)取值的概率為 0.4,可知，隨機(jī)變量E 在(1, 2)內(nèi)取值的概率于在(0, 1)內(nèi)取

10、值的概率相同，也為0.4，這樣隨機(jī)變量 E 在(0, 2)內(nèi)取值的概率為 0.8。15.24：2解析：一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm 的球面上。正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑，現(xiàn)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為1cm，設(shè)正四棱柱的高為 h, 2R=2.1212h2，解得h=2，那么該棱柱的表面積為 2+42cm2.516.2解析：已知數(shù)列的通項(xiàng) an= 5n+2,其前 n 項(xiàng)和為 Sn(-)，貝 Vlim_2= 2F n22三、 解答題：本大題共 6 小題，共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。人兀+2兀17.解：(1) ABC的內(nèi)角和A B= :，由A , B 0, C 0得0：

11、B.33應(yīng)用正弦定理，知BC2爲(wèi)ACsin Bsin x二4sin x,si nA兀sin 3BC2兀ABsin C = 4sinxsi nAIdi2兀y = 4sin x 4sinxI3:,J -1因?yàn)閥 = AB BC AC,所以(2)因?yàn)閥=4|sinx cosxsinxI222.3小二5二2、3 ：x6丿 匕則Ao，A互斥，且A二A。A，故P(A) = P(AAJ二P(AJ P(A)= (1-p)2C；p(1- p)-p2于是0.96 h - p2.解得p 0.2，p -0.2(舍去)（2） 的可能取值為01,2.若該批產(chǎn)品共 100 件，由（1）知其二等品有100 0.2所以的分布列

12、為012C100495C80C20160一C2100495C2。一19C100495.P( =1)P( =2)p（=0） 316=4、3 si nix -所以，當(dāng)x -6J口仃Jnr-，即卩X=時(shí),23y取得最大值6.3.18.解：（1） 記2 件產(chǎn)品中無二等品A表示事件 取出的 2 件產(chǎn)品中恰有1 件二等品”20件，故P3164951604951949519.解法(1 )作FG/DC交SD于點(diǎn)G，則G為SD的中點(diǎn).1連結(jié)AG,FGX-CD，又CD /AB,_2故FG/AE,AEFG為平行四邊形EF/AG，又AG二平面SAD, EF二平面SAD. 所以EF/平面SAD.(2)不妨設(shè)DC =2，

13、則SD =4,DG =2厶ADG為等 腰直角三角形.取AG中點(diǎn)H，連結(jié)DH，則DH丄AG.又AB丄平面SAD，所以AB丄DH，而ABA AG二A, 所以DH丄面AEF.取EF中點(diǎn)M，連結(jié)MH，則HM丄EF.連結(jié)DM，則DM丄EF.故.DMH為二面角A-EF -D的平面角tan DMH=理2=、2.HM 1所以二面角A -EF-D的大小為arctan .2.解法二：(1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D -xyz.設(shè)A(a,O,O,S(0,0,b)，則B(a,a,0), C(0, a,0),E,F 0號(hào),取SD的中點(diǎn)G 0?0? l則AG = I aQ l 2丿I 2丿EF/AG,AG平面SAD, EF二平面SAD，所以EF/平面SAD.EF中點(diǎn)=(-,1,-1),EF =(-1,0,1), MD EF =0,MD EF2 2 2 2 2 2又EA0,1 J!AEF=0,EA丄EF,所以向量MD和EA的夾角等于二面角I 2丿20.解：（1）依題設(shè)，圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線x-z d tA-a,0上I 2丿(2)不妨設(shè)A(1,0,0),B(1,1,0,C(0,1,0,S(0,0,2,E1,1,0,2F 0,- ,1.2所以二面角arccosEFEF =AG,A - EF - D的平面角cosA-EF -D的大小為4即r4_=2.13得圓o的方程為x