1、二元函數最值問題.doc 二元函數的最值問題 因在高中數學教學的過程中經常會遇到求二元函數的最值問題，現對此類問題做簡單研究，并做如下總結： 一、消元法 例 1、已知 1 2 , 0 , 0 = + ³ ³ y x y x ，求23 2 y x+ 的最小值 解： 210 0 2 1 £ £ Þ ³ - = y y x ( ) 2 4 3 3 2 1 2 3 22 2 2+ - = + - = + y y y y y x ( )432214413 3 2min2= + ´ - ´ = + y x 變式 1、若 r y

2、 x Î , ，則此題還可用判別式法 令2 23 2 3 2 y t x y x t - = Þ + = 0 2 4 3 2 4 32 2= - + - Þ = + - t y y y y t ( ) 0 2 12 16 ³ - - = d t ( )323 232min2= + ³ y x t 練習 1、已知 r y x Î , ， 0 2 32 2= - + - y xy x ，求 y x + 的最大值。（11110 2） 二、基本不等式 例 2、已知 4 0 , 0 = + > > n m n m 且 ，求n m1

3、1+ 的最小值 解： ( ) n mn m n m+ ÷øöçèæ+ = +1 141 1 1 ÷øöçèæ+ + + = 1 141nmmn ( ) 1 2 241= + ³ 當且僅當 2 = = n m 時，取"=' 例 3、已知 y x y x + = + 求 , 22 2的最大值 法一（鏈接不等式） 2222 2=+£ +y xy x 當且僅當 1 = = y x 時，取"=' 法二（參數方程） 設ï&

4、#238;ïíì=qqsin 2cos 2yx， 則 q q sin 2 cos 2 + = + y x ÷øöçèæ+ =4sin 2pq ( )4, 2maxpq = = + 此時 y x 法三（數形結合） 令 y x z + = ，則 z x y + - = 當直線與圓相切時，圓心到次直線的距離 2 22± = = = zzd ( ) 2max =+ y x 練習 2、已知 xy y x y x = + > > 2 , 0 , 0 且 ，求 y x 2 + 的最小值。（9） 三

5、、參數方程 例 4、已知 r y x Î , ，且滿足 6 4 22 2= + + y xy x ，求2 24y x z + = 的范圍 解： ( ) 12 66 3222= ÷øöçèæ+ ÷øöçèæ + = + +y y xy y x 令ïîïíì- =q qqcos 2 sin 6cos 2xy ÷øöçèæ+ + = + = 32 c o s 4

6、8 42 2pq y x z 12 , 4 Î z 四、整體換元 例 5、已知 ( ) c bx ax x f + + =2，對 ( ) ( ) x f x f r x ¢ ³ Î " , ，求2 22c ab+的最大值 解： b ax c bx ax + ³ + + 22 ( ) 0 22³ - + - + b c x a b ax îíì£ + - + - = d>0 4 4 4 402 2ab ac a ab ba 0 4 42 2£ - + ac a b 2 24 4 a ac b - £ 2 2 222 2214 44 4÷øöçèæ+-=+-£+acacc aa acc ab 令 ( ) 0 42³ ³ - = b c a aact 又 1 ³ ³ t a c 則2 2 2214 4ttc ab+-£+ 令 0 , 1 ³ - = k t k ( )2 2 22 2 242242 2411 42 2- =+£+ +=+ +=+-