1、24.1.2 24.1.2 垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑EDCOABOBAE1 趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為弦的長）為37.437.4米，拱高（弧的中點到弦的距離）米，拱高（弧的中點到弦的距離）為為7.27.2米，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？米，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？2 圓是軸對稱圖形嗎？圓是軸對稱圖形嗎？如果是如果是, ,它的對稱軸是什么它的對稱軸是什么? ?你能找到多少條對稱軸？你能找到多少條對稱軸？圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形. .圓的對稱軸是任意一條圓的對稱軸是任意一條經過圓心的直線經過圓心的直線, , 它有它

2、有無數條對稱軸無數條對稱軸. .O3AM=BM,AM=BM, ABAB是是O的一條弦的一條弦. .你能發現圖中有哪些相等的線段和弧？你能發現圖中有哪些相等的線段和弧？n作直徑作直徑CD,CD,使使CDAB,CDAB,垂足為垂足為M.M.n下圖還是軸對稱圖形嗎下圖還是軸對稱圖形嗎? ?n發現圖中有發現圖中有: :n由由 CDCD是直徑是直徑 CDABCDAB可推得可推得OMCDAB AC=BC,AD=BD.4 如圖理由是如圖理由是: :連接連接OA,OB, ,則則OA=OB.OA=OB，OMAB，AM=BM.點點A A和點和點B B關于直徑關于直徑CDCD對稱對稱. .O關于直徑關于直徑CDCD

3、對稱對稱,當圓沿著直徑當圓沿著直徑CDCD對折時對折時, 點點A A與點與點B B重合重合, ,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. . AC =BC,AD =BD.AM=BM,AM=BM,n由由 CDCD是直徑是直徑 CDABCDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.OACDMB5 垂直于弦的直徑，垂直于弦的直徑，OABCDMCDABCDAB,如圖如圖CDCD是直徑是直徑,AM=BM,AM=BM, AC =BC, AD=BD.平分平分弦弦, ,并且并且平分平分弦所對的兩條弧弦所對的兩條弧. .垂徑定理垂徑定理OABCDM(3)平分弦(1)過圓心(4)平分弦所對的一條弧 (2)垂直

4、于弦(5)平分弦所對的另一條弧 6EDCOAB下列圖形是否具備垂徑定理的條件？下列圖形是否具備垂徑定理的條件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCAB直徑垂直弦直徑垂直弦, ,才能才能平分弦平分弦, ,平分弦所對的弧平分弦所對的弧. .7EDCOAB適用垂徑定理的幾個基本圖形適用垂徑定理的幾個基本圖形：CDCD過圓心過圓心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BDEOBDAOBDAEOBAE8(3)(2)垂直于弦(1)過圓心(4)平分弦所對的一條弧 平分弦(5)平分弦所對的另一條弧 不是直徑 推論：推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，

5、并且平分弦所對的兩條弧。直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。 BAOCDEACBDO(CDAEBEAB是直徑CDAB不是直徑)9例題例題1.1.如圖如圖, ,弦弦ABAB的長為的長為 8 cm, 8 cm,圓心圓心O到到 AB AB 的距離為的距離為 3 cm, 3 cm,求求O的半徑的半徑. .注意書寫格式注意書寫格式O ABE222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答：O O 的半徑為的半徑為5cm.5cm.118422AEAB 在在Rt AOE 中中 解：解：作OEAB于E點，連接OA.變變1 1. .在在O中中, ,直徑為直徑為 10 cm,10 cm,弦弦 ABA

6、B的長的長為為 8 cm, 8 cm, 則圓心則圓心O到到ABAB的距離的距離 . .變變2 2. .在在O中中, ,直徑為直徑為 10 cm,10 cm,圓心圓心O到到ABAB的距離為的距離為 3 cm,3 cm,則弦則弦ABAB的長為的長為 . .圓的半徑為圓的半徑為R R, ,弦長為弦長為 a a, ,弦心距為弦心距為d d, ,則則 R R 、a a、d d滿滿足關系式足關系式求圓中有關線段的長度時求圓中有關線段的長度時, ,常借助垂徑定理轉化常借助垂徑定理轉化為直角三角形為直角三角形, ,從而利用勾股定理來解決問題從而利用勾股定理來解決問題. . 2221()2adR3cm8cmAB

7、OE 1037.4m7.2mABOCD137.4,7.2,18.7,27.2ABCDADABODOCCDr222222,18.7(7.2) ,Rt OADOAADODrr在中由勾股定理 得即27.9( )rm解得答：趙州橋的主橋拱半徑約為答：趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.27.9m. 如圖用如圖用 表示主橋拱，設表示主橋拱，設 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為，半徑為r r. .經過經過圓心圓心O作弦作弦ABAB的垂線的垂線OC C，D D為垂足，為垂足，OC C與與 相交于點相交于點C,C,根據前面的結根據前面的結論，論，D D是是ABAB的中點，的中點，C C是是 的中點，的中點

8、，CDCD就是拱高就是拱高. . 在圖中在圖中, , 趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為對的弦的長）為37.437.4米，拱高（弧的中點到弦米，拱高（弧的中點到弦的距離）為的距離）為7.27.2米，你能求出趙州橋主橋拱的半米，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？徑嗎？解決問題解決問題11 1 1已知：如圖，弦已知：如圖，弦ABAB是是O中一條非直徑弦，中一條非直徑弦，D為弦為弦AB的中點，連接的中點，連接OD，AB=6cm =6cm ，OD= =cm. cm. 求求O 的半徑的半徑.DOBA解：連接解：連接OAD為為 弦弦AB 的中點的中點OD

9、AB, AD= AB=3cm 在在Rt Rt AOD 中中, , AO2=OD2+AD2設設O 的半徑為的半徑為r,r,則則r2=2+32得得r = 5r = 5答：答： O 的半徑的半徑OA為為5cm.5cm.21122如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且為互相垂直且相等的兩條弦相等的兩條弦, ODAB于于D, OEAC于于E.求證求證: 四邊形四邊形ADOE是正方形是正方形DOABCE證明：證明： OEAC ODAB ABAC四邊形四邊形ADOE為矩形為矩形 又又AC=AB AE=AD 矩形矩形ADOE為正方形為正方形. 90ODAEADOEAABOD,ACOE ABAD,ACAE2121 13 3