1、24.4 弧長和扇形面積第 1 課時 弧長和扇形面積1. 如圖,點 C 是以 AB 為直徑的半圓 O 的三等分點,AC=2,則圖中陰影部分的面積是()A.4 3B.4 -2 333C.2 3D.2 33322. 如圖,在正方形 ABCD 中,分別以 B,D 為圓心,以正方形的邊長 a 為半徑畫弧,形成樹葉形(陰影部分) 圖案,則樹葉形圖案的周長為()2A.aB.2aC.1aD.3a3. 如圖,四邊形 OABC 為菱形,點 A,B 在以 O 為圓心的弧上,若 OA=2,1=2,則扇形 ODE 的面積為()A.4B.533C.2D.34. 如圖,水平地面上有一面積為 30 cm2 的扇形 OAB,

2、半徑 OA=6 cm,且 OA 與地面垂直.在沒有滑動的情況下,將扇形向右滾動至 OB 與地面垂直為止,則點 O 移動的距離為()9A.20 cmB.24 cmC.10 cmD.30 cm5. 已知一個扇形的圓心角為 100°,面積為 15 cm2,則此扇形的半徑長為 .6. 如圖,已知等邊三角形 ABC 的邊長為 6,以 AB 為直徑的O 與邊 AC,BC 分別交于 D,E 兩點,則劣弧 的長為 .7. 如圖,在RtABC 中,C=90°,AC=8,BC=6,兩等圓A,B 外切,則圖中兩個扇形(即陰影部分)的面積之和為 .8. 如圖,在ABC 中,ACB=90°

3、,B=30°,BC=6,三角形繞直角頂點 C 逆時針旋轉,當點 A 的對應點 A'落在 AB 邊的起始位置上時即停止轉動,則點 B 轉過的路徑長為 .9. 如圖,AB 是半圓的直徑,AB=2R,C,D 為半圓的三等分點,求陰影部分的面積.10. 圖中的粗線 CD 表示某條公路的一段,其中 是一段圓弧,AC,BD 是線段,且 AC,BD 分別與圓弧 相切于點 A,B,線段 AB=180 m,ABD=150°.(1) 畫出圓弧 的圓心 O;(2) 求 A 到 B 這段弧形公路的長.11. 如圖,在RtABC 中,ACB=90°,AC=BC=1,將 RtABC

4、繞點 A 逆時針旋轉 30°后得到 RtADE,點B 經過的路徑為 ,則圖中陰影部分的面積是()A. B. C. 1D.16322212.如圖,ABC 內接于O,A=60°,BC=6 3,則 的長為()A.2B.4C.8D.1213. 如圖,將邊長為 3 的正六邊形鐵絲框 ABCDEF 變形為以點 A 為圓心,AB 為半徑的扇形(忽略鐵絲的粗細),則所得扇形 AFB(陰影部分)的面積為 .14. 如圖,ABC 是正三角形,曲線 CDE叫做“正三角形的漸開線”,其中 , , 的圓心依次按A,B,C 循環,它們依次相連接,若 AB=1,則曲線 CDEF 的長是 .15. 如圖,

5、已知四邊形 ABCD 內接于圓 O,連接 BD,BAD=105°,DBC=75°.(1) 求證:BD=CD;(2) 若圓 O 的半徑為 3,求 的長.16.如圖,AB 為O 的直徑,CDAB,OFAC,垂足分別為 E,F.(1) 請寫出三條與 BC 有關的正確結論;(2) 當D=30°,BC=1 時,求圓中陰影部分的面積.17.如圖所示,在兩墻(足夠長)夾角為 60°的空地上,某花店老板準備用 30 m 長的籬笆(可彎折)圍成一個封閉花圃(要求:該籬笆要全部用盡;兩墻須作為花圃的兩邊使用;面積計算均精確到個位).(1) 按上述要求,店里三位員工分別想圍成

6、等邊三角形、直角三角形、菱形的花圃,圖表示 30 m 長的籬笆,請你用此籬笆分別在圖、圖、圖上幫助他們畫出指定的圖形,并在圖下方的橫線上直接寫出相應的花圃面積;籬笆圖圖 等邊三角形面積: m2圖 直角三角形面積: m2圖 菱形面積: m2(2) 按上述要求,店老板決定把花圃圍成扇形,請計算該扇形面積(不要求畫圖),并直接寫出上述四個圖 形中面積最大的圖形名稱.參考答案夯基達標1.A連接 OC,點 C 是以 AB 為直徑的半圓 O 的三等分點,ABC=30°,BOC=120°.AB 為直徑,ACB=90°. 則 AB=2AC=4,BC=2 3,則 S 陰=S 扇形

7、BOC-SBOC=120·22 1 1 · = 4 3.故選 A.3602 232.A由題意得,樹葉形圖案的周長為兩條圓心角為 90°的弧長之和,所以其周長為 l=2·90· =a.1803.A連接 OB.因為 OA=OB=OC=AB=BC,所以AOB+BOC=120°.又因為1=2, 所以DOE=120°.所以扇形 ODE 的面積為120×4 = 4.36034.C點 O 移動的距離即扇形 OAB 所對應的弧長,先運用扇形的面積公式 S= 2求出扇形的圓心扇 形 360180角 n=300°,再由弧長公

8、式 l= ,得 l=10(cm).cm設該扇形的半徑長為 R cm,則100× 2=15,解得 R=3 6.即該扇形的半徑長為 35.3 63606 cm.6. 連接 OD,OE,如圖所示.ABC 是等邊三角形,A=B=C=60°.OA=OD,OB=OE,AOD,BOE 是等邊三角形,AOD=BOE=60°.DOE=60°.2OE=OA=1AB=3, 的長=60×3=.1807.254C=90°,AC=8,BC=6,AB=10,A+B=90°,由等圓可知A,B 的半徑為 5,根據扇形的面積計算公式,可得陰影部分的面積=90&

9、#215;×52 = 25.36048.29. 分析 由 SACD=SOCD,知 S 陰影=S 扇形 OCD.所以只要求扇形 OCD 的面積即可.解 = ,CDA=DAB, 即 CDAB.SACD=SOCD.S=S= 2 = 60 2 = 2.陰影扇形 OCD360360610. 解 (1)如圖,過點 A 作 AOAC,過點 B 作 BOBD,AO 與 BO 相交于點 O,O 即為圓心.(2)因為 AO,BO 都是圓弧 的半徑,O 是其所在圓的圓心,所以OBA=OAB=150°-90°=60°.所以AOB 為等邊三角形, 即 AO=BO=AB=180 m

10、.所以 = 60××180=60(m), 180即 A 到 B 這段弧形公路的長為 60 m.培優促能11.AACB=90°,AC=BC=1,AB= 2,圖中陰影部分的面積是S+S-S=30×( 2)2 = .EAD扇形 DAB ACB360612. B連接 CO 并延長,與圓交于點 D,連接 BD,BO.CD 為圓 O 的直徑,DBC=90°.A 與D 為同弧所對的圓周角,D=A=60°.在 RtDCB 中,BCD=30°,2BD=1CD,設 BD=x,則有 CD=2x,根據勾股定理得:x2+(6 3)2=(2x)2,解得

11、 x=6,OB=OD=OC=6,且BOC=120°,則 的長為120×6=4,故選B.18013.1814.4關鍵是確定圓心角和半徑.因為ABC 是邊長為 1 的正三角形,所以 , , 的圓心角都為120°,對應的半徑分別為 1,2,3.因此 = 2 , = 4 , = 6=2.333所以曲線 CDEF 的長是2 + 4+2=4.3315.(1)證明 四邊形 ABCD 內接于圓 O,DCB+BAD=180°.BAD=105°,DCB=180°-105°=75°.DBC=75°,DCB=DBC=75

12、6;.BD=CD.(2) 解 DCB=DBC=75°,BDC=30°.由圓周角定理,得 的度數為 60°,故 = = 60×3=.18018016. 解 (1)答案不唯一,只要合理均可.例如:BC=BD;OFBC;BCD=A;BC2=CE2+BE2;ABC 是直角三角形;BCD 是等腰三角形.(2)連接 OC,則 OC=OA=OB.D=30°,A=D=30°.AOC=120°.AB 為O 的直徑,ACB=90°.在 RtABC 中,BC=1,AB=2,AC= 3.OFAC,AF=CF.OA=OB,OF 是ABC 的中位線.OF=1BC=1.22SAOC=1AC·OF=1 × 3 × 1 = 3,SAOC=1×OA2=.2224扇形33S=SAOC-SAOC= 3.陰影扇形34創新應用17. 解 (1)如圖,圖中ABC 是邊長為 30 m 的等邊三角形,圖中ABC 是直角邊 BC 的長為 30 m 的直角三角形,圖中四邊形 ABDC 是邊長為 15 m 的菱形.2圖中,等邊三角形 ABC 的面積=1×30×15 3=225 3(m2),2圖中,直角三角形 ABC 的面積=1×10 3×30=150 3(m2