1、材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題1第第 6 章章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題6-1 超靜定問題及其解法超靜定問題及其解法6-2 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題6-3 扭轉超靜定問題扭轉超靜定問題6-4 簡單超靜定梁簡單超靜定梁材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題26-1 超靜定問題及其解法超靜定問題及其解法. . 關于超靜定問題的概述關于超靜定問題的概述(b)材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題3 圖圖a所示靜定桿系為減小桿所示靜定桿系為減小桿1 ,2中的內力或節點中的內力或節點A的位移的位

2、移( (如圖如圖b) )而增加了桿而增加了桿3。此時有三個未知內力。此時有三個未知內力FN1 ,FN2 ,FN3，但只有二個獨立的平衡方程，但只有二個獨立的平衡方程 一一次超靜定問題次超靜定問題。(b)材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題4 圖圖a所示簡支梁為減小內力和位移而如圖所示簡支梁為減小內力和位移而如圖b增增加了中間支座加了中間支座C成為連續梁。此時有四個未知成為連續梁。此時有四個未知約束約束力力FAx, , FA, , FB, , FC，但只有三個獨立的靜力平衡，但只有三個獨立的靜力平衡方程方程 一次超靜定問題。一次超靜定問題。 超靜定問題超靜定問題(

3、 (statically indeterminate problem) )：單憑靜力平衡方程不能求解約束力或構件內力的問單憑靜力平衡方程不能求解約束力或構件內力的問題。題。FAFBl(a)FAxABq q(b)l/2l/2CFCFAxABFBFA材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題5. . 解超靜定問題的基本思路解超靜定問題的基本思路基本靜定系基本靜定系(primary statically determinate system)解除解除“多余多余”約束約束(例如桿例如桿3與與接點接點A的連接的連接)例例1材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單

4、的超靜定問題6在基本靜定系上加在基本靜定系上加上原有荷載及上原有荷載及“多多余余”未知力未知力并使并使“多余多余”約束約束處滿足變形處滿足變形( (位移位移) )相容條件相容條件相當系統相當系統 (equivalent system)12BCAF AFN3AA FN3ADA 材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題7 331N32111N3coscos2AElFAElFF 于是可求出多余未知力于是可求出多余未知力FN3 。 由位移相容由位移相容條件條件 ，利用物理關系利用物理關系( (位位移或變形計算公移或變形計算公式式) )可得補充方程：可得補充方程：AA 12B

5、CAF AFN3AA FN3ADA 材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題8基本靜定系統基本靜定系統ABl補充方程為補充方程為048384534 EIlFEIqlC于是可求出多余未知力于是可求出多余未知力FC。FC位移相容條件位移相容條件Cq+CFc=0 相相當系統當系統ABl/2ql例例2超靜定梁超靜定梁yxl/2l/2CABq材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題9. 注意事項注意事項 (1) 超靜定次數超靜定次數=“多余多余”約束數約束數=“多余多余”未知未知力力=位移相容條件數位移相容條件數=補充方程數，因而任何超靜補充方程數

6、，因而任何超靜定問題都是可以求解的。定問題都是可以求解的。 (2) 求出求出“多余多余”未知力后，超靜定結構的內力未知力后，超靜定結構的內力和位移等均可利用相當系統進行計算。和位移等均可利用相當系統進行計算。 (3) 無論怎樣選擇無論怎樣選擇“多余多余”約束，只要相當系約束，只要相當系統的受力情況和約束條件確實與原超靜定系統相統的受力情況和約束條件確實與原超靜定系統相同，則所得最終結果是一樣的。同，則所得最終結果是一樣的。材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題10 (4) “多余多余”約束的選擇雖然是任意的，但應以約束的選擇雖然是任意的，但應以計算方便為原則。計算

7、方便為原則。 如上所示連續梁若取如上所示連續梁若取B處鉸支座為處鉸支座為“多余多余”約約束，則求解比較復雜。束，則求解比較復雜。xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題116-2 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題. . 拉壓超靜定基本問題拉壓超靜定基本問題舉例說明拉壓超靜定問題的解法。舉例說明拉壓超靜定問題的解法。材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題12 求圖求圖a所示等直桿所示等直桿AB的約束力，的約束力，并求并求C截面的位移。桿的拉壓剛截面的位移。桿的拉壓剛度為度為EA。例題例題 6-

8、1材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題131. 有兩個未知約束力有兩個未知約束力FA , FB（圖（圖a），但只有一個獨立的平衡方程），但只有一個獨立的平衡方程 FAFBF=0故為一次靜不定問題。故為一次靜不定問題。例題例題 6-1材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題14 2. 取固定端取固定端B為為“多余多余”約束，約束，FB為多余未知力。為多余未知力。相當系統如圖相當系統如圖b所示，它應所示，它應滿足相容條件為滿足相容條件為D DB0，利，利用疊加法得用疊加法得D DBF+D DBB=0，參見圖參見圖c ， d 。例題例題 6

9、-1材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題15 3. 利用胡克定律后可利用胡克定律后可得補充方程為得補充方程為 0 EAlFEAFaBlFaFB 由此求得由此求得所得所得FB為正值，表示為正值，表示FB的的指向與假設的指向相符，指向與假設的指向相符，即向上。即向上。例題例題 6-1材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題16得得 FA=F- -Fa/l=Fb/l。4. 由平衡方程由平衡方程 FA+FB- -F=0例題例題 6-15. 利用相當系統（圖利用相當系統（圖b）求得）求得D DC。 lEAFabEAalFbEAaFAC材料力學材

10、料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題17 拉壓超靜定問題的相當系統應滿足變形的相容拉壓超靜定問題的相當系統應滿足變形的相容條件，本例的相容條件為條件，本例的相容條件為D DlAC+D DlBC0。因為變。因為變形和位移在數值上密切相關，可用已知的位移形和位移在數值上密切相關，可用已知的位移條件條件D DB0代替相容條件。代替相容條件。 2.小變形的情況下，利用疊加法求位移時，均是小變形的情況下，利用疊加法求位移時，均是利用構件的原始尺寸進行計算的，所以利用構件的原始尺寸進行計算的，所以D DBBFBl/EA，而不用，而不用D DBBFB(l+D DBF)/EA ，A為在為

11、在F力作用下變形后橫截面的面積。力作用下變形后橫截面的面積。例題例題 6-1材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題18小結、求解超靜定小結、求解超靜定（關鍵（關鍵變形幾何關系的確定）變形幾何關系的確定）步驟：步驟：1 1、根據平衡條件列出平衡方程、根據平衡條件列出平衡方程（確定超靜定的次數）。2 2、根據變形協調條件列出變形幾何方程。、根據變形協調條件列出變形幾何方程。3 3、根據力與變形的物理條件，列出力的補充方程。、根據力與變形的物理條件，列出力的補充方程。EALFLND4 4、聯立靜力方程與力的補充方程求出所有的未知力。、聯立靜力方程與力的補充方程求出所有的

12、未知力。材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題19三、注意的問題三、注意的問題拉力拉力伸長伸長變形相對應；變形相對應；壓力壓力縮短縮短變形相對應。變形相對應。ABDC132F例例 設設 1 1、2 2、3 3 三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長為：三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長為：L L1 1=L=L2 2=L=L、 L L3 3；各桿面積為；各桿面積為 A A1 1=A=A2 2=A=A、 A A3 3 ；各桿彈性模量為：；各桿彈性模量為：E E1 1=E=E2 2=E=E、E E3 3。外力沿鉛垂方向，求各桿的內力。外力沿鉛垂方向，求各桿的內力。材料力學材料力

13、學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題20、幾何方程、幾何方程變形協調方程：變形協調方程：補充方程：由補充方程：由力與變形的物理條件力與變形的物理條件得：得： 解解：、平衡方程、平衡方程: :、聯立靜力方程與力的補充方程聯立靜力方程與力的補充方程得得: :0sinsin021NNFFX0coscos0321FFFFYNNN cos31LLD D D D333113333331121121cos2F ; cos2cosAEAEFAEAEAEFAEFFNNNA1L2 2L1L3YAFXFN2FN1FN3EALFLNDcos33331111AELFAELFNNABDC132P材料力學

14、材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題21例例 木制短柱的四角用四個木制短柱的四角用四個 4040* *4040* *4 4 的等邊角鋼加固，角鋼和的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應力分別為木材的許用應力分別為 1 1 =160 MPa =160 MPa 和和 2 2 =12 MPa =12 MPa，彈彈性模量分別為性模量分別為 E E1 1=200 G=200 GPaPa 和和 E E2 2 =10 G =10 GPaPa；求許可載荷求許可載荷 F FFN 24FN 1Fy04021FFFYNN21LLD D D D、幾何方程：、幾何方程：、力的、力的補充方程補充方程：

15、解解：、平衡方程、平衡方程: :EALFLND22221111AELFAELFNNF1m250250材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題22 、聯立平衡方程和補充方程得、聯立平衡方程和補充方程得: :FFFNN72.0F ; 07.021 )(104272. 0/1225072. 0/222max2kNAF角鋼面積由型鋼表查得角鋼面積由型鋼表查得:A :A 1 1=3.086 =3.086 c c 、求結構的許可載荷：、求結構的許可載荷： )(4 .70507. 0/1606 .30807. 0/11max1kNAF AFN maxmax AFNmax22max

16、222max211max111max172.007.0AFAFAFAFNNF Fmaxmax=705.4 kN=705.4 kN材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題23例例 圖示結構圖示結構, ,已知：已知： L L、A A、E E、a a、F F 。求：各桿軸力。求：各桿軸力。123FLaaAB解解：1 1、平衡方程平衡方程: :2 2、幾何方程：、幾何方程：3 3、力的、力的補充方程補充方程：4 4、聯立平衡方程和補充方程得、聯立平衡方程和補充方程得: :0200012321aFaFMFFFFYNNANNN3122LLLDDD3122NNNNFFFEALFL

17、D.65;31;61321FFFFFFNNNL1L2L3FN1FN2FN3F材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題24EALFLND、幾何方程幾何方程變形協調方程：變形協調方程：解解：、平衡方程、平衡方程: :FFN1FN2FN3 ctgLsinLL321D D D D D DxyFL1L2L3A A2LD DA21LD D3LD D A A0 0A1A3、補充方程：由物理方程代入幾何方程得：補充方程：由物理方程代入幾何方程得：0sin0cos2123FFFFFNNNN（1）（2）ctgEALFEALFEALFNNN333222111sin（3）、聯立（、聯立（1

18、 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）得）得: :321321;NNNFFF材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題25四、溫度應力、裝配應力四、溫度應力、裝配應力一）一）溫度應力：由溫度引起桿變形而產生的應力（熱應力）。溫度應力：由溫度引起桿變形而產生的應力（熱應力）。溫度引起的變形量溫度引起的變形量tLLDD1 1、靜定問題無溫度應力。、靜定問題無溫度應力。2 2、超靜定問題存在溫度應力。、超靜定問題存在溫度應力。例例 如圖所示，階梯鋼桿的上下兩端在如圖所示，階梯鋼桿的上下兩端在 T1=5T1=5時被固定時被固定, ,桿的上下兩段的面積分別為桿的上下兩段的面

19、積分別為 = = c c、= =c c，當溫度升至，當溫度升至 T2 =25T2 =25時時, ,求各段的溫求各段的溫度應力度應力 。E=200GPaE=200GPaC110*5.126aay材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題26、幾何方程：、幾何方程：解：解：、平衡方程、平衡方程: :021NNFFY0 D D D D D DNTLLLFN 1FN 2aa、補充方程：補充方程：、聯立平衡方程和補充方程，得聯立平衡方程和補充方程，得: :2211NL; 2EAaFEAaFTaLNNTDDD22112EAFEAFTNND )(3 .3321kNFFNN材料力學材

20、料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題27、溫度應力：、溫度應力： )(7 .66111MPaAFN )( 3 .33222MPaAFN例例 已知：圖示結構，已知：圖示結構，A A1 1=100 mm=100 mm2 2、L L1 1=330 mm=330 mm、E E1 1=200 =200 GPaGPa、A A2 2=200 mm=200 mm2 2、L L2 2=220 mm=220 mm、E E2 2=100 GPa=100 GPaCtCC006206130;110*5 .16;110*5 .12D求：求：F FN1N1、F FN2N2。A AB BC C1 12

21、2240240150150材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題28ABC2240150L1L2、幾何方程：、幾何方程：解解：、平衡方程、平衡方程: :、補充方程：補充方程：、聯立平衡方程和補充方程，得：聯立平衡方程和補充方程，得：0150240021NNcFFM15024021DDLL22222221111111tLAELFLtLAELFLNNDDDD)109011. 0 (581240165. 021NNFF)(7 .10);(68. 621kNFkNFNNFN1FN2材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題29二）二）裝配應力裝配

22、應力預應力、初應力：預應力、初應力：2 2、超靜定問題存在裝配應力。、超靜定問題存在裝配應力。1 1、靜定問題無裝配應力、靜定問題無裝配應力由于構件制造尺寸產生的制造誤差，在裝配時產生變由于構件制造尺寸產生的制造誤差，在裝配時產生變形而引起的應力。形而引起的應力。ABC12ABDC132A1材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題30解：解：、平衡方程、平衡方程: :0sinsin021NNFFX0coscos0321NNNFFFY例：例： 如圖如圖 1 1、2 2、3 3 三桿用鉸鏈連接，三桿用鉸鏈連接，已知：各桿長為：已知：各桿長為：L L1 1=L=L2 2=

23、L=L、 L3L3；各桿面；各桿面積為積為: A: A1 1=A=A2 2=A=A、 A A3 3 ；各桿彈性模量為：；各桿彈性模量為：E E1 1=E=E2 2=E=E、E E3 3。 3 3 號桿的尺寸誤差為號桿的尺寸誤差為 ，求各桿的裝配內力。求各桿的裝配內力。ABDC132A1A1FN3FN1FN2材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題31cos)(33331111AELFAELFNN、補充方程： 、聯立平衡方程和補充方程，得、聯立平衡方程和補充方程，得: : / cos21cos33113211321AEAEAELFFNN / cos21cos23311

24、331133AEAEAELFN、幾何方程：、幾何方程：13cos)(LLDDA1FN3FN1FN2AA1L1L2L3材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題32 求圖求圖a所示結構中所示結構中1, 2, 3桿的內力桿的內力FN1 , FN2 , FN3。AB桿為剛性桿，桿為剛性桿，1, 2 , 3桿的拉壓剛度均為桿的拉壓剛度均為EA。aaaACDB132EFF(a)a例題例題 6-2材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題331. 共有五個未知力，如圖共有五個未知力，如圖b所示，但只有三個獨立所示，但只有三個獨立的靜力平衡方程，故為二次靜

25、不定問題。的靜力平衡方程，故為二次靜不定問題。FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例題例題 6-2解：解：材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題34 2. 取取1桿和桿和2桿為桿為AB桿的多余約束，桿的多余約束，FN1和和FN2為多余未知力。得基本靜定系如圖為多余未知力。得基本靜定系如圖c。CF3(c)AB例題例題 6-2材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題353. 由變形圖（圖由變形圖（圖d）可得變形相容條件為）可得變形相容條件為FN2DD Dl2F(d)FN1CD Dl1EFCAD Dl1D Dl3D Dl

26、2FBFN2DFN13CD45oC1123122llll (2)(1)例題例題 6-2材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題364. 利用胡克定律，由利用胡克定律，由(1)(2)式可得式可得補充方程：補充方程： EAaFEAaFEAaFEAaFN12NN31N2 22 ，解得解得 FN1=2FN3, (3) FN2=2FN1=4FN3 (4)例題例題 6-2FN2DD Dl2F(d)FN1CD Dl1EFCAD Dl1D Dl3D Dl2FBFN2DFN13CD45oC1材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題37 5. AB桿受力如圖

27、桿受力如圖b所示，所示，MA=0得得)5(0)3()2(212N3N1N aFaFaFaF聯立求解得聯立求解得)(12. 121012124)(56. 02101262)(28. 02101233N2N3N1NN3拉拉拉拉拉拉FFFFFFFFFFF FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例題例題 6-2材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題38II. 裝配應力和溫度應力裝配應力和溫度應力(1) 裝配應力裝配應力 超靜定桿系超靜定桿系(結構結構)由由于存在于存在“多余多余”約束，約束，因此如果各桿件在制造因此如果各桿件在制造時長度不相匹配，則組時

28、長度不相匹配，則組裝后各桿中將產生附加裝后各桿中將產生附加內力內力裝配內力裝配內力，以，以及相應的及相應的裝配應力裝配應力。材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題39 圖圖a中所示桿系中所示桿系( (E1A1=E2A2) )中桿中桿3的長度較的長度較應有長度短了應有長度短了D De，裝配后各桿的位置將如圖中虛，裝配后各桿的位置將如圖中虛線所示。此時，桿線所示。此時，桿3在結點在結點 A 處受到裝配力處受到裝配力FN3作用作用( (圖圖b) )，而桿，而桿1, ,2在匯交點在匯交點A 處共同承受與處共同承受與桿桿3相同的裝配力相同的裝配力FN3作用作用( (圖圖b)

29、 )。(a)材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題40求算求算FN3需利用位移需利用位移( (變形變形) )相容相容條件條件( (圖圖a) )列出補充方程列出補充方程由此可得裝配力由此可得裝配力FN3，亦即桿，亦即桿3中的裝配內力為中的裝配內力為eAAAAD D eAElFAElFD D 21113N333N3cos2 D D21113333Ncos2AElAEleF ( (拉力）拉力）(a)材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題41 至于各桿橫截面上的裝配應力只需將裝配內至于各桿橫截面上的裝配應力只需將裝配內力力( (軸力軸力) )

30、除以桿的橫截面面積即得。除以桿的橫截面面積即得。 由此可見，計算超靜定桿系由此可見，計算超靜定桿系( (結構結構) )中的裝配中的裝配力和裝配應力的關鍵力和裝配應力的關鍵, ,仍在于根據位移仍在于根據位移( (變形變形) )相容相容條件并利用物理關系列出補充方程。條件并利用物理關系列出補充方程。而桿而桿1和桿和桿2中的裝配內力利用圖中的裝配內力利用圖b中右側的圖可知為中右側的圖可知為 壓壓力力 D D 21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFFF材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題42 兩根相同的鋼桿兩根相同的鋼桿1、 2，其其長度長度

31、l =200 mm，直徑，直徑d =10 mm。兩端用剛性塊連接在一。兩端用剛性塊連接在一起如圖起如圖a所示。將長度為所示。將長度為200.11 mm，亦即，亦即D De=0.11 mm的銅桿的銅桿3（圖圖b）裝配在與桿裝配在與桿1和桿和桿2對對稱的位置稱的位置( (圖圖c) )，求各桿橫截面，求各桿橫截面上的應力。已知：銅桿上的應力。已知：銅桿3的橫的橫截面為截面為20 mm30 mm的矩形，的矩形，鋼的彈性模量鋼的彈性模量E=210 GPa，銅，銅的彈性模量的彈性模量E3=100 GPa。例題例題 6-3材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題431. 裝配后有

32、三個未知的裝配內力裝配后有三個未知的裝配內力FN1, FN2 , FN3，如，如圖圖d所示。但平行力系只有二個獨立的平衡方程，所示。但平行力系只有二個獨立的平衡方程，故為一次靜不定問題。也許有人認為，根據對稱關故為一次靜不定問題。也許有人認為，根據對稱關系可判明系可判明FN1=FN2，故未知內力只有二個，但要注，故未知內力只有二個，但要注意此時就只能利用一個獨立的靜力平衡方程：意此時就只能利用一個獨立的靜力平衡方程：)1(0201NN3 FFFx(d)所以這仍然是一次靜不定問題。所以這仍然是一次靜不定問題。例題例題 6-3解：解：材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定

33、問題442. 變形相容條件變形相容條件( (圖圖c) )為為這里的這里的D Dl3是指桿是指桿3在裝配后的縮短值，不帶負號。在裝配后的縮短值，不帶負號。)2(31ell 例題例題 6-3材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題453. 利用胡克定律由利用胡克定律由(2)式得補充方程式得補充方程)3(33N3N1eAElFEAlF 例題例題 6-3材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題464. 聯立求解聯立求解(1)和和(3)式得式得 所得結果為正，所得結果為正，說明原先假定桿說明原先假定桿1、2的裝配內力為拉力和的裝配內力為拉力和桿桿3

34、的裝配內力為壓的裝配內力為壓力是正確的。力是正確的。 EAAElAeEFAEEAleEAFF21121133333N332NN1例題例題 6-3材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題475. 各桿橫截面上的裝配應力如下：各桿橫截面上的裝配應力如下：MPa51.19MPa53.743N331N21 AFAF （拉應力）（拉應力）（壓應力）（壓應力）例題例題 6-3材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題48求裝配內力也是求解靜不定問題，其關鍵仍是求裝配內力也是求解靜不定問題，其關鍵仍是根據相容條件建立變形幾何方程。根據相容條件建立變形幾何

35、方程。以上計算結果表明，很小的制造誤差，卻產生以上計算結果表明，很小的制造誤差，卻產生較大的裝配應力，從而使構件的承載能力降低。較大的裝配應力，從而使構件的承載能力降低。因此，要盡量提高加工精度，減小裝配應力的因此，要盡量提高加工精度，減小裝配應力的不利影響。不利影響。例題例題 6-3材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題49(2) 溫度應力溫度應力 也是由于超靜定桿系存在也是由于超靜定桿系存在“多余多余”約束，桿約束，桿件會因溫度變化產生的變形受到限制而產生溫度件會因溫度變化產生的變形受到限制而產生溫度內力及溫度應力。鐵路上無縫線路的長鋼軌在溫內力及溫度應力。鐵

36、路上無縫線路的長鋼軌在溫度變化時由于不能自由伸縮，其橫截面上會產生度變化時由于不能自由伸縮，其橫截面上會產生相當可觀的溫度應力。相當可觀的溫度應力。材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題50 兩端與剛性支承連接的等截面桿如圖兩端與剛性支承連接的等截面桿如圖a所示。所示。試求當溫度升高試求當溫度升高D Dt 時橫截面上的溫度應力。桿的時橫截面上的溫度應力。桿的橫截面面積為橫截面面積為A，材料的彈性模量為，材料的彈性模量為E，線膨脹系，線膨脹系數為數為 l。例題例題 6-4材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題511. 若若AB桿僅桿僅A

37、端固定，端固定，B端無約束，當溫度升高端無約束，當溫度升高時，只會產生縱向伸長時，只會產生縱向伸長D Dlt，而不會產生內力。當，而不會產生內力。當A、B均為固定端時，均為固定端時， D Dlt受到約束不能自由伸長，受到約束不能自由伸長，桿端產生約束力桿端產生約束力FA和和FB。兩個未知力，一個平衡。兩個未知力，一個平衡方程，為一次靜不定問題。方程，為一次靜不定問題。(b)例題例題 6-4解：解：材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題52 2. 以剛性支撐以剛性支撐B為為“多余多余”約束，約束，FB為多余約為多余約束未知力，設基本靜定系由于溫度升高產生的伸束未知力

38、，設基本靜定系由于溫度升高產生的伸長變形長變形D Dlt，由，由“多余多余”未知力未知力FB產生的縮短變產生的縮短變形形D DlF分別如圖分別如圖c、d所示。所示。(c)(d)例題例題 6-4材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題533. 變形相容條件是桿的總長度保持不變，即變形相容條件是桿的總長度保持不變，即(1)0 Ftll(c)(d)例題例題 6-4材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題544. 將將(2)式代入式代入(1)，得，得EAlFEAlFltllBFltN, (2)0N EAlFltl 補充方程為補充方程為(3)(c)

39、(d)例題例題 6-4材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題555. 由由(3)式解得式解得tEAFlN (c)(d)例題例題 6-4材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題566. 桿的橫截面上的溫度應力為桿的橫截面上的溫度應力為tEAFlN (c)(d)例題例題 6-4材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題57 若該桿為鋼桿。若該桿為鋼桿。 l =1.210- -5/( (C)，E=210 109Pa，則當溫度升高則當溫度升高D Dt =40時有時有 MPa100 Pa10100C40Pa10210C/

40、102 . 1695 tEl （壓應力）（壓應力）例題例題 6-4材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題58 兩端固定的圓截面等直桿兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面，在截面C處受處受扭轉力偶矩扭轉力偶矩Me作用，如圖作用，如圖a所示。已知桿的扭轉剛所示。已知桿的扭轉剛度為度為GIp。試求桿兩端的反力偶矩以及。試求桿兩端的反力偶矩以及C截面的扭截面的扭轉角。轉角。例題例題 6-56-3 扭轉超靜定問題扭轉超靜定問題材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題591. 有二個未知的反力偶矩有二個未知的反力偶矩MA， MB，但只有一，但只有一個

41、獨立的靜力平衡方程個獨立的靜力平衡方程故為一次超靜定問題。故為一次超靜定問題。 0 0eBAxMMMM，(b)MAMB例題例題 6-5解：解：材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題60 2. 以固定端以固定端B為為“多余多余”約束，反力偶矩約束，反力偶矩MB為為“多余多余”未知力。在基本靜定系上加上荷載未知力。在基本靜定系上加上荷載Me和和“多余多余”未知力偶矩未知力偶矩MB(如圖如圖c)；它應滿足的位移；它應滿足的位移相容條件為相容條件為B截面的扭轉角截面的扭轉角j jB=0，利用疊加法可，利用疊加法可得得BBMBMj jj j e(c)例題例題 6-5材料力學

42、材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題61可由平衡方程求得為可由平衡方程求得為3. 根據位移相容條件并利用物理關系得補充方程根據位移相容條件并利用物理關系得補充方程求得求得ppeGIlMGIaMB eeeelbMlaMMMMMBA elaMMB 例題例題 6-5材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題624. 桿的桿的AC段橫截面上的扭矩為段橫截面上的扭矩為lbMMMMTABACee (c)例題例題 6-5從而有從而有 peplGIabMGIaTACC j j材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題63 圖圖a所示組

43、合桿，由半徑為所示組合桿，由半徑為ra的實心銅桿和外的實心銅桿和外半徑為半徑為rb，內半徑為，內半徑為ra的空心鋼桿牢固地套在一的空心鋼桿牢固地套在一起，兩端固結在剛性塊上，受扭轉力偶矩起，兩端固結在剛性塊上，受扭轉力偶矩Me作用。作用。試求實心銅桿和空心鋼桿橫截面上的扭矩試求實心銅桿和空心鋼桿橫截面上的扭矩Ta和和Tb，并繪出它們橫截面上切應力沿半徑的變化情況。并繪出它們橫截面上切應力沿半徑的變化情況。例題例題 6-6材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題64實心銅桿和空心鋼桿橫截面上的扭矩分別為實心銅桿和空心鋼桿橫截面上的扭矩分別為Ta和和Tb(圖圖b)，但只

44、有一個獨立平衡方程，但只有一個獨立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故為一次超靜定問題。故為一次超靜定問題。例題例題 6-6解：解：TbTaMe材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題652. 位移相容條件為實心桿和空心桿的位移相容條件為實心桿和空心桿的B截面相對截面相對于于A截面的扭轉角相等。在圖截面的扭轉角相等。在圖b中都用中都用j j表示（設表示（設A端固定）。端固定）。)2(BbBaj jj j 例題例題 6-6TbTaMe材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題663. 利用物理關系由利用物理關系由(2)式得補充方程為式得補

45、充方程為)3( ppppbbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlT ，即即例題例題 6-6TbTaMe材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題674. 聯立求解聯立求解(1)式和式和(3)式得：式得：)4(epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa ，例題例題 6-6TbTaMe材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題685. 實心銅桿橫截面上任意點的切應力為實心銅桿橫截面上任意點的切應力為 abbaaaaaarIGIGMGIT 0ppep空心鋼桿橫截面上任意空心鋼桿橫截面上任意點的切應力為點的

46、切應力為 bbbaabbbbraIGIGMGIT ppep切應力沿半徑的變化切應力沿半徑的變化情況如圖情況如圖c所示。所示。ara arb rarb(c)例題例題 6-6材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題69 由圖由圖c可見，在可見，在 = ra處，處， a b，這是因為，這是因為 Ga D DC D DA的情的情況進行分析。此時，支座況進行分析。此時，支座B相對于支座相對于支座A 、C 沉陷沉陷后的點后的點A1 、C1 的連線有位移的連線有位移材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題95于是，如以支座于是，如以支座B1作為作為“多

47、余多余”約束，以約束力約束，以約束力FB為為“多余多余”未知力，則作為基本靜定系的簡支未知力，則作為基本靜定系的簡支梁梁A1C1(參見圖參見圖b)在荷載在荷載 q 和和“多余多余”未知力未知力FB共共同作用下應滿足的位移相容條件就是同作用下應滿足的位移相容條件就是210CABBBBw 材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題96于是得補充方程于是得補充方程由此解得由此解得 EIlFEIqlEIlFEIlqwwwBBBFBqBB6245482384253434 2624534CABBEIlFEIql 2245413CABBlEIqlF其中的其中的wB按疊加原理有按疊加

48、原理有( (參見圖參見圖c、d):):材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題97再由靜力平衡方程可得再由靜力平衡方程可得 23833CABCAlEIqlFF材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題98(2) 梁的上梁的上,下表面溫度差異的影響下表面溫度差異的影響 圖圖a所示兩端固定的梁所示兩端固定的梁AB在溫度為在溫度為 t0 時時安裝安裝就位，其后，由于梁的就位，其后，由于梁的頂頂面溫度升高至面溫度升高至 t1，底，底面面溫度升高至溫度升高至 t2，且，且 t2t1，從而產生，從而產生約束力約束力如圖如圖中所示。中所示。 由于未知的由于未知的約束力約束力有有6個，而獨立的平衡方個，而獨立的平衡方程只有程只有3個，故為三次超靜定問題。個，故為三次超靜定問題。l材料力學材料力學()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題99 現將右邊的固定端現將右邊