1、極化恒等式優化向量題解法精品資料課題：極化恒等式在向量問題中的應用學習目標目標1通過自主學習掌握極化恒等式兩種模式，理解其幾何意義；目標2-1 :通過對例1的自主學習掌握用極化恒等式求數量積的值；目標2-2：通過對例2的自主學習掌握用極化恒等式求數量積的最值、范圍; 目標2-3:通過小組合作學習掌握極化恒等式解決與數量積有關的綜合問題。重點掌握極化恒等式，利用它解決一類與數量積有關的向量問題難點根據具體的問題情境，靈活運用極化恒等式目標達成途徑學習自我評價目標1:閱讀材料，了解極化恒等式的由來過程，掌握極化恒閱讀以下材料:等于兩條鄰邊平方和的 兩倍證明：不妨設ABa, ADb,則AC*a b,

2、DB ab,22Tf 2T24aCACabai 2a22T2 - 2¥DBDBaba2a(1)（2）兩式相加得：AC2引例：平行四邊形是表 你能用向量方法證明：示向量加法和減法的幾 何模型。 平行四邊形的對角線的平方和結論：平行四邊形對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍 思考1:如果將上面（1）（ 2）兩式相減，能得到什么結論呢?2 2a b = - a b a b極化恒等式4對于上述恒等式，用向量運算顯然容易證明。那么基于上面的引 例，你覺得極化恒等式的幾何意義是什么？ 幾何意義：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形1的“和對角線”與“差對角線”平方差的 1 .4T

3、 -122即：a b 4AC|DB| （平行四邊形模式） 思考：在圖1的三角形ABD中（M為BD的中點），此恒等式如何 表示呢？僅供學習與交流，如有侵權請聯系網站刪除 謝謝2精品資料因為AC 2AM，所以a bAM1 2-DB （三角形模式）僅供學習與交流，如有侵權請聯系網站刪除謝謝7目標2-1 :掌握用極化匕恒等式求數量積的值例 1.(2012年浙AM 3, BC折江文15）在10，則 AB?ACBC 中P, M是BC的中點，.A因為M是BC的中點，由極化恒等式得:解:BMO 在 CD 上,2 3PA PB PD1|ab4所以當P在點C處時,PD因為P在圓O上，當P在CO的延長線與圓 O的交

4、點處時,| PD |max 3| PD |min 1AB AC |AM |2 -|BC| =9-二 100= -16【小結】在運用極化恒等式的三角形模式時，關鍵在于取第三邊的中點，找到 三角形的中線，再寫出極化恒等式。目標檢測（2012北京文13改編）已知正方形ABCD的邊長為1, 點E是AB邊上的動點，則 DE DA的值為.目標2-2：掌握用極化恒等式求數量積的最值、范圍例2.（自編）已知正三角形 ABC內接于半徑為2勺圓O,點P是圓O上的一個動點, 則pA pB的取值范圍是.解：取AB的中點D，連結CD,因為三角形 ABC為 正三角形，所以 O為三角形ABC的重心，且 OC 2OD 2，所

5、以 CD 3, AB（也可用正弦定理求 AB） 又由極化恒等式得：所以 PA PB 2,6【小結】涉及數量積的范圍或最值時，可以利用極化恒等式將多變量轉變為單 變量，再用數形結合等方法求出單變量的范圍、最值即可。目標檢測2 2（2010福建文11）若點O和點F分別為橢圓:；1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則OP FP的最大值為（）A.2B.3C.6D.8問題、疑惑、錯解匯集能力提升目標2-3:會用極化恒等式解決與數量積有關的綜合問題例3.（ 2013浙江理7）在 ABC中,Po是邊AB上一定點，滿足1P0BAB，且對于邊 AB上任-4()A. ABC 90： B. BAC 90：C.

6、 AB AC D. AC BC目標檢測（2008浙江理9）已知a,b是平面內2個互相垂直的單位向量，若向量c滿足（a c） （b c）0,則c的最大值是（）A.1B.2 C. 2 D. 22問題、疑惑匯集知識、方法總結本課的主要學習內容是什么？極化恒等式：平行四邊形模型：三角形模型：極化恒等式在處理與 關問題時，顯得較有優越性。直徑,AB長為2,C是圓0上異于A, B的一點,P是圓0所在平面上任 PC的最小值為()A.D. 13.在ABC中j臂AP 2，貝U PB PCf24. 若點O和點F( 2,0)分別是雙曲線-X2 y2 1(a 0)的中心和左焦點，點P為雙曲線 右支上任意一點則oP f

7、P的取值范圍是5. 在Rt ABC，AC BC 2，已知點P是 ABC內一點，貝U PC (PA PB)的最小 值是6. 已知A、B是單位圓上的兩點， 點C在圓內，且滿足0C1A.,127. 正ABC邊長等于 3，3 33A.B.2 22O為圓心，且OA (1)OB(0B.1,1C.AOB 120o, MN是圓O的一條直徑,1)，則 CM3,04CN的取值范圍是()點P在其外接圓上運動，則 AP1 C. * 1,32 2 2D. 2PB12的取值范圍是()8.在銳角 ABC中，已知B ，3C.，AB AC 2，貝卩 AB AC的取值范圍是課后檢測碉丁這正方砒朋UD的邊悅為4.幼內尸在也/15為

8、直祥呦弧”翻 t (如圈所示).則 氏而的取值范圉是精品資料DR【吉新】取中聯蛛ZTAFW冋*E幔化恫葦式捋fc pd=|e|1-|P -|Se|3 |ct|3-|:-4 由圖可知J袍卜冷2廳故疋而亡卩応制3衣3匚中點E尸舟劑足經段的中點.十尸市直銭EFXBC的而鞭為2PC PBBC2的堆小值是(2012年江蘇省甫京山赴學高號備扭國勵僅供學習與交流，如有侵權請聯系網站刪除 謝謝6岡為f的向枳【分析】匯魘.槪BC的申點D*育廿EC內牠用擁化掃竽式待 更網=1珂T西f =1帀弓西二從血民朋+詰=I 所以5亡的高人=帶* 乂藥為S(?的中也疑.故山叱的高為善.從而PD工令 闔此B + BC2>

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