1、C. 5第 1 頁（共 18 頁）2019-2020學年廣東省潮州市高三（上）期末數學試卷（文科）、選擇題：本題共12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有項是符合題目要求的A. a 1, b 1B .a1 , b1C . a 1 , b 1D. a 1 , b 12 . ( 5 分)設集合)A. 0S x|2x2x 0,x2R , T x|x 2x 0 ,xR，則 SIT (B .0,2C. 2 , 0D. 2 , 0, 23. （ 5 分）已知函數 f(x)2x21,x 1，若 f (f (0) 4a，則實數a等于( )xax,xT1. （5 分）若a, b R

2、 , i 為虛數單位，且（a i）i b i 則（）A .1B .4C. 2D. 9254. （ 5 分）“數列an既是等差數列又是等比數列”是“數列 an 是 常 數 列 ” 的（）A .充分不必要條件C充要條件A. b 0, c 0 B. b 0, c 0B 必要不充分條件D.既不充分也不必要條件則下列結論成立的是（）C. b 0 , c 0 D. b 0, c 000345 5 6SS S 914111222334 4555&7 gIS01223336. （ 5 分）在一次馬拉松比賽中， 35 名運動員的成績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示.若將運動員按成績由好到差編為1 35 號

3、，再用系統抽樣方法從中抽取7 人，則其中成績小于 139 分鐘運動員人數為（）C. 5第 1 頁（共 18 頁）第3頁（共 18 頁）C. 2D. 3則 2x y 的最大值和最小值分別為（）C. 1,2D. 2,1uuuBD （ 4,2），則該四邊形的面積為（）C. 5D. 10C. 432 2 212 （ 5 分）已知 ABC 的內角A ,B,C 所對的邊分別是a,b,c，且 b 2 ,b c a bc , 若 BC 邊上的中線sincos2A .3B.21剟x y 1&(5 分）若實數x,y滿足1剟x y 1，A .1,1B .2,2uuur9. ( 5分）在四邊形 ABCD 中，

4、AC(1,2)A .5B . 257. （ 5 分）若Sin一匯1，則 tan （10. （5 分）如圖，四棱錐 S ABCDC正確的是（）A . ACSBAD SCC .平面SAC 平面 SBDBD SA11. (5 分)2x已知雙曲線 a距離為2b4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為0,b0）的左頂點與拋物線2px（p 0）的焦點的(2,1），則雙曲線的焦距的底面為正方形,SD 底面ABCD，則下列結論中不D .45第4頁（共 18 頁）AD7，貝 U ABC 的外接圓面積為（）A . 4B . 7C. 12D. 16二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分

5、.13. （5 分）曲線 y 3lnx 1 在點（1,1）處的切線方程為_第5頁（共 18 頁）、解答題：共 70 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟,每個試卷考生都必須作答，第22、23 題為選考題，考生根據要求作答（1 ）求an的通項公式;求出m的值，并根據上述數表求出該地區清明節前后3 天中恰好有 2 天下雨的概率;從 2011 年開始到 2019 年該地區清明節當天降雨量（單位：mm）如表：（其中降雨量為0表示沒有下雨）14.(5 分) 已知函數 y sin（2x)(1 I215.(5 分) 數列an滿足 an 11a81an16.（5 分）2已知拋物線 y 4x 上有二點A,6

6、, 12,則ABC 的重心坐標為3，則的值是BC , AC 的斜率分別為 3,17-21 題為必考題,17.（12a210, a4（2） 設等比數ay.若 b6ak，求 k 的值.18. （12 分）如圖，四棱錐 P ABCD 中,PA底面 ABCD , AD/BC , AB AD AC 3 ,PA BC 4 ,M為線段AD上一點,AM 2MD, N 為 PC 的中點.19. （12 分）某地區 2020 年清明節前后3 天每天下雨的概率為 60%，通過模擬實驗的方法來計算該地區這3 天中恰好有 2 天下雨的概率：用隨機數x（x N,0 剟 x 9）表示是否下雨:當 x 0 , m(mZ）時表

7、示該地區下雨，當x m1 , 9時，表示該地區不下雨，從隨機數表中隨機取得20 組數如下332714740945593468491272073445992772951431169332435 027898719(1)(2)2， 貝 U aiB, C，直線AB,）的一條對稱軸為 x（I）證明 MN / /平面PAB；第6頁（共 18 頁）時間2011 年2012 年2013 年2014 年2015 年2016 年2017 年2018 年2019 年第7頁(共 18 頁)年份 t123456789降雨量y292826272523242221經研究表明：從 2011 年開始至 2020 年，該地區清

8、明節有降雨的年份的降雨量y與年份 t 成(2)若 g(x) exmxe， x (0,)，求證：當m, 1時，g(x)0 .雨量為多少？(精確到0.01)n(tit)(yiy)參考公式：i1n,a? ybT .i 12tit)9797參考數據：i(tif)(y1y)58 , (tii 1F)(y y) 54,(ti 1f)260 , (ti 1t)25220. (12 分) 已知函數f(x)x al nx(aR).線性回歸，求回歸直線? A ?，并計算如果該地區2020 年(t 10)清明節有降雨的話,降(1 )當 a 0 時，求函數 f(x)的單調區間;第8頁(共 18 頁)x221. (12

9、 分)已知橢圓C：pa0)的焦距為 4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.(1)求橢圓 C 的標準方程;(2)設F為橢圓 C 的左焦點，T為直線 x 3 上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓 C 于點P, Q .1證明：OT 平分線段 PQ (其中 O 為坐標原點);2當匹最小時，求點T的坐標.|PQ|請考生在第 22、23 二題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分x22. (10 分)已知動點P、Q 都在曲線 C:y2cos2sin為參數)上，對應參數分別為與 2 (02 ) ,M為 PQ 的中點.(1 )求 M 的軌跡的參數方程;(2)將M到坐標原點的距離 d 表示為的

10、函數，并判斷M的軌跡是否過坐標原點.123.設函數 f(x) |x | |x a|(a 0).a(I)證明:f (x) 2;第6頁（共 18 頁）2019-2020學年廣東省潮州市高三（上）期末數學試卷（文科）參考答案與試題解析、選擇題：本題共12 小題，每小題 5 分，共60 分在每小題給出的四個選項中，只有項是符合題目要求的R, i 為虛數單位，且(ai)iC.【解答】解: Q (ai)iai 1 b故選:分）設集合2x| x 2x 0 ,R , T2x| x 2xR，則 SIT (A . 0B . 0 , 2C. 2 , 0【解答】解: 分析可得，2S 為方程 x2x 0 的解集，則 S

11、x|x22x 00 ,2,T為方程 x2x 0 的解集，則 Tx|x22x 00 ,2,故集合 S|T0,)故選：A. 2 , 0, 23. （ 5 分）已知函數f(x)2x2x1,x 1ax,xT若 f(f(0) 4a ,則實數a等于C. 2【解答】解：Q 函數f(x)2x2x1 x 1,f(f(0) 4a ,ax, xTf(0)201 2 ,f(f(0)2f (2)2 2a4a ,解得 a 2 .實數a等于 2.第7頁（共 18 頁）故選：C .4.（ 5 分）“數列a.既是等差數列又是等比數列”是“數列a.是常數列”的（）A .充分不必要條件B .必要不充分條件C .充要條件D .既不充

12、分也不必要條件【解答】解：若數列an既是等差數列又是等比數列，則數列an為常數列，且 an0 ,則反之當 an0 時，滿足數列an為常數列，但數列an不是等比數列，即“數列an既是等差數列又是等比數列”是“數列an是常數列”的充分不必要條件，故選：A.5.（ 5 分）函數 f（x）x b2的圖象如圖所示，則下列結論成立的是（）A. b 0, c 0 B. b 0, c 0 C. b 0 , c 0 D. b 0, c 0【解答】解：函數的定義域為x|x c,即 c p 0 ,則 c 0 ,排除A,B,f(0)飛0,得 b 0 ,c故選：C .6.（ 5 分）在一次馬拉松比賽中，35 名運動員的

13、成績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示.于 139 分鐘運動員人數為（）根據系統抽樣方法從中抽取7 人，得到抽取比例為丄，1JC034566S8 S914111222334 45 556 5 7 3150122333若將運動員按成績由好到差編為1 35 號，再用系統抽樣方法從中抽取7 人，則其中成績小A . 4B . 2【解答】解：由已知，將個數據分為三個層次是C. 5D. 3130 , 138 , 139 , 151 , 152 , 153,第8頁（共 18 頁）5第9頁（共 18 頁）所以成績小于 139 的中共有 10 名運動員，抽取人數為 1012 ;5sin7. ( 5 分)右sinco

14、scos1，則 tan2()A.3B2C. 2【解答】解：QSincos1sincos2tan11，可得 tan3 .故選：B.& （ 5 分）若實數 x ,y滿足1；： y 1，則2xy 的最大值和最小值分別為（A. 1,1B. 2,2C. 1,2由圖可知，當 y 2x z 過 A（1,0）時，截距 z 最大，最大值為 z 2 102 ;當 y 2x z 過 C（ 1,0）時，截距 z 最小，最小值為 z 2 1 02 .2x y 的最大值和最小值分別為2,2.故選：B.1； 剟y 1I 解答】第10頁（共 18 頁）10.（ 5 分）如圖，四棱錐 S ABCD 的底面為正方形， S

15、D 底面 ABCD，則下列結論中不 正確的是（ ）A . A CSBB.ADSCC .平面SAC 平面 SBDD.BDSA【解答】解 :由四棱錐 S ABCD 的底面為正方形，SD底面 ABCD，知在A中，Q SD 底面 ABCD , ACSD ,Q 四棱錐 SABCD 的底面為正方形，ACBD ,Q SD|BD D , AC 平面 SBD ,QSB 平面 SBD , AC SB，故A正確；在B中，Q 四棱錐 S ABCD 的底面為正方形， SD 底面 ABCD ,ADCD,ADSD ,QSD|CDD ,AD平面 SDC ,Q SC平面 SCD ,ADSC,故B正確;uuuruuur9.( 5

16、 分)在四邊形 ABCD 中，AC (1,2) , BD（4,2），則該四邊形的面積為A .5B. 2 5C. 5D. 10【解答】解：因為在四邊形 ABCD 中，AC （1,2） , BDujir uuur(4,2) , ACcBD 0,所以四邊形 ABCD 的對角線互相垂直，又ULUT-2-2|BD| . ( 4)2該四邊形的面積：1 ujir uuiu 1| AC |C BD | 5 2 55 .222 5，故選：C .則 c 、5，則焦距為 2c 2 5第11頁（共 18 頁）在 C 中，QSD 底面 ABCD , AC SD,Q 四棱錐 S ABCD 的底面為正方形，AC BD ,Q

17、 SD|BD D , AC 平面 SBD ,則拋物線的焦點為（2,0）;則雙曲線的左頂點為（2,0），即 a 2 ;點（2, 1）在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為由雙曲線的性質，可得 b 1 ；Q AC 平面 SAC ,平面 SAC 平面SBD，故 C 正在D中，以D為原點,DA為x軸，DC 為y軸，DS 為 z 軸，建立空間直角坐標系,設 ABDS b，貝 U D（0，0，0），B(a ,a, 0) , A(a , 0,0)，S(0 , 0，b)，uurDB (a,0)，urSA(a , 0, b),uur ur QDBgSA故D錯誤.a b4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐

18、標為2px（p 0）的焦點的(2,1），則雙曲線的焦距2.5B . 2.3C. 4 3【解答】(2, 1),即點（2, 1）在拋物線的準線上，又由拋物線y2px 的準線方程為 x12X，BD與 SA 不垂直,0 ,0,b0）的左頂點與拋物線距離為2a236第 11 頁(共 18 頁)12.( 5 分)已知 ABC 的內角A ,B,C 所對的邊分別是a,b,c，且 b 2 , b2Ca2be.若 BC 邊上的中線 AD7，則ABC 的外接圓面積為()A.4B.7C.12D.16【解答】解：Qb2c22a bc,cosA b22 2c abc 1,A (0,)2bc 22bcA -.3由D是 BC

19、 的中點，可得UUT1 uu (ABLUITADAC),2iur2i Luui2uuu2ujinUJITAD (AB AC 2ABgAC), 4127 (c 4 2 2ccos-),43化為：c22c 240,解得 c 4 .2242a22 4，解得 a 2 3 .a2打 /口2R4，解得R 2.sin A .sin 32ABC 的外接圓面積R 4 .故選：A.二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.13.(5 分)曲線 y 3lnx 1 在點(1,1)處的切線方程為3x y 20_.【解答】解：由 y 3lnx 1,得 y3,xy |x 13 ,曲線 y 3lnx 1 在

20、點(1,1)處的切線方程為 y 13(x 1)，即 3x y 20 .故答案為：3x y 2 0 .14.(5 分)已知函數 y sin(2x)(| |)的一條對稱軸為 x，貝 U 的值是一所以 y1y2y3第13頁（共 18 頁）【解答】解：Q 函數 y sin（2x)(1 I屮的一條對稱軸為 X2(k Z),6(kZ),故答案為:15. （ 5 分）數列an滿足 ana82， 貝 U aian11 an a8令 n7 代入上式得，1a81，解彳1a7令 n6 代入得，a71，解得 a61 a6令 n5 代入得，a6-，解得 a5【解答】解：由題意得,a71 ；2 ；35an 1根據以上結果

21、發現，求得結果按2,-21循環,Q8 322，故 a1故答案為:16.( 5 分) 已知拋物線4x 上有三點A,B, C，直線AB,BC , AC 的斜率分別為 3,6, 12,則ABC的重心坐標為（尋【解答】解：設 A（x , y1）,B(x2, y2), C(x3,ys),由y；4x1，兩式相減得y24x2(yy2)(y y2)4 任X2),所以直線AB的斜率 kABX1X2里，因為y1y2同理可得：kBCy2y3kACy1y24y2* y3ys,y1第14頁（共 18 頁）所以 y315 y21%662所以 X3125X21,x1441446因此XX2X335144所以 ABC 的重心坐

22、標（竺,）,43218357故答案為：（曲,上）.43218三、解答題：共 70 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第每個試卷考生都必須作答，第22、23 題為選考題，考生根據要求作答17.（12 分） 已知等差數列a.滿足 a a210,a32 .（1 ）求an的通項公式；（2）設等比數列bn滿足 b2a3, b3a?.若民 ak，求 k 的值.【解答】解：（1）等差數列a.的公差設為 d , a1a210 , a4a3可得 2a,d 10 , d 2，即 a,4, d 2 , an4 2（n 1） 2n 2 ;（2）等比數列bn的公比設為q, b2a3, b3a7.可得 bq 8

23、, be 16，解得 d 4 , q 2 ,若 b6ak,則 4 32 2k 2，解得 k 63 .18. （12 分）如圖，四棱錐 P ABCD 中，PA底面 ABCD , AD /BC ,PA BC 4 ,M為線段AD上一點，AM 2MD, N 為 PC 的中點（I）證明 MN / /平面PAB;【解答】 證明：（I）取 BC 中點E，連結 EN ,EM,Q N 為 PC 的中點，NE 是 PBC 的中位線17-21 題為必考題,AB AD AC 3 ,第15頁(共 18 頁)NE /PB ,又 Q AD/BC ,BE/AD ,Q AB AD AC 3, PA BC 4 ,M為線段AD上一

24、點，AM 2MD,1BE BC AM 2,2四邊形ABEM是平行四邊形，EM /AB , 平面 NEM /平面PAB,Q MN 平面 NEM ,MN / /平面PAB.解：（n）取 AC 中點F，連結 NF,QNF 是 PAC 的中位線，1NF / /PA， NF -PA 2，2又Q PA面 ABCD， NF 面 ABCD，如圖，延長 BC 至 G，使得 CG AM，連結 GM，QAM /CG， 四邊形 AGCM 是平行四邊形，AC MG 3，又 Q ME3 , ECCG2 ,MEG的高 h5 ,SBCM-BC21 h -24525 ,四面體 N BCM 的體積貝 VN BCM1 c一 SBC

25、MNF125 2心33319.(12 分)某地區 2020 年清明節前后 3 天每天下雨的概率為 60%，通過模擬實驗的方法 來計算該地區這 3 天中恰好有 2 天下雨的概率：用隨機數 x(x N,0 剟 x 9)表示是否下雨： 當 x 0 , m(m Z)時表示該地區下雨，當x m 1 , 9時，表示該地區不下雨，從隨機數表中隨機取得 20 組數如下第16頁(共 18 頁)332714740945593468491272073445第17頁(共 18 頁)992772951431169332435 027898719(1)求出m的值，并根據上述數表求出該地區清明節前后3 天中恰好有 2 天下

26、雨的概率；(2)從2011年開始到2019年該地區清明節當天降雨量(單位：mm)如表：(其中降雨量為 0 表示沒有下雨)時間2011 年2012 年2013 年2014 年2015 年2016 年2017 年2018 年2019 年年份 t123456789降雨量y292826272523242221經研究表明：從 2011 年開始至 2020 年，該地區清明節有降雨的年份的降雨量y與年份 t 成當 x 0 , m(m Z)時表示該地區下雨，當714, 740, 945,593, 491, 272, 073, 951 , 027 共 9 個,故所求的概率值為P92099(2 )由(tii 1U

27、yy)58 ,(tii 12t) 60 ,計算回歸系數58290.97 ,603019又 t -N5,y19y1 22525 ,9i 19i19則 m 5，根據隨機數表知該地區清明節前后計算?25 ( 0.97) 529.85 ,線性回歸，求回歸直線? bt?，并計算如果該地區2020 年(t 10)清明節有降雨的話,n(tit)(yiy)參考公式： i?i 1bn,a? y bt 2(tit)i 197參考數據：(tif)(y y)i 158,(tif)(y y)i 1r)27260，(tit) 52 i 160%，用隨機數 x(xN,0 剟X 9)表x m 1 , 9時,3 天中恰好有 2

28、 天下雨的基本事件為:雨量為多少？954，(tii 1【解答】 解：(1)每天下雨的概率為第18頁(共 18 頁)所以回歸直線方程為?0.97t 29.85 ;計算 t 10 時，?0.97 10 29.85 20.15,預測該地區 2020 年(t 10)清明節有降雨的話，降雨量為20.15mm 第19頁(共 18 頁)20. (12 分)已知函數 f(x) x alnx(a R).(1 )當a 0 時，求函數 f (x)的單調區間；(2 )若 g(x)xeemx ,x (0,)，求證:當m, 1時，g(x)0【解答】解:(1)f (x) a x a1, x0 , a 0 ,xx當 x (0

29、, a)時，f (x)0 , f (x)遞減；當 x (a,)時，f (x)0 , f (x)遞遞增；(2)證明：由 g(x) exmxe, x (0,),當m 0時，g(x)0 顯然成立；當0 m, 1時，g(x)0 成立，即 exmxe，即xnm elnx,即x elnxnm,構造函數 h(x) x elnx，根據(1)知，h(x)在(0,e)遞減，(e,)遞增，h(x)由最小值 h (e) e elne 0 ,故 h(x)-0 ,綜上，所以原命題成立.2 221.(12 分)已知橢圓C:篤氣1(a b 0)的焦距為 4，其短軸的兩個端點與長軸的一個a b端點構成正三角形.(1) 求橢圓 C 的標準方程；(2) 設F為橢圓 C 的左焦點，T為直線 x 3 上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓 C 于 點P, Q .1證明：OT 平分線段 PQ (其中 O 為坐標原點)；2當匹最小時，求點T的坐標.|PQ|c 2【解答】解：(1)依題意有 a 3b2 2 2a b c2 2所以橢圓 C 的標準方程為 1.6 2(2)設T(3,t) ,P(N, yj, Q(X2,y?), PQ 的中點為 N(& ,y。),1證明：由 F( 2,0)，可設直線 PQ 的方程為 x my 2，則 PQ 的斜率 kPQ-.解得b2