1、1.2 橢圓的簡單性質(zhì)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)】1根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)、圖形.H問題導(dǎo)學(xué)-知識點(diǎn)一橢圓的簡單性質(zhì)2 2已知兩橢圓 Ci、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程：Ci： 2X5+務(wù)=1,怎樣求 Ci、C2與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)？交點(diǎn)坐標(biāo)是什么?思考 2 橢圓具有對稱性嗎?思考 3 橢圓方程中 x, y 的取值范圍分別是什么?梳理標(biāo)準(zhǔn)方程-2- 2-字+ b2=1(ab0)- 2-2-含=1(ab0)圖形1&iy1性質(zhì)焦占八 、 八焦距|F1F2|= 2c(c =7 a2 b2)|F1F2|= 2C(C=# a2 b2)范圍2C2： 2

2、52X / =1.162 根據(jù)幾何條思考對稱性關(guān)于對稱頂點(diǎn)軸長軸長短軸長知識點(diǎn)二橢圓的離心率思考觀察不同的橢圓可見它們的扁平程度不一樣，哪些量影響其扁平程度？怎樣刻畫?梳理(1)定義：橢圓的焦距與長軸長度的比叫作橢圓的 _，用 e 表示.性質(zhì)：離心率 e 的取值范圍是 _ ,當(dāng) e 越接近 1,橢圓越_ ，當(dāng) e 越接近_橢圓就越接近圓.題型探究類型一橢圓的簡單性質(zhì)引申探究已知橢圓方程為 4x2+ 9y2= 36,求橢圓的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率. 例 1 求橢圓9x2+ 16y2= 144 的長軸長、短軸長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).反思與感悟 解決此類問題的方法是將所給方程

3、先化為標(biāo)準(zhǔn)形式,的焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上，再利用a, b，c 之間的關(guān)系和定義，求橢圓的基本量.跟蹤訓(xùn)練 1 設(shè)橢圓方程 mx2+ 4y2= 4m(m0)的離心率為*,試求橢圓的長軸長和短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo).類型二求橢圓的離心率命題角度 1 與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的離心率問題2 2例 2 設(shè) F!, F2分別是橢圓 E: * +器=1 (ab0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn) Fi的直線交橢圓 E 于 A, B 兩點(diǎn)，AFi|= 3|BFi|.(1)若|AB| = 4, ABF2的周長為 16,求 |AF2|；3若 cos/AF2B= 5，求橢圓 E 的離心率.然后根據(jù)方程判斷出橢圓反思與感悟涉及到焦點(diǎn)三角形

4、注意利用橢圓的定義找到a 與 c 的關(guān)系或利用 e=”.1b求解.2 2跟蹤訓(xùn)練 2 橢圓予+詁=1(ab0)的兩焦點(diǎn)為 Fi, F2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為 _命題角度 2 利用 a, c 的齊次式，求橢圓的離心率(或其取值范圍)2 2例 3(1)設(shè)橢圓 C: *+ b2= l(ab0)的左，右焦點(diǎn)分別為 Fi, F2,過 F2作 x 軸的垂線與 C相交于 A, B 兩點(diǎn)，F(xiàn)iB 與 y 軸相交于點(diǎn) D，若 AD 丄 FiB,則橢圓 C 的離心率等于 _ 2 2若橢圓 X2+1(ab0)上存在一點(diǎn) M，使得/ FiMF2= 90Fi, F

5、2為橢圓的兩個焦點(diǎn))，則橢圓的離心率 e 的取值范圍是 _ 反思與感悟 若 a, c 的值不可求，則可根據(jù)條件建立a, b, c 的關(guān)系式，借助于 a2= b2+c2,轉(zhuǎn)化為關(guān)于 a, c 的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a 的最高次幕，得到關(guān)于 e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范圍.跟蹤訓(xùn)練 3 若一個橢圓的長軸長、短軸長和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是類型三利用橢圓的簡單性質(zhì)求方程例 4 求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(i)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y 軸上，且與 y 軸的一個交點(diǎn)為(0, i0)，該點(diǎn)與最近的焦點(diǎn)的距離為，iO ,5;2已知橢圓的離心率為

6、 e=3,短軸長為 8 5.反思與感悟在求橢圓方程時，要注意根據(jù)題目條件判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，從而確定方程的形式；若不能確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，則應(yīng)進(jìn)行討論，然后列方程（組）確定 a, b,這就是我們常用的待定系數(shù)法.跟蹤訓(xùn)練 4 橢圓過點(diǎn)（3,0），離心率 e=，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3當(dāng)堂訓(xùn)練A. ( 3,0)C. （0, 13）2如圖，已知直線 I: x 2y+ 2 = 0 過橢圓的左焦點(diǎn)Fi和一個頂點(diǎn)橢圓的離心率為（）1 2 代 1B.2D年3與橢圓 9x2+ 4y2= 36 有相同焦點(diǎn)，且短軸長為2 的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是（222A.+ 丁= 1B. x2+ 曽=12 462 2 2C + y2

7、= 1D. +y= 16854.已知點(diǎn)（m, n）在橢圓 8x2+ 3/= 24 上，貝 V 2m+ 4 的取值范圍是 _5.求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.1（1）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y 軸上，若其離心率為 3，焦距為 8;短軸一個端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為1 橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸，一個頂點(diǎn)是（0,13），另一個頂點(diǎn)是（-10,0），則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 10)(0, 土. 69)3.B,廠規(guī)律與方法 - ,1.已知橢圓的方程討論性質(zhì)時，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式，應(yīng)先化成標(biāo)準(zhǔn)形式.2根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)，可以求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用

8、的方法是待定系數(shù)法. 在橢圓的基本量中， 能確定類型的量有焦點(diǎn)、 頂點(diǎn)，而不能確定類 型的量有長軸長、短軸長、離心率e、焦距.3.求橢圓的離心率要注意函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.問題導(dǎo)學(xué) 知識點(diǎn)一思考 1 對于方程 Cl：令 x= 0,得 y=4,即橢圓與 y 軸的交點(diǎn)為(0,4)與(0, 4);令 y= 0, 得 x= 5，即橢圓與 x 軸的交點(diǎn)為(5,0)與(5,0).同理得 C2與 y 軸的交點(diǎn)為(0,5)與(0, 5), 與 x 軸的交點(diǎn)為(4,0)與(4,0).思考 2 有問題中兩橢圓都是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，也是以x 軸、y 軸為對稱軸的軸對稱圖形.思考 3Ci

9、： 5 xw5, 4 yw4;C2:4WxW4, 5WyW5.梳理Fi( c,0), F2(C,0) Fi(0， c), F2(0, c) |x|wa, |y|wb|x|wb, |y|wa x 軸、y 軸和原點(diǎn)(,0), (0, 5)(0, 1), (,0) 2a 2b知識點(diǎn)二題型探究 例 1 解已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2x y16 9， 于是 a= 4, b = 3, c= ” 16 9=-；, 7,橢圓的長軸長和短軸長分別是2a = 8 和 2b= 6,離心率e=：=尖又知焦點(diǎn)在x軸上，兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F# -, 7, 0)和 F2(,7, 0),四個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是 A 4,0), A

10、2(4,0), B1(0, 3)和 B2(0,3).引申探究2 2解把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程肝;=1,可知此橢圓的焦點(diǎn)在x 軸上，且長半軸長a = 3,短半軸長 b= 2.答案精析思考如圖所示,在 Rf BF2O 中，cos/ BF2O = 1，記e=1 則0e1，e越大，/BF2O越小, 橢圓越扁;e 越小，/ BF2O 越大，橢圓越圓.梳理(1)離心率(0,1)扁又得半焦距 c=- a2 b2=：9 一 4 = /5.所以橢圓的長軸長2a= 6，短軸長 2b = 4;兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（一，5，0），（ _ 5， 0） .四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（一 3, 0）, （3,0）, （0, 2）

11、, （0,2） 離心率 e=C=嚴(yán).a 322i跟蹤訓(xùn)練 1 解橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為X +y= 1,且 e=1.4m2（1）當(dāng) 0m4 時，長軸長和短軸長分別為8y3, 4,焦點(diǎn)坐標(biāo)為L沁沁F1（0，），F(xiàn)2（0，虧）,頂點(diǎn)坐標(biāo)為A矩邁A1(0，才)，A2(0，虧),B1( 2,0) , B2(2,0).例 2 解(1)由 AFf= 3|FiB|,AB|= 4,得|AF1|= 3, |F1B|= 1.因?yàn)?ABF2的周長為 16,所以由橢圓定義可得 4a = 16,AF1I+ |AF2|= 2a= 8.故 |AF2|= 2a |AF1|= 8 3= 5.設(shè)|F1B|= k,則 k0,且 |A

12、F1| = 3k, |AB|= 4k.由橢圓定義可得 |AF2|= 2a 3k, |BF2|= 2a k.在厶 ABF2中，由余弦定理可得2 2 2AB|2 3=|AF2|2+ IBF2I2 2AF2| 2|BF2| cosZAF2B，即(4k)6=(2a 3k) + (2a k) 5(2a 3k) (2a k)，化簡可得(a + k)(a 3k) = 0, 而 a+ k0,故 a= 3k.于是有 |AF2|= 3k= |AFi|, |BF2|= 5k.222因此 |BF2| = |F2A| + |AB|，可得 FiA 丄 F2A,故 AF1F2為等腰直角三角形.從而 c=22a,2 2由于

13、AD 丄 BE 一肚=-1,跟蹤訓(xùn)練 23 1例 3于,b2a，b2令 x= 0，則 y= 2，所以橢圓 E 的離心率ce=_a解析直線 AB : x= c,代入2活=1,得 y=A(c,2a) B(c,a)-kBF匚 0a1=c cb!abi2c 2ac，-直線 BFi: y 0 =_b!_ (x+c)，-D(0， 2a), kAD=22b_+b_a 2a = 3b c =2ac. 3b2= 2ac,即.3(a2-c2) = 2ac, .3e2+ 2e ,3= 0,2 42 3，2 彳、(2)亍，1)2 2解析 橢圓 a2+器=1(ab0),b b，即 c2 b2,所以 c2a2 c2,所以

14、 e2 1 e2,即 e22.又 0e0,e=2=2 j33.a c= ,10 5,則 c= , 5.所以 b3= a2 c2= 5,2 2所以所求橢圓的方程為土+x=i.105c2 2由 e= a=2，得c= 3a,又 2b = 8、J5, a2= b2+ c2,所以 a2= 144, b2= 80,2 2 2 2x y . x y-+ = 1 或-U- = 1144 80 或 80 144跟蹤訓(xùn)練 4 解橢圓過點(diǎn)（3,0）, 點(diǎn)（3,0）為橢圓的一個頂點(diǎn).當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上時，（3,0）為右頂點(diǎn)，則 a = 3,Ve=：=孚。=唸=護(hù)4 5 6= .7， b2= a2 c2= 32 （6）2= 9 6 = 3,2 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為X9+=1.93當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上時，（3,0）為右頂點(diǎn)，則 b = 3,e= a* c= e=c=4= -, a = 12,32 a2= 3b2= 27,22橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 27+X = 1.2 2 2 2綜上可知，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 Xx+彳=1 或 27+X = 1