1、中考數學專題探究中考數學專題探究-應用性問題應用性問題足球是全世界最熱門的運動足球是全世界最熱門的運動 足球場上有句順口溜：足球場上有句順口溜：“向向著著球門跑，越近就球門跑，越近就越好；歪著球門跑，射點要選好！越好；歪著球門跑，射點要選好！”從數學角度看從數學角度看是何道理？是何道理？ABEFBACFE 應用題是中考試題的經典試題，解決應用應用題是中考試題的經典試題，解決應用題的思想方法如下：題的思想方法如下： 應用性問題的常見模型有：應用性問題的常見模型有： 方程模型方程模型 不等式模型不等式模型 函數模型函數模型 統計模型統計模型 幾何模型幾何模型方程（組）型應用題方程（組）型應用題（1

2、 1）審：未知量、已知量、）審：未知量、已知量、相等關系相等關系；（2 2）設：用字母表示未知數）設：用字母表示未知數( (寫明單位寫明單位) )；（3 3）列：列出方程（組）；）列：列出方程（組）；（4 4）解：解所列方程（組）；）解：解所列方程（組）；（5 5）驗：檢驗答案是否符合方程、符合題意）驗：檢驗答案是否符合方程、符合題意（6 6）答：寫出答案。）答：寫出答案。一般步驟：一般步驟：例例1(081(08鎮江）鎮江） 5.12汶川大地震發生以后，全國人民眾志成汶川大地震發生以后，全國人民眾志成城首長到帳篷廠視察，布置賑災生產任務，下面城首長到帳篷廠視察，布置賑災生產任務，下面是首長與廠

3、長的一段對話：是首長與廠長的一段對話：首長：為了支援災區人民，組織上要求你們完成首長：為了支援災區人民，組織上要求你們完成 的生產任務的生產任務廠長：為了盡快支援災區人民，我們準備每天的生廠長：為了盡快支援災區人民，我們準備每天的生首長：這樣能提前幾天完成任務？首長：這樣能提前幾天完成任務？廠長：請首長放心！保證廠長：請首長放心！保證 完成任務！完成任務！根據兩人對話，問該廠根據兩人對話，問該廠 ？1200012000頂帳篷頂帳篷產量比原來多一半產量比原來多一半提前提前4天天原來每天生產多少頂帳篷原來每天生產多少頂帳篷原來原來現在現在總工作量總工作量工作效率工作效率時間時間x1 . 5 x1

4、2 0 0 0 x1 2 0 0 01 .5 x易錯點易錯點設：設： 原來每天生產原來每天生產 頂帳篷。頂帳篷。x120001200012000_=4相等關系相等關系現在每天的生產量現在每天的生產量=原來每天的生產量原來每天的生產量 1.5原來所用時間原來所用時間實際所用時間實際所用時間=4x120001200041.5xx1000 x 解：設該廠原來每天生產解：設該廠原來每天生產 頂帳篷，根據題意頂帳篷，根據題意得：得： 解方程得：解方程得： 經檢驗：經檢驗： 是原方程的根，且符合題意是原方程的根，且符合題意答：該廠原來每天生產答：該廠原來每天生產1000頂帳篷頂帳篷1000 x 分式方程不

5、要忘記檢驗分式方程不要忘記檢驗! !若設時間為若設時間為 天天 ， 如何列方程呢？如何列方程呢？x不等式（組）型應用題不等式（組）型應用題 現實世界中不等關系是普遍存在的，現實世界中不等關系是普遍存在的，有關最佳決策、合理調配、統籌安排等有關最佳決策、合理調配、統籌安排等最優化問題最優化問題，一般可通過對給出的一些，一般可通過對給出的一些數據進行分析、轉化、建立不等式模型，數據進行分析、轉化、建立不等式模型，再求在約束條件下的不等式的解集再求在約束條件下的不等式的解集不等式（組）型應用題不等式（組）型應用題（1 1）審：未知量、已知量、）審：未知量、已知量、不等關系不等關系；（2 2）設：用字

6、母表示未知數）設：用字母表示未知數( (寫明單位寫明單位) )；（3 3）列：列出不等式（組）；）列：列出不等式（組）；（4 4）解：解所列不等式（組）；）解：解所列不等式（組）；（5 5）驗：檢驗答案是否符合不等式、符合題意）驗：檢驗答案是否符合不等式、符合題意（6 6）答：寫出答案）答：寫出答案. .一般步驟：一般步驟：例例2：某校師生積極為汶川地震災區捐款，在得知災區：某校師生積極為汶川地震災區捐款，在得知災區急需帳篷后，立刻到當地的一家帳篷廠采購，帳篷有急需帳篷后，立刻到當地的一家帳篷廠采購，帳篷有兩種規格，可供兩種規格，可供 ；可供可供 。學校花去捐。學校花去捐款款 采購這兩種帳篷，

7、采購這兩種帳篷， .（2）學校原計劃租用甲、乙兩種型號的卡車共）學校原計劃租用甲、乙兩種型號的卡車共20輛將輛將所購帳篷緊急運往災區，已知甲型卡車每輛可同時裝所購帳篷緊急運往災區，已知甲型卡車每輛可同時裝運運4頂小帳篷和頂小帳篷和11頂大帳篷，乙型卡車每輛可同時裝運頂大帳篷，乙型卡車每輛可同時裝運12頂小帳篷和頂小帳篷和7 7頂大帳篷，如何安排甲、乙兩種型號的頂大帳篷，如何安排甲、乙兩種型號的卡車可一次性將這批帳篷運往災區？有幾種方案？卡車可一次性將這批帳篷運往災區？有幾種方案？3人居住的小帳篷，價格每頂人居住的小帳篷，價格每頂160元元10人居住的大帳篷，價格每頂人居住的大帳篷，價格每頂40

8、0元元9600096000元元正好可供正好可供2200人居住人居住（1）求該校采購了多少頂）求該校采購了多少頂3人小帳篷，多少頂人小帳篷，多少頂10人住人住 的大帳篷；的大帳篷；人數人數價格價格小帳篷小帳篷大帳篷大帳篷總量總量3 x160 x設：采購了設：采購了 頂頂3人小帳篷，人小帳篷， 頂頂10人人 住的大帳篷。住的大帳篷。xy相等關系相等關系: :+=10y400y花花96000元采購這兩種帳篷元采購這兩種帳篷 正好可供正好可供2200人居住人居住220096000=+310230016040096000 xyxy100200 xy解：（解：（1 1）設該校采購了）設該校采購了x x頂小

9、帳篷，頂小帳篷，y y頂大帳篷頂大帳篷根據題意得根據題意得解這個方程組得解這個方程組得答：該校采購了答：該校采購了100100頂小帳篷，頂小帳篷，200200頂大帳篷頂大帳篷不等式（組）型應用題不等式（組）型應用題例例2：某校師生積極為汶川地震災區捐款，在得知災區：某校師生積極為汶川地震災區捐款，在得知災區急需帳篷后，立刻到當地的一家帳篷廠采購，帳篷有急需帳篷后，立刻到當地的一家帳篷廠采購，帳篷有兩種規格，可供兩種規格，可供3 3人居住的小帳篷，價格每頂人居住的小帳篷，價格每頂160元；元；可供可供1010人居住的大帳篷，價格每頂人居住的大帳篷，價格每頂400400元。學校花去捐元。學校花去捐

10、款款96000元采購這兩種帳篷，正好可供元采購這兩種帳篷，正好可供22002200人居住。人居住。（1）求該校采購了多少頂）求該校采購了多少頂3人小帳篷，多少頂人小帳篷，多少頂10人住人住 的大帳篷；的大帳篷；（2）學校原計劃租用）學校原計劃租用 將將所購帳篷緊急運往災區，已知所購帳篷緊急運往災區，已知 ，如何安排甲、乙兩種型號，如何安排甲、乙兩種型號的卡車可的卡車可 將這批帳篷運往災區？有幾種方案？將這批帳篷運往災區？有幾種方案？甲、乙兩種型號的卡車共甲、乙兩種型號的卡車共20輛輛甲型卡車每輛可同時裝甲型卡車每輛可同時裝運運4頂小帳篷和頂小帳篷和11頂大帳篷，乙型卡車每輛可同時裝運頂大帳篷，

11、乙型卡車每輛可同時裝運12頂小帳篷和頂小帳篷和7頂大帳篷頂大帳篷一次性一次性甲甲乙乙帳篷總量帳篷總量(頂頂)卡車數量卡車數量(輛輛)小帳篷小帳篷(頂頂)大帳篷大帳篷(頂頂)不等關系不等關系: :a20a4a11a1007(20)a12(20)a300+設：設： 安排甲種型號的卡車安排甲種型號的卡車 輛輛a甲、乙兩種型號的卡車能裝走的小帳篷數至少為甲、乙兩種型號的卡車能裝走的小帳篷數至少為100頂頂甲、乙兩種型號的卡車能裝走的大帳篷數至少為甲、乙兩種型號的卡車能裝走的大帳篷數至少為200頂頂412(20)100117(20)200aaaa解：設甲型卡車安排了解：設甲型卡車安排了 輛，則乙型卡車安

12、排了輛，則乙型卡車安排了 輛輛根據題意得根據題意得解這個不等式組得解這個不等式組得1515a17.517.5車輛數為正整數車輛數為正整數 a=15=15或或1616或或171720-20-a =5 =5或或4 4或或3 3答：略。答：略。不要忘記取整不要忘記取整! !a(20)a函數型應用問題函數型應用問題 函數及其圖象是初中數學中的主要內容函數及其圖象是初中數學中的主要內容之一，也是初中數學與高中數學相聯系的紐之一，也是初中數學與高中數學相聯系的紐帶帶; ;它與代數、幾何、三角函數等知識有著密它與代數、幾何、三角函數等知識有著密切聯系，在實際問題中，有關用料最省、造切聯系，在實際問題中，有關

13、用料最省、造價最低、利潤最大等問題可以通過分析、聯價最低、利潤最大等問題可以通過分析、聯想，建立函數模型，轉化為函數的最值問題想，建立函數模型，轉化為函數的最值問題. .函數型應用問題函數型應用問題（1 1）審：常量、變量、）審：常量、變量、相等關系相等關系；（2 2）設：用兩個字母分別表示自變量、因變量；）設：用兩個字母分別表示自變量、因變量；（3 3）列：列出函數關系式（寫出自變量的取值）列：列出函數關系式（寫出自變量的取值 范圍）范圍）（4 4）解：解決函數問題；）解：解決函數問題；（5 5）驗：檢驗答案是否符合函數關系、符合題意）驗：檢驗答案是否符合函數關系、符合題意（6 6）答：寫出

14、答案）答：寫出答案. .一般步驟：一般步驟：例例3（08揚州）紅星公司生產的某種時令商品每件成本為揚州）紅星公司生產的某種時令商品每件成本為20元，元，經過市場調研發現，這種商品在未來經過市場調研發現，這種商品在未來40天內的日銷售量（件）天內的日銷售量（件）與時間（天）的關系如下表：與時間（天）的關系如下表： 時間（天）時間（天）13610 36日銷售量日銷售量(件件)9490 84 76 24 未來未來40天內，前天內，前20天每天的價格天每天的價格y1（元（元/件）與時間件）與時間t （天）（天）的函數關系式為：的函數關系式為：y1=1/4t+25（1t201t20且且t為整數）；后為整

15、數）；后20天每天的價格天每天的價格y2（元（元/件）與時間件）與時間t （天）的函數關系式為：（天）的函數關系式為：y2= 1/2t+40（21t1t40且且t為整數）。下面我們來研究為整數）。下面我們來研究 這這種商品的有關問題。種商品的有關問題。（1）認真分析上表中的數量關系，利用學過的一次函數、）認真分析上表中的數量關系，利用學過的一次函數、二次函數二次函數 、反比例函數的知識確定一個滿足這些數據之間的、反比例函數的知識確定一個滿足這些數據之間的函數關系式；函數關系式；（2）請預測未來）請預測未來40天中那一天的銷售利潤最大，天中那一天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？最大日銷售利

16、潤是多少？（3）在實際銷售的前）在實際銷售的前20天中該公司決定每銷售天中該公司決定每銷售一件商品就捐贈一件商品就捐贈a 元利潤（元利潤（a 4）給希望工程，）給希望工程，公司通過銷售記錄發現，前公司通過銷售記錄發現，前20 天中，每天扣除天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，的增大而增大， 求求a的取值范圍。的取值范圍。已知：日銷售量（件）與時間（天）的關系如下表：已知：日銷售量（件）與時間（天）的關系如下表： 時間（天）時間（天）13610 36日銷售量（件）日銷售量（件）9490 84 76 24（1）利用學過的一次函數、二次函數）利用學過的一次函

17、數、二次函數 、反比例函數的知識、反比例函數的知識確定一個滿足這些數據之間的函數關系式；確定一個滿足這些數據之間的函數關系式；y易得：易得：分析：設日銷售量為分析：設日銷售量為y 件，時間為件，時間為x天。天。不要忘記驗證！296yx 134567580859095Ox278109例例3（08揚州）紅星公司生產的某種時令商品每件成本為揚州）紅星公司生產的某種時令商品每件成本為20元，元，經過市場調研發現，這種商品在未來經過市場調研發現，這種商品在未來40天內的日銷售量（件）天內的日銷售量（件）與時間（天）的關系如下表：與時間（天）的關系如下表： 時間（天）時間（天）1361036日銷售量（件）

18、日銷售量（件）94 90 84 7624 未來未來40天內，前天內，前20天每天的價格天每天的價格y1（元（元/件）與件）與t時間（天）時間（天）的函數關系式為：的函數關系式為：y1=1/4t+25（1t201t20且且t為整數）；后為整數）；后20天每天的價格天每天的價格y2（原（原/件）與件）與t時間（天）的函數關系式為：時間（天）的函數關系式為：y2= 1/2t+40（21t401t40且且t為整數）。下面我們來研究為整數）。下面我們來研究 這這種商品的有關問題。種商品的有關問題。（1）認真分析上表中的數量關系，利用學過的一次函數、）認真分析上表中的數量關系，利用學過的一次函數、二次函數

19、二次函數 、反比例函數的知識確定一個滿足這些數據之間的、反比例函數的知識確定一個滿足這些數據之間的函數關系式；函數關系式；（2）請預測未來）請預測未來40天中那一天的天中那一天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤是銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？多少？ 已知：商品每件成本為已知：商品每件成本為20元，未來元，未來40天內，天內， 若設日銷售量為若設日銷售量為y 件，時間為件，時間為x天，則天，則y=-2x+96 前前20天：每天的價格天：每天的價格y1（元（元/件）與件）與t時間（天）的函數時間（天）的函數 關系式為：關系式為：y1=1/4t+25（1t201t20且且t為整數）為整數） ；后后

20、20天：每天的價格天：每天的價格y2（元元/件）與件）與t時間（天）的時間（天）的 函數關系式為：函數關系式為： y2 = 1/2t+40（21t40 且且t為整數）為整數） 。求：請預測未來求：請預測未來40天中那一天的銷售利潤最大，最大日銷天中那一天的銷售利潤最大，最大日銷 售利潤是多少？售利潤是多少？分析：日銷售總利潤分析：日銷售總利潤=日銷售量日銷售量 (每件的價格每件的價格-每件成本每件成本)Wy=-2x+96 y1=1/4t+25（1t20且且t為整數）為整數）或或y2= 1/2t+40（21t40且且t為整數為整數)20129625201204wttt1296402021402w

21、ttt 2114578 1202wtt 24416 2140wtt （2 2）設銷售利潤為）設銷售利潤為w w元，元，或或整理得整理得或或綜上所知，當綜上所知，當t=14時，利潤最大，最大利潤是時，利潤最大，最大利潤是578元。元。不要忘記不要忘記分類討論分類討論! !最大值應在最大值應在t=21時取得，時取得，為為513元元.當當t=14，最大值為最大值為578元元.（3）在實際銷售的前）在實際銷售的前20天中該公司決定每銷售一天中該公司決定每銷售一件商品就捐贈件商品就捐贈a 元利潤（元利潤（a 4）給希望工程，公）給希望工程，公司通過銷售記錄發現，前司通過銷售記錄發現，前20 天中，每天扣

22、除捐贈天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，的增大而增大， 求求a的取的取值范圍。值范圍。分析：分析：129651204wttat 可得： 221272171202wtaat 27204aa且34a整理得，整理得，則，解得:日銷售總利潤日銷售總利潤=日銷售量日銷售量 (每件的價格每件的價格-每件成本每件成本-a)Wy=-2x+96 y1=1/4t+25（1t20且且t為整數）為整數）20運用運用數形結合數形結合容易理解容易理解! !統計型應用問題統計型應用問題 統計的內容有著非常豐富的實際背統計的內容有著非常豐富的實際背景，其實際應用性特別強，與統計有關景，

23、其實際應用性特別強，與統計有關的實際問題可建立統計模型，并利用統的實際問題可建立統計模型，并利用統計的知識加以解決。計的知識加以解決。統計型應用問題統計型應用問題（1 1）審：已知量、未知量、）審：已知量、未知量、量與量關系量與量關系；（2 2）列：列式（算式、方程、不等式等）列：列式（算式、方程、不等式等）（4 4）解：解決統計問題；）解：解決統計問題；（5 5）驗：檢驗答案是否符合題意）驗：檢驗答案是否符合題意（6 6）答：寫出答案）答：寫出答案. .一般步驟：一般步驟：例例4（08徐州）小王某月手機話費中的各項費用統計情況見下列圖徐州）小王某月手機話費中的各項費用統計情況見下列圖表，請你

24、根據圖表信息完成下列各題：表，請你根據圖表信息完成下列各題：項目金額項目金額/元元月功能費月功能費基本話費基本話費長途話費長途話費短信費短信費51.該月小王手機話費共有多少元？該月小王手機話費共有多少元？2.扇形統計圖中，表示短信費的扇形的圓心角為多少度？扇形統計圖中，表示短信費的扇形的圓心角為多少度？3.請將表格補充完整；將條形統計圖補充完整請將表格補充完整；將條形統計圖補充完整.72125元 504525 幾何型應用問題常常以現實生活情幾何型應用問題常常以現實生活情景為背景，考查學生識別圖形、動手操作景為背景，考查學生識別圖形、動手操作圖形、運用幾何知識解決實際問題以及探圖形、運用幾何知識

25、解決實際問題以及探索、發現問題等能力，同時也對學生觀察、索、發現問題等能力，同時也對學生觀察、想像、分析、綜合、數形結合等數學思想想像、分析、綜合、數形結合等數學思想方法進行考查方法進行考查 幾何型應用問題幾何型應用問題 例例5： 一座建于若干年前的水庫大壩的橫斷面如圖一座建于若干年前的水庫大壩的橫斷面如圖7所所示，其中背水面的整個坡面是長為示，其中背水面的整個坡面是長為90米、寬為米、寬為5米的矩形米的矩形. 現需將其整修并進行美化，方案如下：現需將其整修并進行美化，方案如下： 將背水坡將背水坡AB的的坡度由坡度由1 0.75改為改為1 ； 用一組與背水坡面長邊垂用一組與背水坡面長邊垂直的平

26、行線將背水坡面分成直的平行線將背水坡面分成9塊相同的矩形區域，依次相間塊相同的矩形區域，依次相間地種草與栽花地種草與栽花 求整修后背水坡面的面積；求整修后背水坡面的面積； 如果栽花的成本是每平方米如果栽花的成本是每平方米25元，種草的成本是每平方元，種草的成本是每平方米米20元，那么種植花草至少需要多少元？元，那么種植花草至少需要多少元？ 3110.75140.753435514AEBCEAEEBAEkBEkABkABkAE （）作于原來的坡度是：設，又米，則米QQ/BE/0/213130283908720ABAEAB EABAEEB設整修后的斜坡長為，由整修后坡度為 ：得：米整修后背水坡面面

27、積為米 如果栽花的成本是每平方米如果栽花的成本是每平方米25元，元，種草的成本是每平方米種草的成本是每平方米20元，那么種植元，那么種植花草至少需要多少元？花草至少需要多少元？ 將整修后的背水坡面分為將整修后的背水坡面分為9塊相同的矩形，則塊相同的矩形，則每一區域的面積為每一區域的面積為80米米2 . 要依次相間地種植花草，則必然有一種是要依次相間地種植花草，則必然有一種是5 塊，有一種是塊，有一種是4塊，而栽花的成本是每平方米塊，而栽花的成本是每平方米25元，元，種草的成本是每平方米種草的成本是每平方米20元，元， 選擇種草選擇種草5塊、種花塊、種花4塊的方案花費較少塊的方案花費較少 即：需

28、要花費即：需要花費205802548016000元元 老王家一個半徑為老王家一個半徑為 米的半圓形池塘原來種的是米的半圓形池塘原來種的是藕，他看到鄰居養殖螃蟹發了財，也想在池塘里圍一個藕，他看到鄰居養殖螃蟹發了財，也想在池塘里圍一個盡可能大的正方形區域養螃蟹盡可能大的正方形區域養螃蟹.從鄰居處得知蟹苗的放從鄰居處得知蟹苗的放養密度為養密度為3只只/平方米，這下他犯愁了：得買多少只蟹苗平方米，這下他犯愁了：得買多少只蟹苗呢？呢？10 5ABCDO 老王家一個半徑為老王家一個半徑為 米的半圓形池塘原來種的是藕，米的半圓形池塘原來種的是藕，他看到鄰居養殖螃蟹發了財，他也想在池塘里圍一個盡可能他看到鄰

29、居養殖螃蟹發了財，他也想在池塘里圍一個盡可能大的正方形區域養螃蟹大的正方形區域養螃蟹.從鄰居處得知蟹苗的放養密度為從鄰居處得知蟹苗的放養密度為3只只/平方米，這下他犯愁了：得買多少只蟹苗呢？平方米，這下他犯愁了：得買多少只蟹苗呢？x10 510 510 5x2x（1200只） 秋天到了，老王看著長大的螃蟹，心里秋天到了，老王看著長大的螃蟹，心里美滋滋的，他想估計螃蟹的總質量美滋滋的，他想估計螃蟹的總質量.你能幫你能幫老王這個忙嗎？老王這個忙嗎？ 老王從池塘中隨意撈了老王從池塘中隨意撈了20只螃蟹，稱得質量分只螃蟹，稱得質量分別如下：別如下： (單位：克單位：克) 210 240 190 210 320 180 250 220 240 250 300 220 300 240 210 220 160 220 240