1、2021/8/141向量的內積的概念向量的內積的概念向量的長度向量的長度向量的正交性向量的正交性向量空間的正交規范基的概念向量空間的正交規范基的概念向量組的正交規范化向量組的正交規范化正交陣、正交變換的概念正交陣、正交變換的概念1. 預備知識：向量的內積預備知識：向量的內積 n維向量是空間三維向量的推廣，本節通過定義向維向量是空間三維向量的推廣，本節通過定義向量的內積，從而引進量的內積，從而引進n維向量的度量概念：向量的長度，維向量的度量概念：向量的長度，夾角及正交。夾角及正交。2021/8/142定義定義1 設有設有 n 維向量維向量TnTnyyyyxxxx),(,),(2121 向量內積的

2、概念向量內積的概念在空間解析幾何中，兩向量的數量積在空間解析幾何中，兩向量的數量積 cos|yxyx 在直角坐標系中表示為在直角坐標系中表示為,),(),(332211321321yxyxyxyyyxxxyx 推廣到推廣到 n 維向量即有：維向量即有：的的與與稱稱為為向向量量令令yxyxyxyxyxyxnn, ,2211 內積內積。2021/8/143,yxyxyxT 有有均均為為列列向向量量時時與與當當可可以以用用矩矩陣陣表表示示種種運運算算向向量量的的內內積積是是向向量量的的一一內積的內積的運算規律運算規律：. 0,0, 0,).(;, :).(;, :).(;, :).(;, :).(2

3、 xxxxxvyyxxyxivzyzxzyxiiiyxyxyxiixyyxi有有時時且且當當施施瓦瓦茨茨不不等等式式加加法法分分配配律律數數乘乘結結合合律律交交換換律律 2021/8/144向量的長度向量的長度由向量內積的性質由向量內積的性質(v) 自然引入向量的長度。自然引入向量的長度。定義定義1 令令.,22221的的長長度度為為向向量量xxxxxxxn 向量長度的性質：向量長度的性質：.:).(;:).(;,0, 0:).(yxyxiiixxiixxi 三三角角不不等等式式齊齊次次性性等等式式成成立立時時當當且且僅僅當當非非負負性性 為為時時，稱稱當當xx1 單位向量單位向量。2021/

4、8/145,0, 0時時當當 yx|,arccosyxyx 正交向量組正交向量組：指一組兩兩正交的非零向量。：指一組兩兩正交的非零向量。的的與與維維向向量量稱稱為為yxn向量的正交性向量的正交性 空間解析幾何中兩向量垂直推廣到空間解析幾何中兩向量垂直推廣到 n 維向量，可維向量，可得向量的正交性概念。得向量的正交性概念。.,0.,0,何何向向量量正正交交與與任任時時當當正正交交與與稱稱向向量量時時當當xxyxyx 夾角夾角。2021/8/146定理定理1.,2121線線性性無無關關則則的的非非零零向向量量是是一一組組兩兩兩兩正正交交維維向向量量若若rrn 證證, 0,221121 rrr 使使

5、設設有有得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1T , 0111 T, 01 因因, 02111 T故故. 01 從從而而必必有有. 0, 0,2 r 可可證證類類似似地地.,21線線性性無無關關于于是是向向量量組組r 2021/8/147 121,11121aa例例1解解 ,12111121 TTaaA記記即即應滿足齊次方程應滿足齊次方程, 03 xAa,00121111321 xxx已知已知 3 維向量空間維向量空間 R 3 中兩個向量中兩個向量.,3213兩兩兩兩正正交交使使試試求求一一個個非非零零向向量量正正交交aaaa2021/8/148 ,0231xxx得得.101 從從而而有有基基礎

6、礎解解系系.1013即即可可取取 ,010101030111 由由A2021/8/149 212100,212100,002121,0021214321eeee例例如如就是就是 R 4 的一個正交規范基。的一個正交規范基。向量空間的規范正交基向量空間的規范正交基定義定義3.,)(,212121的的一一個個規規范范正正交交基基是是則則稱稱單單位位向向量量且且都都是是兩兩兩兩正正交交如如果果的的一一個個基基是是向向量量空空間間維維向向量量設設VeeeeeeRVVeeenrrnr 2021/8/1410,2121線線性性表表示示應應能能由由任任一一向向量量中中那那么么的的一一個個規規范范正正交交基基

7、是是若若rreeeVVeee rreee 2211設設表表示示式式為為,), 2 , 1(iiiTiTiieeeri 有有左左乘乘上上式式用用為為求求其其中中的的系系數數.,iTiiee 即即2021/8/1411向量組的正交規范化向量組的正交規范化.,.,.,2121212121基基規規范范正正交交化化這這個個這這樣樣的的問問題題稱稱為為把把等等價價與與使使交交的的單單位位向向量量正正這這也也就就是是要要找找一一組組兩兩兩兩的的一一個個規規范范正正交交基基要要求求的的一一個個基基是是向向量量空空間間設設rrrrreeeeeeVV :,21規范正交化規范正交化可以用以下辦法把可以用以下辦法把r

8、 2021/8/1412;,1112122bbbabab .,111122221111 rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab;11 b取取.,212121等等價價與與且且兩兩兩兩正正交交可可以以證證明明rrrbbbbbb 2021/8/1413,1,1,1222111rrrbbebbebbe 就得就得 V 的一個正交規范基。的一個正交規范基。然后只要把它們單位化，即取然后只要把它們單位化，即取.)(,2121正正交交化化過過程程的的過過程程稱稱為為施施密密特特組組尋尋出出正正交交向向量量上上述述從從線線性性無無關關向向量量組組Schimidtbbbrr .,:,21212121

9、等價等價與與向量組向量組對任何對任何還滿足還滿足等價等價與與它不僅滿足它不僅滿足kkrrbbbkbbb 2021/8/1414,014,131,121321 aaa設設試用施密特正交化過程把這組向量正交規范化。試用施密特正交化過程把這組向量正交規范化。解解;11ab 取取;1113512164131,1211222 bbbaab例例2 22021/8/1415.10121113512131014,222231211333 bbbabbbaab再把它們單位化，取再把它們單位化，取,12161111 bbe.10121333 bbe,11131222 bbe2021/8/1416,1111 a已已

10、知知.,32132兩兩兩兩正正交交使使求求一一組組非非零零向向量量aaaaa解解. 0, 0,321132 xxxxaaaT即即應應滿滿足足方方程程例例 3 3它的基礎解系為它的基礎解系為.110,10121 2021/8/1417.1212110121110,10132 aa把基礎解系正交化，即為所求。取把基礎解系正交化，即為所求。取;12 a 于是得于是得其中其中, 2, 1,1121 .,1112123 a2021/8/1418 由于正交化過程十分繁鎖，因而在求正交向量由于正交化過程十分繁鎖，因而在求正交向量組時，只要抓住向量正交的本質，可以避免正交化組時，只要抓住向量正交的本質，可以避

11、免正交化過程。過程。x1 + x2 + x3 = 0的基礎解系為例，的基礎解系為例，21,011 使得前兩個分量與使得前兩個分量與1 的前兩個分量對應的前兩個分量對應乘積之和為零即可，乘積之和為零即可，,2112 容易驗證容易驗證.21是是正正交交的的與與 要求兩兩正交的基礎解系，只要取要求兩兩正交的基礎解系，只要取從而取從而取以例以例3中求齊次線性方程組中求齊次線性方程組2021/8/1419Ex.1.,422143214321兩兩兩兩正正交交使使求求一一組組非非零零向向量量已已知知aaaaaaaa . 0422, 0,43211432 xxxxxaaaaT即即應應滿滿足足方方程程向向量量解

12、解其基礎解系可取為其基礎解系可取為.9884,0542,0012321 .,342312321即即可可取取是是兩兩兩兩正正交交的的顯顯然然 aaa2021/8/1420 定義定義4 如果如果 n 階方陣階方陣 A 滿足滿足AT A = E ( 即即 A1 = AT ),那么稱那么稱 A 為為正交陣正交陣。 上式用上式用 A 的列向量表示，即是的列向量表示，即是 ,2121EaaaaaanTnTT ), 2 , 1,(0, 1njijijiaaijjTi 亦亦即即2021/8/1421 2121000021212121212121212121P是正交陣。是正交陣。例例4 解解 P 的每一個行向量

13、都是單位向量，且兩兩的每一個行向量都是單位向量，且兩兩正交，所以正交，所以 P 是正交陣。是正交陣。驗證矩陣驗證矩陣這就說明：方陣這就說明：方陣A 為為正交陣正交陣的充分必要條件是的充分必要條件是A 的列的列( 行行)向量都是單位向量且兩兩正交。從而正交陣向量都是單位向量且兩兩正交。從而正交陣A 的的n 個列個列( 行行)向量構成向量空間向量構成向量空間 R n 的一個規范正交基。的一個規范正交基。2021/8/1422 定義定義5 若若 P 為正交陣，則線性變換為正交陣，則線性變換 y = P x 稱稱為為正交變換正交變換。 .xxxxPPxyyyTTTT 這就說明：正交變換保持線段長度保持不變。這就說明：正交變換保持線段長度保持不變。從而利用正交變換化二次型為標準形不會改變二次從而利用正交變換化二次型為標準形不會改變二次型的幾何特征。型的幾何特征。設設 y = P x 是正交變換，則有是正交變換，則有2021/8/1423 (i). 正交矩陣正交矩陣A 的行列式的行列式 |A| = 1 或或|A| = 1;