1、2021/8/141第第2章章 牛頓運動定律牛頓運動定律 角動量定理角動量定理吳慶文吳慶文2021/8/142動量定理動量定理對對單個質(zhì)點單個質(zhì)點或?qū)驅(qū)|(zhì)點系質(zhì)點系：ddF tP d00ttF tPP 密歇爾斯基方程密歇爾斯基方程變質(zhì)量系統(tǒng)的動力學方程：變質(zhì)量系統(tǒng)的動力學方程：上節(jié)課的主要內(nèi)容上節(jié)課的主要內(nèi)容ddddvmF mvtt 動量守恒定律成立條件：動量守恒定律成立條件：*系統(tǒng)根本不受外力或合外力為零。系統(tǒng)根本不受外力或合外力為零。*系統(tǒng)所受內(nèi)力很大，外力可以忽略不計。系統(tǒng)所受內(nèi)力很大，外力可以忽略不計。*系統(tǒng)在某一方向所受合外力為零，系統(tǒng)在該方向系統(tǒng)在某一方向所受合外力為零，系統(tǒng)在該

2、方向動量守恒（總動量不一定守恒）動量守恒（總動量不一定守恒） 。2作業(yè)：交到作業(yè)：交到2-T112021/8/1431. 質(zhì)點的角動量質(zhì)點的角動量OrP L定義：定義：PrL角動量也叫角動量也叫12 smkg單位：單位：注意注意: :同一質(zhì)點對不同定點的角動量是不同的。同一質(zhì)點對不同定點的角動量是不同的。 動量矩。動量矩。(線線)動量動量Pmv 第第7節(jié)節(jié) 角動量定理角動量定理 角動量守恒定律角動量守恒定律 Angular Momentum Theorem & Principle of Conservation of Angular MomentumrmvL例如例如, 質(zhì)點作圓周運動時

3、對圓心的角動量的大小：質(zhì)點作圓周運動時對圓心的角動量的大小：2mr 32021/8/1442. 質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點的角動量定理ddM tL ddtotLoLM tL toLL 注意注意: :適用于慣性系，對非慣性系，需引入適用于慣性系，對非慣性系，需引入“慣性力慣性力”。dddd()LrPtt 對對 求時間的導(dǎo)數(shù)：求時間的導(dǎo)數(shù)：LddddrPPrtt 0沖量矩沖量矩LrP (微分形式微分形式)(積分形式積分形式)FrtLdd力矩：力矩：M r F rF0M 42021/8/1453. 質(zhì)點的角動量守恒定律質(zhì)點的角動量守恒定律若若0M則則0tLL LrP 或或恒恒矢矢量量角動量守恒定律角動量守

4、恒定律（2）0 FrM0 FFr/（1）是普遍規(guī)律）是普遍規(guī)律,宏觀、微觀均適用。宏觀、微觀均適用。（3）有心力：運動質(zhì)點所受的力總是通過一個固定點。）有心力：運動質(zhì)點所受的力總是通過一個固定點。力心力心FF/r 質(zhì)點對力心的角動量守恒。質(zhì)點對力心的角動量守恒。r（4）質(zhì)點對某點的角動量守恒）質(zhì)點對某點的角動量守恒, 對另一點不一定守恒對另一點不一定守恒.（5）角動量守恒）角動量守恒, 不見得動量守恒不見得動量守恒. 如如:勻速圓周運動勻速圓周運動.rF00ttMdtLL 注意注意: :52021/8/146角動量守恒定律的分量式：角動量守恒定律的分量式：角角動量守恒定律在直角動量守恒定律在直

5、角坐標系中的分量式可表示為：坐標系中的分量式可表示為：守恒時iiLM,0)(z ,y,xi 當總角當總角動量不守恒時，動量不守恒時，角角動量在某些動量在某些方向上的分量可以方向上的分量可以是守恒的。是守恒的。若若0M則則0tLL LrP 恒恒矢矢量量角動量守恒定律：角動量守恒定律：d00ttM tLL d00txxtxM tLL d00tyytyM tLL d00tzztzM tLL 62021/8/147有心力，有心力，守恒平行和外iiLrF,72021/8/148脈沖星脈沖星 周期性信號周期性信號盤狀星系盤狀星系宇宙中的孤立系統(tǒng)，宇宙中的孤立系統(tǒng)，守恒，外外iiiLMF, 0082021/

6、8/149“行星對太陽的位置矢量在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積行星對太陽的位置矢量在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積”例例1. 用角動量守恒定律推導(dǎo)行星運動開普勒第二定律：用角動量守恒定律推導(dǎo)行星運動開普勒第二定律：解：解：設(shè)在時間設(shè)在時間 t 內(nèi)，行星的矢徑掃過扇形面積內(nèi)，行星的矢徑掃過扇形面積 s vmrL恒矢量恒矢量 sin21rrSrr 21面積速度：面積速度：tSdtdst 0limtrrt 21lim0vrdtrdr 2121 vrdtdS21恒量恒量命題得證。命題得證。r r 太太陽陽行星行星S 92021/8/1410例例2. 在光滑的水平桌面上有一小孔在光滑的水平桌面上有一小孔O,一

7、細繩穿過一細繩穿過 小孔小孔, 其一端系一小球放在桌面上其一端系一小球放在桌面上,另一端用另一端用 手拉繩，開始時小球繞孔運動手拉繩，開始時小球繞孔運動, 速率為速率為v1, 半半 徑為徑為r1, 當半徑變?yōu)楫敯霃阶優(yōu)閞2時時, 求小球的速率求小球的速率v2.解：解：小球受力小球受力 2121LLLL 1122r mvr mv 1212rvvr 顯然顯然:12vv 2rf拉拉 有心力有心力f 拉拉O102021/8/1411L0o o例例3. 將一個質(zhì)點沿一個半徑為將一個質(zhì)點沿一個半徑為r的的光滑光滑半球形碗的內(nèi)面半球形碗的內(nèi)面水平水平地投地投射射, ,碗保持靜止。設(shè)碗保持靜止。設(shè)v0是質(zhì)點是

8、質(zhì)點恰好恰好能達到碗口所需要的初速度。能達到碗口所需要的初速度。試求出試求出v0作為作為 0的函數(shù)的表達式的函數(shù)的表達式. .mgNyx受力分析受力分析: :所以沿所以沿y y軸方向的力矩軸方向的力矩 My=0,解：解：故角動量在故角動量在y方向上的分量方向上的分量Ly守恒守恒: : L0y = Ly0 0mv r = mvr取球心取球心o為參考點為參考點, ,并設(shè)開始時并設(shè)開始時質(zhì)點在板面內(nèi)質(zhì)點在板面內(nèi), ,且速度垂直向外。且速度垂直向外。rF F垂直黑板向內(nèi)垂直黑板向內(nèi), ,故垂直于故垂直于y軸軸. .rL0= rmv0 sin90= rmv0L0y=L0sin 0 = rmv0 sin

9、0= mv0r0 ( (Ly = L) )0rr0ddLMt 則則:0GrNrGrFrMLy= rmvLyv112021/8/1412又，機械能守恒又，機械能守恒: :220011cos22mvmvmgr 00sinrr 002cosgrv 三式聯(lián)立解得：三式聯(lián)立解得：0 0mv r = mvrL0o or0rr0122021/8/1413例例4. 地球可看作是半徑地球可看作是半徑 R= 6400 km 的球體，一顆人造的球體，一顆人造 地球衛(wèi)星在地面上空地球衛(wèi)星在地面上空 h=800km 的圓形軌道上，以的圓形軌道上，以 v1=7.5 km/s 的速度繞地球運動。的速度繞地球運動。突然點燃一

10、火箭，其沖力使衛(wèi)星附加一個向外的徑突然點燃一火箭，其沖力使衛(wèi)星附加一個向外的徑向分速度向分速度 v2=0.2 km/s 使衛(wèi)星的軌道變成橢圓形。使衛(wèi)星的軌道變成橢圓形。求：此后衛(wèi)星軌道的最低點和最高點位于地面上空多高？求：此后衛(wèi)星軌道的最低點和最高點位于地面上空多高？解：解：分析分析故：衛(wèi)星在火箭點燃前故：衛(wèi)星在火箭點燃前 或后對地心的角動量或后對地心的角動量 始終不變，是守恒的。始終不變，是守恒的。h1v2vvrR？衛(wèi)星所受萬有引力衛(wèi)星所受萬有引力、 火箭反沖力均通過力心，火箭反沖力均通過力心，1132021/8/1414r v 1v2vvrR根據(jù)角動量守恒定律：根據(jù)角動量守恒定律：vmrv

11、vmr)(212/vr) 1 ( 1rvmrmv 衛(wèi)星進入橢圓軌道后，衛(wèi)星、地球衛(wèi)星進入橢圓軌道后，衛(wèi)星、地球系統(tǒng)只有萬有引力（保守內(nèi)力）作用，機械能守恒：系統(tǒng)只有萬有引力（保守內(nèi)力）作用，機械能守恒：)2(21)(2122221rMmGvmrMmGvvm)3(212rvmrMmG 對衛(wèi)星原來的圓運動有：對衛(wèi)星原來的圓運動有：遠地點高度遠地點高度kmRrh99711近地點高度近地點高度kmRrh61322聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：1vrvrr2 （r1 ）142021/8/1415例例5.兩人質(zhì)量相等兩人質(zhì)量相等,忽略滑輪質(zhì)量及輪繩之間摩擦忽略滑輪質(zhì)量及輪繩之間摩擦。一一人人握握繩繩不不動動一一人人

12、用用力力上上爬爬可能出現(xiàn)的情況是可能出現(xiàn)的情況是:(1) 兩人同時到達；兩人同時到達；(2) 用力上爬者先到；用力上爬者先到；(3)握繩不動者先到；握繩不動者先到；(4)以上結(jié)果都不對。以上結(jié)果都不對。同高從靜態(tài)開始往上爬同高從靜態(tài)開始往上爬m(xù)m 12系統(tǒng)受合外力矩為零，系統(tǒng)受合外力矩為零， 角動量守恒角動量守恒。系統(tǒng)的初態(tài)系統(tǒng)的初態(tài)角動量角動量系統(tǒng)的末態(tài)系統(tǒng)的末態(tài)角動量角動量=終點線終點線mv R mv R 2 21 10vv 21兩人等速上升。兩人等速上升。152021/8/14164. 質(zhì)點系的角動量定理和角動量守恒定律質(zhì)點系的角動量定理和角動量守恒定律 質(zhì)點系的角動量質(zhì)點系的角動量:

13、: 質(zhì)點系中的各個質(zhì)點對質(zhì)點系中的各個質(zhì)點對給定參考點給定參考點的角動量的的角動量的矢量和，稱為質(zhì)點系對該矢量和，稱為質(zhì)點系對該給定參考點給定參考點的角動量。的角動量。 tLdd=0 iiiFr合合內(nèi)內(nèi)外外合合iiifFF ）內(nèi)內(nèi)外外iiiiifrFrtL (dd i iiipr iL LtLMiidd iiiiitprptrdddd162021/8/1417質(zhì)點系中的各個質(zhì)點相對于質(zhì)點系中的各個質(zhì)點相對于給定參考點給定參考點的外力力矩的外力力矩的矢量和的矢量和, 稱為質(zhì)點系對該稱為質(zhì)點系對該給定參考點給定參考點的合外力矩。的合外力矩。 ij）內(nèi)內(nèi)外外iiiiifrFrtL (ddoirjrj

14、ifijfijjjiifrfr jijifrr )(0 外外iiiFrtL ddM：質(zhì)點系的合外力矩：質(zhì)點系的合外力矩MtL dd質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理172021/8/1418質(zhì)點系對質(zhì)點系對慣性系慣性系中某中某給定參考點給定參考點的角動量的角動量的時間變化率的時間變化率, 等于作用在該質(zhì)點系上所有外力對等于作用在該質(zhì)點系上所有外力對同一參考點同一參考點的總力矩。的總力矩。質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理iiiiiprLL iiiFrM ddLMt ddLM t 因此因此, 當質(zhì)點系相對于某一當質(zhì)點系相對于某一給定參考點給定參考點的合外力矩的合外力矩為零時為零時, 該質(zhì)點系

15、相對于該質(zhì)點系相對于該給定參考點該給定參考點的角動量不的角動量不隨時間變化。隨時間變化。質(zhì)點系的角動量守恒定律質(zhì)點系的角動量守恒定律0 xMconstLx 不一定守恒不一定守恒L182021/8/1419動量動量角動量角動量 力力力矩力矩vmp FprL FrM tpFdd tLMdd 質(zhì)點：質(zhì)點：質(zhì)點系：質(zhì)點系：tpFdd iiFF外外 iivmptLMdd iiiiiprLL iiiFrM 192021/8/14201）功）功rFA 變力的功：變力的功：恒力的功恒力的功:rd rr ar F） abbFo 變力變力 將質(zhì)點由將質(zhì)點由 a點點 移動到移動到 b點點FrFAdd 在線元在線元

16、上力上力 對質(zhì)點所作的元功為對質(zhì)點所作的元功為:rdF所作的總功所作的總功: baabrFAdbaFdr cos？ 一般力對質(zhì)點所作的功，不僅與始、末位置有關(guān)，一般力對質(zhì)點所作的功，不僅與始、末位置有關(guān)，而且與路徑有關(guān)。而且與路徑有關(guān)。 cos| rF cos|bardFdsFba cos第第8節(jié)節(jié) 功功 功率功率 202021/8/14212）功率）功率力在單位時間內(nèi)所作的功，稱為功率。力在單位時間內(nèi)所作的功，稱為功率。平均功率平均功率 瞬時功率瞬時功率 tAPtAtAPtddlim0trFPddFFcosvv 212021/8/1422例例6 6、如圖所示如圖所示, ,一匹馬以平行于圓弧形

17、路面的拉力一匹馬以平行于圓弧形路面的拉力 拉著質(zhì)量為拉著質(zhì)量為m的車沿半徑為的車沿半徑為R的圓弧形路面極的圓弧形路面極 緩慢地勻速緩慢地勻速移動移動, ,車與路面的滑動摩擦系數(shù)為車與路面的滑動摩擦系數(shù)為 ， 求求: :車由底端車由底端A被拉上頂端被拉上頂端B時時, ,各力對車所做的功。各力對車所做的功。解解: :車受車受4個力的作用個力的作用拉力拉力F、摩擦力、摩擦力f，沿切向，沿切向路面支持力路面支持力N 指向圓心指向圓心O重力重力mg 豎直向下豎直向下在切向與法向有在切向與法向有:sin0Ffmg Nf 而而 cossinFmg cos0Nmg 拉力的功拉力的功:dBFAAF S3122m

18、gR d600( cossin )mgR RORAB o60mgfNF222021/8/1423重力的功重力的功d600singAmgR d()600cosmgR /2mgR 摩擦力的功摩擦力的功d0SfAf Sd600cosmgR mgR23 路面支持力路面支持力N的功為零的功為零.RORAB o60232021/8/1424作業(yè)：作業(yè)： 交到交到 -2T11242021/8/1425例例7.在光滑的水平桌面上在光滑的水平桌面上, 固定著如圖所示的半圓固定著如圖所示的半圓 形屏障形屏障,質(zhì)量為質(zhì)量為m 的滑塊以初速的滑塊以初速 v1 沿屏障一端沿屏障一端 的切線方向進入屏障內(nèi)的切線方向進入屏障內(nèi), 滑塊與屏障間的摩擦滑塊與屏障間的摩擦 系數(shù)為系數(shù)為 。求：當滑塊從屏障另一端滑出時，求：當滑塊從屏障另一端滑出時， 摩擦力對它所作的功。摩擦力對它所作的功。1vvfN俯視圖俯視圖解：解：建立自然坐標系建立自然坐標系運動方程運動方程法向法向nmaN maf 分析：分析：受力：受力：Nf , n2vmRddvmtN 切向切向?2 v變力作功變