1、多練岀技巧巧思岀碩果課時作業(十三)學業水平層次一、選擇題1. 已知點P(6, y)在拋物線y2= 2px(p>0)上，若點P到拋物線焦點F的距離等于8,則焦點F到拋物線準線的距離等于()A. 2 B. 1 C. 4 D. 8【解析】拋物線y2= 2px(p>0)的準線為x= 2，因為P(6, y)為拋物線上的點，所以點 P到焦點F的距離等于它到準線的距離，所以6 + p= 8,所以p= 4,即焦點F到拋物線的距離等于4,故選C.【答案】C2. (2014成都高二檢測)拋物線y2 = 4x的焦點為F，點P為拋物線上的動點，點M為其準線上的動點，當 FPM為等邊三角形時， 其面積為(

2、)A. 2 3 B. 4 C. 6 D. 4 3【解析】據題意知，AFPM為等邊三角形，|PF|=|PM| = |FM|，PM丄拋物線的準線.設P冒，mj,貝S M( 1，m)，等邊三角形邊長為 1 + m，又由 F(1,0), |PM|= |FM|,得 1 + m 1 + 1 2+ m2, 得 m=2 3,A等邊三角形的邊長為4,其面積為4,3，故選D.【答案】 D3. 已知拋物線y = 2px(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋 物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為()A . x= 1B. x= 1C. x= 2D. x= 2【解析】設Ag ,

3、yd , B(X2, y2)，代入拋物線方程得y1= 2px1,J1y2= 2px2,得，(yi + y2)(yi y2) = 2p(xi X2).yi y2 2p p又yi + y2 = 4,.= 4 = 2= k= 1，- p= 2.Xi X242.所求拋物線的準線方程為x= 1.【答案】 B4. (2014課標H )設F為拋物線C: y2= 3x的焦點，過F且傾斜 角為30°的直線交C于A, B兩點，則|AB|=()30A飛 B. 6 C. 12 D.【解析】焦點F的坐標為4 0 j,直線AB的斜率為誓，所以直線AB的方程為y= 3即詩，代入y2= 3x,得 3x2*+16=0

4、,21設 A(xi, yi), B(X2, y2),貝S xi + X2=y,3 213所以 |AB| = Xi +X2 + 2= 2 + 2= 12,故選 C.【答案】C二、填空題5 .拋物線y2 = x上到其準線和頂點距離相等的點的坐標為【解析】 設拋物線上點的坐標為(x, 士, x)，此點到準線的距離 為x+1至U頂點的距離為"樣2+ »x 2，由題意有X+. x2 + I x 2, *x=8，y=呼，二此點坐標為£, 士2)6. (2014臨沂高二檢測)直線y= kx+ 2與拋物線y2= 8x有且只有 一個公共點，則k=.【解析】當k= 0時，直線與拋物線

5、有唯一交點，當kz 0時，聯立方程消 y得 k2x2 + 4(k 2)x+4 = 0,由題意 A= 16(k 2)2 16k2 =0,/k= 1.【答案】 0或17. (2014湖南)平面上一機器人在行進中始終保持與點 F(1,0)的 距離和到直線x=- 1的距離相等.若機器人接觸不到過點 P( - 1,0) 且斜率為k的直線，則k的取值范圍是.【解析】設機器人為A(x, y)，依題意得點A在以F(1,0)為焦點，x=- 1為準線的拋物線上，該拋物線的標準方程為y2 = 4x.過點P(- 1,0)，斜率為k的直線為y= k(x + 1).y2= 4x,由得 ky2- 4y+ 4k= 0.y=

6、kx+ k,當k= 0時，顯然不符合題意；當 kz0 時，依題意得 = (-4)2- 4k 4k<0,化簡得k2-1>0,解得k>1或k<-1,因此k的取值范圍為(-,1)L(1, +乂).【答案】(一汽一1)U (1，+*)三、解答題8. 若拋物線的頂點在原點，開口向上，F為焦點，M為準線與 y軸的交點，A為拋物線上一點，且|AM|= 17, |AF| = 3,求此拋物 線的標準方程.【解】設所求拋物線的標準方程為x2 = 2py(p>0),設 A(x°, y°)，由題知 M；0, p)AF| = 3,.y ° + 2= 3，|AM

7、|= 17,X0 + yo+ 2 f = 17,*Xo= 8, 代入方程x0= 2pyo得，p 18= 2p 3-o J,解得 p= 2或 p= 4.二所求拋物線的標準方程為x2 = 4y或x2= 8y.9. 已知直線I經過拋物線y2= 6x的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點.(1)若直線I的傾斜角為60°求|AB|的值;若|AB|= 9,求線段AB的中點M到準線的距離.【解】（1）因為直線I的傾斜角為60°所以其斜率k= tan 60 =3. 又F 2, 0所以直線l的方程為y=書號y2 = 6x，9聯立 3消去y得x2 5x+4= 0.y=也y - 2 j,設 A（X

8、1, y）, B（X2, y2）,則禺 + X2= 5,而 |AB|= |AF | + |BF| = X1 + 號+ X2+ 2= + X2 + p,所以 |AB|= 5+ 3 = 8.設A(xi, yi), B(x, y2),由拋物線定義知|AB|=|AF| + |BF|= Xi +X2+ p= X1 + X2+3,所以 Xi + X2 = 6,于是線段AB的中點M的橫坐標是3.339又準線方程是x= 2，所以M到準線的距離為3 + 3=能力提升層次1. (2014湖南省長沙一中期中考試)已知拋物線X2 = 2py(p>0)的焦點為F，過F作傾斜角為3°°勺直線與拋

9、物線交于AB兩點，若器 (0,1),則雷=()1 1 1A5 B4 C.3【解析】因為拋物線的焦點為F；0, 2故過點F且傾斜角為30°勺直線的方程為=3+ p,與拋物線方程聯立得x2233PX P2=0,解方程得 Xa= fp, Xb= . 3p,所以潛F| = |XA| = 1，故選 C.【答案】C2. (2013大綱卷)已知拋物線C: y2 = 8x與點M( 2,2),過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點，若mAmB = 0,則k=()A.2 B. C. 2 D. 2【解析】由題意可知拋物線的焦點坐標為(2,0),則過焦點且斜率為k的直線的方程為y= k(x 2),與拋

10、物線方程聯立，消去y化簡得 k2x2 (4k2 + 8)x + 4k2 = 0,設點 A(xi, yi), B(x, y2)，則 xi + X2 = 48+ k2,X1X2 = 4,所以y1 + y2= k(x1 + x2) 4k=y1y2=X1X2 2(x1 +X2)+ 4 = 16，因為 MA MB= 0,所以(Xi + 2)(X2 + 2)+ (yi 2) 2)=0(*)，將上面各個量代入(*)，化簡得k2 4k+ 4 = 0,所以k= 2,故選D.【答案】 DX2 y23. 拋物線x2= 2py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線§ 3 = 1 相交于A, B兩點，若 ABF為等邊三角形，則p=.f Ppy_ 2,【解析】 由于x2 = 2py(p>0)的準線為y= 2,由lx2-y2= 3,解得準線與雙曲線x2 y2 = 3的交點為A 、3 + 4p2， 2 , B .寸3 + 4p2，號 | ,所以 AB = 2 3 + ；p2.J3由MBF為等邊三角形，得-2"AB= p,解得p= 6.【答案】64. 已知拋物線x= y2與過點(1,0)且斜率為k的直線相交于A, B兩點，O為坐標原點，當 OAB的面積等于10時，求k的值.【解】過點( 1,0)且斜率為k的直線方程為y= k(x +1),消去X,整