1、平面解析幾何初步一、直線的概念與方程1直線的傾斜角：在直角坐標系中， 對于一條與x軸相交的直線I，把x軸(正 方向)按方向繞著交點旋轉到 所成的角，叫做直線I的傾斜角。當直線I和x軸平行時，它的傾斜角為0°.傾斜角通常用a表示，傾斜角a的范圍是 0 _ :- : 1802. 直線的斜率：傾斜角的-值叫做直線的斜率。通常用字母k來表示，即 k =.當k =時，直線平行于x軸或者與x軸重合；當k_0時,直線的傾斜角為銳角 當k< 0時，直線的傾斜角為 ;當傾斜角a =90時，直線的斜率 .3. 直線的斜率公式：直線上兩點A( Xi, yJ,B( X2, y2),當Xi = X2時,

2、直線的斜率,當Xi = X2時,直線的斜率為 k =tan> =也冷_Xi4. 直線方程的五種表達形式及適用條件名稱方程說明適用條件斜截式y=kx+bk斜率 b 縱截距傾斜角為90°的直 線不能用此式點斜式y-y0= k(x-X0)(X0 , y0)直線上已知點，k 4率傾斜角為90°的直 線不能用此式兩點式y% x為丫2一力X2 為(x1, y1), (x2, y2)是直線上兩個已知點與兩坐標軸平行 的直線不能用此 式截距式x y + =1 a ba直線的橫截距 b直線的縱截距過(0, 0)及與兩 坐標軸平行的直 線不能用此式一般式Ax +By +C =0(a2+b

3、2A、B不能同時為零5.幾種特殊的直線方程(1) 過點 P(a,b)垂直于x軸的直線的方程為： 過點 P(a,b)垂直于 y軸的直線的方程為 (2) 已知直線的縱截距為 b，可設其方程為： (3)過原點且斜率為 k的直線的方程為 6 兩條直線的位置關系：(1) 直線平行的條件：兩條不重合的直線h、12，根據兩條直線平行的定義及性質可知I1/I2U1八2,再由k與的關系可知：11丨2時或者«、k2均；反之k1 k2或者«、k2均不存在時兩條直線平行。注：考查兩條直線平行時，應首先考慮斜率是否存在。(2 )直線垂直的條件：兩條直線|12的傾斜角為：12則兩條直線h 丨2= I

4、2 I 90.根據兩條直線的斜率判斷兩條直線垂直的情況分為兩類，一是：其中一條直線的斜率不存在 ，另一條直線的斜率為 ;二是:兩條直線的斜率都存在，且乘積為.(3)方程直線 h:y = &X + 0 , 直線 l2: y = k2x + b2 ,直線 h ： Ax + B# + 0 = 0 直線 l2 ： A2x+B2y+C2 = 0,關系重合=k2 且 6 =b2A1 B2 A2 B1= 01B1C2 B2C1 = 0平行k k2 ,b1 b2<尿2一"=0 或；'AB-AZO1B1C2 B2C1 式 01A1C2 A2C+ 0垂直= 1A1A2 + B B2

5、 = 0相交k1 Hk2A1B2 A207.直線的交角：直線11到12的角(方向角)；直線11至 方向旋轉到與 12重合時所轉動的角 tk2-k1ta n廿一1"應兩條相交直線丨1與丨2的夾角：兩條相交 交所成的四個角中最小的正角 日，又稱為0,，當日云90，則有tan日一,< 21+2Jl2的角，是指直線I1繞交點依逆時針 )，它的范圍是(0,兀)，當B式90時直線丨1與I2的夾角，是指由I1與丨2相 勺I1和丨2所成的角，它的取值范圍是8.距離公式(1)兩點間的距離公式：平面內任意兩點R (xi, yi), P2(x2, y2)之間的距離為 P1P2 = V(X2 -Xi

6、f +(y2 -yi f(2)圓的一般方程:當 D2 E2-4F 022x y Dx Ey F = 0 .時，方程表示一個圓，其中圓心C衛2冷，半徑(2) 點到直線的距離公式：設點P(x0,yo)，直線I ： Ax By C = 0, P到IAx 0 By 0 C的距離為d，則有d =_.I .加;A2+B2(3) 兩條平行線間的距離公式：設兩條平行直線I 1： Ax By C i=0,C i -C 2I2： Ax - By C0(C<<2)，它們之間的距離為 d，則有d 一 .空 a2+b29直線系在點斜式方程y-y°=k(x-x0)中， 當(X。，y°)確定

7、，k變化時，該方程表示過定點(X。，y°)的旋轉直線系， 當k確定，(X。，y。)變化時，該方程表示平行直線系Jd2*E2 Fr :2D E II 2, 2/ 當D2 E2-4F :：: 0時，方程無圖形(稱虛圓)."x = a + r cos,厶、仏(日為參數).=b + r sin。當D2E2-4F =0時，方程表示一個點(3)圓的參數方程:已知直線I: Ax By C = 0則方程Ax By " 0(工：二0),入是參變量，表示與I平行的直線系; 方程Bx - Ay =0,入是參變量，表示與I垂直的直線系。I i:Ai x +Bi y +Ct = 0過兩直線

8、丿i i " i的交點的直線系方程為12：A2x +B2y *C2 = 0Aix Biy G (A2x B2y C2) = 0('為參數，A2x B2y C2 = 0不包 括在內)二、圓的方程(4)圓的直徑式方程：(x-xJd-x?) (y-yd(y- y2) = 0,其中A(xi, yi) , B(X2,y2)是圓的一條直徑的兩個端點.(用向量可推導)2用待定系數法求圓的方程:(1) 根據提議，選擇標準方程或一般方程；(2) 根據條件列出關于 a、b、r或D、E、F的方程組；(3) 解出a、b、r或D、E、F,代入標準方程或一般方程。三、點、線、圓的位置關系 i點和圓的位置

9、關系：給定點 M在圓C內二 M在圓C上二 M在圓C外:二 2直線與圓的位置關系M(X0,y°)及圓 C :(x a)2 (y b)2=r2 . (X0_a)2 (y 0 _b)2 r2 (x°a)2 (y0-b)2 二r2222(X0_a)(y0_b) 一ri圓的方程的幾種表達形式(i) 圓的標準方程：(xa)2，(y-b)2二r2，其中點C(a, b)為圓心，r為半徑.特例：圓心在坐標原點，半徑為r的圓的方程是:x2 y 2 =r 2注：特殊圓的方程： 與x軸相切的圓方程(x-a)2，(y _b)2中2r二b,圓心(a,b)或(a,-b) 與y軸相切的圓方程(x - a)

10、2(y -b)2二a2 r =a,圓心(a,b)或(-a,b)代數法：直線 I : Ax By 0(A2 - B2= 0)，圓 C : x2 y2 Dx Ey 0 聯 立得方程組Ax By C = 0消元22> 一元二次萬程x y Dx Ey F = 0相切! - 0=相交 , -b<4ac 二 ° =I A <0U相離與x軸y軸都相切的圓方程(x二a)2 ( y二a)2二a2r = a,圓心(_a,_a)(2)幾何法：設圓 C : (x-a)2 (y-b)2=r2(r -0);直線 I : Ax By0 ;圓心C(a,b)到直線l的距離d =Aa Bb Cr A2

11、 B2注：若圓C的半徑為R ,AB是長度為L的弦,3直線與圓相切的問題(1).求過圓上的一點(Xo,y。)圓的切線方程d c r 二弦心距為d，則_相離相切相交:先求切點與圓心連線的斜率k ,一 一 1則由垂直關系，切線斜率為，由點斜式方程可求得切線方程；k(2) .求過圓外一點(Xo,y。)圓的切線方程： (幾何方法)設切線方程為y - y0 = k(x -x0)即kx-y -kx0 y 0撚后由 圓心到直線的距離等于半徑，可求得k ,切線方程即可求出. (代數方法)設切線方程為y - y0 = k(x -x0),即y = kx -kx0 y0代入圓方程得一個關于x的一元二次方程，由0,求得

12、k,切線方程即可求出注：以上方法只能求存在斜率的切線，斜率不存在的切線，可結合圖形求得2 2 2 2過圓x y r上一點P(x0,y°)的切線方程為xx0 yy r .4圓和圓的位置關系：(1)設兩圓圓心分別為 。1、。2,半徑分別為1, ", O-|O2為圓心距，則兩 圓位置關系如下：A* +r22U兩圓外離； O1O2二兩圓外切； ImIVQ1O2 v1二 兩圓相交； OjOzI =| A -r2 |二兩圓內切； OQ2I <| A r2 |二兩圓內含。(2) 設兩圓 C1 :x2 y2 D1x E1y F0,22C2: x y D2x E2y F 0，若兩圓相交

13、，則其公共弦方程為(D1 D2)x (E1-E2)y (F1-F2) =02 2 2 2(3) 過兩圓C1:xyD1xE1yF0,C2: xyD2xE2yF2= 0的交點的圓系方程為： (不包含圓 C2)四、空間直角坐標系1. 空間直角坐標系：(1) 如圖，OBCD-DABC'是單位正方體.以A為原點，&分別以 OD,OA,OB的方向為正方向，建立三 條數軸丿二_ D,x軸.y軸.z軸。這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz. 兒1) A叫做坐標原點 2 ) x軸，y軸，z軸叫做坐標軸. 丿d 3)過每兩個坐標軸的平面叫做坐標面。/(2) .右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向為x軸正方向，食指指向為 y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。(3) .有序實數組1 )空間一點 M的坐標可以用有序實數組(x,y,z)來表示，有序實數組(x,y,z)叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x,y,z)(x叫做點m的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標)。(4) 點P(a,b,c)關于x軸的對稱點的坐標為 點P(a,b,c)關于y軸的對稱點的坐標為 點P(a,b