1、會計學1連續函數的運算法則連續函數的運算法則定理定理2. 連續單調遞增 函數的反函數xx cot,tan在其定義域內連續定理定理1. 在某點連續的有限個函數經有限次和 , 差 , 積 ,( 利用極限的四則運算法則證明)連續xx cos,sin商(分母不為 0) 運算,結果仍是一個在該點連續的函數 .例如例如,例如例如,xysin在,22上連續單調遞增，其反函數xyarcsin(遞減).(證明略)在 1 , 1 上也連續單調遞增.遞增(遞減)也連續單調機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第1頁/共14頁xey 在),(上連續 單調 遞增,其反函數xyln在),0(上也連續單調遞增.證證: 設函數

2、)(xu,0連續在點 x.)(00ux,)(0連續連續在點在點函數函數uufy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復合函數)(xf.0連續在點 x又如又如, 且即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第2頁/共14頁xy1sin是由連續函數鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上連續 .復合而成 ,xyoxy1sin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第3頁/共14頁設)()(xgxf與均在,ba上連續,證明函數)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上連續.證證:21)(x)()(xgxf)()(

3、xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據連續函數運算法則 ,可知)(, )(xx也在,ba上連續 .)(, )(min)(xgxfx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第4頁/共14頁基本初等函數在定義區間內連續連續函數經四則運算仍連續連續函數的復合函數連續一切初等函數在定義區間內連續例如例如,21xy的連續區間為1, 1(端點為單側連續)xysinln的連續區間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域為Znnx,2因此它無連續點而機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第5頁/共14頁.)1 (loglim0 xxax解解:原式xxax1)1 (loglim0ealo

4、galn1例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 當, ea 時, 有0 x)1ln(x1xexx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第6頁/共14頁20cos12lim.1xxxe 解解: :所以運用等價無窮小的代換所以運用等價無窮小的代換, , 有有20cos12 lim1xxxe 220()22 limxxx 2201 lim()8xxx18 例例4. 求求0, x 因為當時222cos1 ()2, 122xxxex 第7頁/共14頁1,41,)(xxxxx,1,21,)(2xxxxxf解解:討

5、論復合函數)(xf的連續性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時連續;而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1為第一類間斷點 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數時xfx在點 x = 1 不連續 , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第8頁/共14頁023lim( ),lim( ),lim( ).xxxf xf xf x 例例6. 求函數求函數32233( )6xxxf xxx 的連續區間的連續區間, 并求并求2(3)(1)(3)(2)xxxx2132xxx 32233( )6xxxf xxx因為(, 3)(

6、3,2)(2,) 所以函數所以函數f (x) 的連續區間為的連續區間為解解:第9頁/共14頁3220033lim( )lim6xxxxxf xxx 而而 3222233lim( )lim6xxxxxf xxx 3223333lim( )lim6xxxxxf xxx 23(3)(1)lim(3)(2)xxxxx 2318lim25xxx 12 第10頁/共14頁limlnln(2).nnnn limln2nnnn 2limln(1)2nnn 2lim ln(1)2nnn 2lnlim(1)2nnn 解解: limlnln(2)nnnn 2lim2lnnnne 2ln2e 例例7. 求求第11頁/共14頁基本初等函數在定義區間內在定義區間內連續連續函數的四則運算四則運算的結果連續連續函數的反函數反函數連續連續函數的復合函數復合函數連續初等函數在定義區間內連續說明說明: 分段函數在界點處是否連續需討論其 左、右連續性.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業作業P69 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 5第12頁/共14頁,)(0連續在點若xxf是否連在問02)(, )(xxf