1、精品文檔外接球問題處理一一老師專用1已知如圖所示的三棱錐一 -的四個頂點均在球，的球面上，*和;所在的平面互相垂直，£=#，' :，寸_C則球的表面積為（）A一.B”CD解析：如圖所示， 羅；"；.于號.孚， i I ；為直角，即過.1；（的小圓面的圓心為的中點，.；'；（和所在的平面互相垂直，則圓心在過.；的 圓面上，即/ ；的外接圓為球的大圓，由等邊三角形的重心和外心重合易得球半徑?球的表面積為、一打I 11 ,故選，.2、 設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）A 'B.C. -，D. '33

2、設球心為，設正三棱柱上底面為，綴？，中心為i ',因為三棱柱所有棱的長都為- ,則 可知 oof =善=空口 ，又由球的相關性質可知，球的半徑23I'，所以球的表面積為，故選 633、 已知；是球f 的球面上兩點，厶；QE -亞r,，為該球面上的動點，若三棱錐二:丄匚二體積的最大值為;i，則球，的表面積為（）A J ,B，C.-D.解析如圖所示，當點位于垂直于面；：的直徑端點時，三棱錐 廠一責:朮:的體積最大，設球的半徑為此時；一；一；一.7 小：故滬t則球的表面積為- |山,故選f 18歡迎下載4、如圖是某幾何體的三視圖，正視圖是等邊三角形，側視圖和俯視圖為直角三角形，則該幾

3、何體外接球的表面積為（）C.'.19?rD. :.2077A. 解析該幾何體為三棱錐' .1 / ,設球心為，LiW.分別為丄；：！和一 ./ /的外心，XFII、懐、易求得八,322球的半徑；'=:;-淚=打.:該幾何體外接球的表面積為.1- :' 13D5、已知；都在半徑為一的球面上，且； ,!，球心到平面|；.的距離為1點.J是線段/ 的中點，過點作球（丿的截面，則截面面積的最小值為（）A V 衍B.3ttc. *；.D. 解析 V7, 圓心在平面的射影為的中點/ , I遼.，./ j.一：匚丁 -山當線段I為截面圓的直徑時，面積最小,截面面積的最小值為預

4、.6、四棱錐:啲所有頂點都在同一個球面上,底面' '':是正方形且和球心（ 在同一平面內，當此四棱錐的體積取得最大值時，它的表面積等于.則球，的體積 等于（）4辺 A.c 160.32辺 3打解析由題意可知四棱錐 X _的所有頂點都在同一個球面上，底面是正方形且和球心在同一平面內，當體積最大時，可以判定該棱錐為正四棱錐，底面在球大圓上，可得知底面正方形的對角線長度為球的直徑，且四棱錐的高f半徑，進而可知此四棱錐的四個側面均是邊長為 （/的正三角形，底面為邊長為的正方形，所以該四棱錐的表面積為2R2 十 4（,並 R - V2R sin 60°） = （2 +

5、2 誦）臚=4 + 43£-，j ,于是,' ，進而球f，的體積V = = TT X 2/2 =父"1" 故選 B3337、 一個三條側棱兩兩互相垂直并且側棱長都為的三棱錐的四個頂點全部在同一個球面上，則該球的表面積為（）A. ' ： -B.C.,D.".23解析由題可知該三棱錐為一個棱長啲正方體的一角，則該三棱錐與該正方體有相同的外接球，又正方體的對角線長為 .：；，則球半徑為，則i"2 2 '故選-.8、 一個棱長都為 的直三棱柱的六個頂點全部在同一個球面上，則該球的表面積為（）入解析B.話/C.J14 D.3如圖：

6、設 j、（ i為棱柱兩底面的中心，球心1To汽打：、,汀，ll_，E3所以亠廠-為 -I的中點又直三棱柱的棱長為可知12因此該直三棱柱外接球的表面積為-., .'；|12A.；IGtt647TD.39、一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是正三角形，則幾何體的外接球的表面積為解析此幾何體是三棱錐P- ABC，底面是斜邊長為 以的等腰直角三角形 ACB，且頂點在底面內的射影/是底面直角三角形斜邊的中點.易知，三棱錐廠 i ；的外接球的球心 在廠：上.設球的半徑為 匚則鳥沙/住，：；一：解得：心一;-,外接球的表面積為答案：D10. 已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16

7、，則這個球的表面積是（）A. 16 nB. 20 nC. 24 nD. 32 n【答案】C2 2 2 2 2【解析】V=ah=16 , a=2 , 4R =a +a + h =4 + 4+16 = 24 , S=24n,故選 C.11.若三棱錐的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為.3，則其外接球的表面積是.【答案】9n【解析】4R2 =3 3 3 =9 , S=：4 tR2 =9 n.12.已知三棱錐P_ABC的四個頂點均在同一個球面上，底面 ABC滿足BA二BC二.6 , . ABC = n，若該三棱錐體積的最大值為23,則其外接球的體積為（）A.8 nB. 16 n【答案】D【解析】因為 AB

8、C是等腰直角三角形，所以外接球的半徑是1 r12 = 3，設外接球2的半徑是R，球心0到該底面的距離d，如圖，則ABCVABch J 6h =3 ,36最大體積對應的高為SD=h =3，故 Rd23，即 R2 = 3 R 2 3，解之得 R = 2 ,所以外接球的體積是沁，故答案為D.313.棱長分別為2、5的長方體的外接球的表面積為（）A. 4 nB.12nC. 24 nD. 48 n【答案】B2c22o【解析】設長方體的外接球半徑為 R ,由題意可知：2R =.223 5 ，則：R2 =3 ,該長方體的外接球的表面積為 S=4 tR2 =4n 3=12n 本題選擇B選項.14設三棱柱的側棱

9、垂直于底面，所有棱的長都為2.3，頂點都在一個球面上，則該球的 表面積為（）A. 12 nB. 28 nC. 44 nD. 60 n【答案】B【解析】設底面三角形的外接圓半徑為r，由正弦定理可得：2r，則= 2 ,sin 60°設外接球半徑為 R，結合三棱柱的特征可知外接球半徑R23 $ 22 =7 , 外接球的表面積 S =4 n2 =28 n .本題選擇B選項.15.把邊長為3的正方形ABCD沿對角線AC對折，使得平面 ABC _平面ADC，則三棱錐D - ABC的外接球的表面積為（）A. 32nB. 27 nC. 18nD. 9n【答案】C【解析】把邊長為 3的正方形ABCD沿

10、對角線AC對折，使得平面 ABC_平面ADC ,則三棱錐D - ABC的外接球直徑為 AC =3.2，外接球的表面積為 4 n2 =18n，故選C.16.某幾何體是由兩個同底面的三棱錐組成,其三視圖如下圖所示,則該幾何體外接球的面積為（）A. a2 n【答案】C2 2B. 2a nC. 3a nD. 4a2 n【解析】由題可知，該幾何體是由同底面不同棱的兩個三棱錐構成,其中底面是棱長為 2a的正三角形，一個是三條側棱兩兩垂直,且側棱長為a的正三棱錐,另一個是棱長為-2a的正四面體，如圖所示:該幾何體的外接球與棱長為的正方體的外接球相同，因此外接球的直徑即為正方體的體對角線，所以2R二a2 a2

11、 a2二3a= R 3a，所以該幾何體外接球面積2S = 4 nR =4 n漢a ： =3a? n，故選 C. I2丿AB _ 平面 BCD , BC 二 BD = 2 ,17.三棱錐A-BCD的所有頂點都在球 0的表面上,AB =2CD =4.3，則球0的表面積為（）A. 16 nB. 32 nC. 60 nD. 64 n【答案】D【解析】因為BC=BD=2,CD =2.3，所以 cosECBD =22 +22 (2x/3 JCBD 吟，因此三角形BCD外接圓半徑為lCD2 sin. CBD=2 ,設外接球半徑為 R，則R2=22 +B=4 12 =16 , S=4 庶=64 n，故選 D.

12、218如圖ABCD - ABjGDj是邊長為1的正方體，S-ABCD是高為1的正四棱錐，若點 S ,A , B1 , C1 , D1在同一個球面上，則該球的表面積為（）A.9n16B.25 n1616D.81n16【答案】D【解析】如圖所示，連結 AG , B1D1，交點為M，連結SM ,易知球心0在直線SM上，設球的半徑 R=OS=x，在Rt OMBi中，由勾股定理有:OMB1M =B1O ，即:2（2一x）十=x2，解得：x =?，則該球的表面積8S* 長=4 n 9 2 衛（8 丿 16n .本題選擇D選項.19.已知球O的半徑為R , A , B , C三點在球O的球面上，球心O到平面

13、ABC的距離1為R , AB =AC =2 , ZBAC =120，則球O的表面積為（） 2A 16A.n9B.16n3C. 64 n9D.色n3【答案】D【解析】由余弦定理得:BC=.4 4 2 2 2cos120 =2.3 ,設三角ABC外接圓半徑為又R2 =R24，解得:4R2由正弦定理可得：二 2r，則rsin 120°16，則球的表面積S=4 tR64 n.本題選擇D選項.33=2 ,20.已知正四棱錐P-ABCD（底面四邊形ABCD是正方形，頂點在底面的射影是底面的中心）的各頂點都在同一球面上，底面正方形的邊長為10 ,若該正四棱錐的體積為 50，則此3球的體積為（）A.

14、 18 nB. 8 6C. 36 nD. 32 3 n【答案】C【解析】如圖，設正方形 ABCD的中點為E，正四棱錐P_ABCD的外接球心為 0 ,t底面正方形的邊長為10，EAh：5，丁 正四棱錐的體積為 50，二 Vpabcd=-Ii0PE=50，33 *'3則 PE =5，. 0E = 5 - R，24在 AOE中由勾股定理可得： 5 R j亠5 = R2，解得R = 3 , . V球 泯3 = 36 n,故選C.21 .如圖，在 AABC 中，AB 二 BC = . 6 , ABC =90，點 D 為 AC 的中點，將 AABD 沿 BD折起到APBD的位置，使PC =PD，連

15、接PC，得到三棱錐P-BCD .若該三棱錐的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積是（）A. 7 nB. 5 nC. 3 nD. n【答案】A【解析】由題意得該三棱錐的面 PCD是邊長為3的正三角形，且 BD_平面PCD , 設三棱錐P-BDC外接球的球心為 O , PCD外接圓的圓心為 01，則00面PCD ,四邊形OOjDB為直角梯形，由 BD ="3 , 0-D =1，及 OB=OD，得 0B 7，外接球半徑為 R=- ,2 2該球的表面積 S =4 kR2 = 4 n 7 = 7 n.故選A.422.四面體 A-BCD 中，.ABC - ABD - CBD =60 , AB

16、=3, CB = DB=2，則此四面 體外接球的表面積為（）A.19n2B 1938 nC. 17n24D 17 17 n6【答案】A【解析】由題意， BCD中，CB =DB =2 , . CBD=60，可知 BCD是等邊三角形， BF , BCD 的外接圓半徑 r3 =BE， FE 3，33 . ABC = . ABD =60 ,可得 AD =AC =,可得 AF =.；6 , AF _ FB , AF _ BCD , 四面體 A-BCD高為AF h,；6 .設外接球R , O為球心，OE二m，可得：r2 mR2， 26 -n EF2=R2由解得：R四面體外接球的表面積：S=4 n2 =匹n

17、.故選A.8 223.將邊長為2的正 ABC沿著高AD折起，使.BDC =120 ,若折起后A、B、C、D四點 都在球O的表面上，則球 O的表面積為（）713D.n3A. nB. 7 nC.n22【答案】BBC =：$3，再由正弦定理【解析】 BCD 中，BD =1 , CD=1,乙BDC =120 ,底面三角形的底面外接圓圓心為M，半徑為r，由余弦定理得到£得到 一 2r = r =1 ,si n120°見圖示：AD是球的弦，DA =#3 ,將底面的圓心 M平行于AD豎直向上提起，提起到AD的高度的 一半，即為球心的位置 0，二0M =3，在直角三角形 OMD中，應用勾股

18、定理得到 0D ,20D即為球的半徑.球的半徑0D = 1 37 .該球的表面積為 4n 0D2 =7 n ;故選B.V 42AC =BD =AD =BC =5，則該三棱錐的外接球24在三棱錐 A-BCD 中，AB=CD=6 ,的表面積為（）43 nC.D. 43 n2A 43 43 n43.43 nA. B. 246【答案】D【解析】分別取 AB , CD的中點E , F ,連接相應的線段 CE , ED , EF , 由條件，AB =CD =4, BC =AC =AD =BD =5，可知， ABC與 AADB，都是等腰三角形,AB _平面ECD , AB _ EF，同理CD _ EF ,二

19、EF是AB與CD的公垂線, 球心G在EF上，推導出 AGBA CGD，可以證明 G為EF中點,DE 二 25二9 =4 , DF =3 , EF 二.16二9 - . 7 , GF =匣，球半徑DG = J7 +9二43，外接球的表面積為 S=4 n DG2=43n. 2Y42故選D.25. 棱長均為6的直三棱柱的外接球的表面積是 【答案】84 n【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圓半徑為1616r :2 sin602. 3= 2.3 ,則外接球的半徑 R = 32 2.3 2 = 9 12 = 21 , 則外接球的表面積為S =4 tR2 =4 n 21 =84 n .26. 已知棱長都相等正四棱錐的側面積為16J3 ,則該正四棱錐內切球的表面積為 【答案】32 -16 3 n(3)【解析】設正四棱錐的棱長為 a，則4iWa2 =16亦，解得a =4 .I4丿于是該正四棱錐內切球的大圓是如圖 PMN的內切圓，其中 MN =4 , PM =PN =2 3 PE =2 2 .設內切圓的半徑為r，由 PFO = PEN，得FO，即-=2 2 t ,EN PN 22丿32 !22解得r邁，內切球的表面積為 S=4